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從1996年到2004年5月15日，GIMPS項(xiàng)目發(fā)現(xiàn)了7個(gè)梅森素?cái)?shù)：M1398269、M2976221、M3021377、M6972593、M13466917、M20996011和M24036583，它們都是使用奔騰型計(jì)算機(jī)得到的結(jié)果。
梅森素?cái)?shù)的由來
馬林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物。他與大科學(xué)家伽利略、笛卡爾、費(fèi)馬、帕斯卡、羅伯瓦、邁多治等是密友。雖然梅森的職業(yè)是修道士致力于傳播宗教，但他卻是科學(xué)的熱心擁護(hù)者，在教會(huì)中為了保衛(wèi)科學(xué)事業(yè)做了很多工作。他翻譯過伽里略的一些著作，并捍衛(wèi)了他的理論；同時(shí)他也捍衛(wèi)笛卡兒的哲學(xué)思想，反對(duì)來自教會(huì)的批評(píng)。
梅森對(duì)科學(xué)所作的主要貢獻(xiàn)是他起了一個(gè)極不平常的信息交換中心的作用。17世紀(jì)時(shí)，科學(xué)刊物和國際會(huì)議等還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有出現(xiàn)，甚至連科學(xué)研究機(jī)構(gòu)都沒有創(chuàng)立，交往廣泛、熱情誠摯和德高望眾的梅森就成了歐洲科學(xué)家之間的聯(lián)系的橋梁。許多科學(xué)家都樂于將成果寄給他，然后再由他轉(zhuǎn)告給更多的人。因此，他被人們譽(yù)為“有定期學(xué)術(shù)刊物之前的科學(xué)信息交換站”。梅森和巴黎數(shù)學(xué)家笛卡兒、費(fèi)馬、羅伯瓦、邁多治等曾每周一次在梅森住所聚會(huì)，輪流討論數(shù)學(xué)、物理等問題，這種民間學(xué)術(shù)組織被譽(yù)為“梅森學(xué)院”，它就是法蘭西科學(xué)院的前身。
1640年6月，費(fèi)馬在給梅森的一封信中寫道：“在艱深的數(shù)論研究中，我發(fā)現(xiàn)了三個(gè)非常重要的性質(zhì)。我相信它們將成為今后解決素?cái)?shù)問題的基礎(chǔ)”。這封信討論了形如2 P－1的數(shù)（其中p為素?cái)?shù)）。早在公元前300多年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就開創(chuàng)了研究2 P－1的先河，他在名著《幾何原本》第九章中論述完美數(shù)時(shí)指出：如果2 P－1是素?cái)?shù)，則2 P－1（2 P－1）是完美數(shù)。
梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人的有關(guān)研究的基礎(chǔ)上對(duì)2 P－1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，并于1644年在他的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書中斷言：對(duì)于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時(shí)，2
P－1是素?cái)?shù)；而對(duì)于其他所有小于257的數(shù)時(shí)，2 P－1是合數(shù)。前面的7個(gè)數(shù)（即2，3，5，7，13，17和19）屬于被證實(shí)的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4個(gè)數(shù)（即31，67，127和257）屬于被猜測的部分。不過，人們對(duì)其斷言仍深信不疑，連大數(shù)學(xué)家萊布尼茲和哥德巴赫都認(rèn)為它是對(duì)的。
雖然梅森的斷言中包含著若干錯(cuò)誤，后面將詳述，但他的工作極大地激發(fā)了人們研究2 P－1型素?cái)?shù)的熱情，使其擺脫作為“完美數(shù)”的附庸的地位。可以說，梅森的工作是素?cái)?shù)研究的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)和里程碑。由于梅森學(xué)識(shí)淵博，才華橫溢，為人熱情以及最早系統(tǒng)而深入地研究2 P－1型的數(shù)，為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界就把這種數(shù)稱為“梅森數(shù)”；并以Mp記之（其中M為梅森姓名的首字母），即Mp=2 PP－1。如果梅森數(shù)為素?cái)?shù)，則稱之為“梅森素?cái)?shù)”（即2 P－1型素?cái)?shù)）。
梅森素?cái)?shù)貌似簡單，而研究難度卻很大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且需要進(jìn)行艱巨的計(jì)算。即使屬于“猜測”部分中最小的M31=231－1=2147483647，也具有10位數(shù)。可以想象，它的證明是十分艱巨的。正如梅森推測：“一個(gè)人，使用一般的驗(yàn)證方法，要檢驗(yàn)一個(gè)15位或20位的數(shù)字是否為素?cái)?shù)，即使終生的時(shí)間也是不夠的。”是啊，枯燥、冗長、單調(diào)、刻板的運(yùn)算會(huì)耗盡一個(gè)人的畢生精力，誰愿讓生命的風(fēng)帆永遠(yuǎn)在黑暗中顛簸！人們多么想知道梅森猜測的根據(jù)和方法啊，然而年邁力衰的他來不及留下記載，四年之后就去世了；人們的希望與梅森的生命一起泯滅在流逝的時(shí)光之中�？磥�，偉人的“猜測”只有等待后來的偉人來解決了。
充滿艱辛與樂趣的探索歷程
梅森素?cái)?shù)就像數(shù)學(xué)海洋中的一顆璀璨明珠，吸引著一代又一代的研究者去探尋。自梅森提出其斷言后，人們發(fā)現(xiàn)的已知最大素?cái)?shù)幾乎都是梅森素?cái)?shù)；因此，尋找新的梅森素?cái)?shù)的歷程也就幾乎等同于尋找新的最大素?cái)?shù)的歷程。而梅森斷言為素?cái)?shù)而未被證實(shí)的幾個(gè)Mp當(dāng)然首先成為人們研究的對(duì)象。
1772年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了M31是一個(gè)素?cái)?shù)，它共有10位數(shù)，堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。歐拉的毅力與技巧都令人贊嘆不已，他因此獲得了“數(shù)學(xué)英雄”的美譽(yù)。這是尋找已知最大素?cái)?shù)的先聲。歐拉還證明了歐幾里得關(guān)于完美數(shù)的定理的逆定理，即：每個(gè)偶完美數(shù)都具有形式2P－1（2P－1），其中2P－1是素?cái)?shù)。這就使得偶完美數(shù)完全成了梅森素?cái)?shù)的“副產(chǎn)品”了。歐拉的艱辛給人們提示：在偉人難以突破的困惑面前要想確定更大的梅森素?cái)?shù)，只有另辟蹊徑了。
100年后，法國數(shù)學(xué)家魯卡斯提出了一個(gè)用來判別Mp是否是素?cái)?shù)的重要定理——魯卡斯定理。魯卡斯的工作為梅森素?cái)?shù)的研究提供了有力的工具。1883年，數(shù)學(xué)家波佛辛利用魯卡斯定理證明了M61也是素?cái)?shù)——這是梅森漏掉的。梅森還漏掉另外兩個(gè)素?cái)?shù)：M89和M107，它們分別在1911年與1914年被數(shù)學(xué)家鮑爾斯發(fā)現(xiàn)。
1903年，在美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的大會(huì)上，數(shù)學(xué)家柯爾作了一個(gè)一言不發(fā)的報(bào)告，他在黑板上先算出267－1，接著又算出193707721×761838257287，兩個(gè)結(jié)果相同。這時(shí)全場觀眾站了起來為他熱烈鼓掌，這在美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)開會(huì)的歷史上是絕無僅有的一次。他第一個(gè)否定了“M67為素?cái)?shù)”這一自梅森斷言以來一直被人們相信的結(jié)論。這短短幾分鐘的報(bào)告卻花了柯爾3年的全部星期天。1922年，數(shù)學(xué)家克萊契克進(jìn)一步驗(yàn)證了M257并不是素?cái)?shù)，而是合數(shù)（但他沒有給出這一合數(shù)的因子，直到20世紀(jì)80年代人們才知道它有3個(gè)素因子）。
“手算筆錄時(shí)代”，人們歷盡艱辛，僅找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。而計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生使尋找梅森素?cái)?shù)的研究者如虎添翼。1952年，數(shù)學(xué)家魯濱遜等人將魯卡斯-雷默方法編譯成計(jì)算機(jī)程序，使用SWAC型計(jì)算機(jī)在短短幾小時(shí)之內(nèi)，就找到了5個(gè)梅森素?cái)?shù)：M521、M607、M1279、M2203和M2281。其后，M3217在1957年被黎塞爾證明是素?cái)?shù)；M4253和M4423在1961年被赫維茲證明是素?cái)?shù)。1963年，美國數(shù)學(xué)家吉里斯證明M9689和M9941是素?cái)?shù)。1963年9月6日晚上8點(diǎn)，當(dāng)?shù)?3個(gè)梅森素?cái)?shù)M11213通過大型計(jì)算機(jī)被找到時(shí)，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節(jié)目播放，以第一時(shí)間發(fā)布了這一重要消息；發(fā)現(xiàn)這一素?cái)?shù)的美國伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生感到無比驕傲，以致于把所有從系里發(fā)出的信件都敲上了“211213－1是個(gè)素?cái)?shù)”的郵戳。
1971年3月4日晚，美國哥倫比亞廣播公司（CBS）中斷了正常節(jié)目播放，發(fā)布了塔可曼使用IBM360-91型計(jì)算機(jī)找到新的梅森素?cái)?shù)M19937的消息。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機(jī)構(gòu)（包括我國的新華社）都報(bào)道了以下消息：兩名年僅18歲的美國高中生諾爾和尼科爾使用CYBER174型計(jì)算機(jī)找到了第25個(gè)梅森素?cái)?shù)：M21701。
隨著素?cái)?shù)P值的增大，每一個(gè)梅森素?cái)?shù)MP的產(chǎn)生都艱辛無比；而各國科學(xué)家及業(yè)余研究者們?nèi)詷反瞬黄�，激烈競爭�?979年2月23日，當(dāng)美國克雷研究公司的計(jì)算機(jī)專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個(gè)梅森素?cái)?shù)M23209時(shí)，人們告訴他們：在兩個(gè)星期前諾爾已得到這一結(jié)果。為此，史洛溫斯基潛心發(fā)憤，花了一個(gè)半月的時(shí)間，使用CRAY-1型計(jì)算機(jī)找到了新的梅森素?cái)?shù)M44497。這個(gè)記錄成了當(dāng)時(shí)不少美國報(bào)紙的頭版新聞。
之后，這位計(jì)算機(jī)專家乘勝前進(jìn)，使用經(jīng)過改進(jìn)的CRAY-XMP型計(jì)算機(jī)在1983年至1985年間找到了3個(gè)梅森素?cái)?shù)：M86243、M132049和M216091。但他未能確定M86243和M216091之間是否有異于M132049的梅森素?cái)?shù)。而到了1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC-FX2型超高速并行計(jì)算機(jī)果然捕捉到了一條“漏網(wǎng)之魚”——M110503。
沉寂4年之后，1992年3月25日，英國原子能技術(shù)權(quán)威機(jī)構(gòu)——哈威爾實(shí)驗(yàn)室的一個(gè)研究小組宣布他們找到了新的梅森素?cái)?shù)M756839。1994年1月14日，史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發(fā)現(xiàn)“已知最大素?cái)?shù)”的桂冠——這一素?cái)?shù)是M859433。而下一個(gè)梅森素?cái)?shù)M1257787仍是他們的成果。這一素?cái)?shù)是使用CRAY-794超級(jí)計(jì)算機(jī)在1996年取得的。史洛溫斯基由于發(fā)現(xiàn)7個(gè)梅森素?cái)?shù)，而被人們譽(yù)為“素?cái)?shù)大王”。
2004年5月15日，美國國家海洋和大氣局顧問、數(shù)學(xué)愛好者喬�！し业吕�(Josh Findley)用一臺(tái)裝有2.4GHZ奔騰處理器的個(gè)人計(jì)算機(jī)，找到了目前世界上已知最大的梅森素?cái)?shù)。該素?cái)?shù)為2的24036583次方減1(即224036583－1)，它有7235733位數(shù)，如果用普通字號(hào)將這個(gè)數(shù)字連續(xù)寫下來，它的長度可達(dá)3萬米！它是2000多年來人類發(fā)現(xiàn)的第41個(gè)梅森素?cái)?shù)，也是目前已知的最大素?cái)?shù)。世界上許多著名的新聞媒體和科學(xué)刊物都對(duì)這一消息進(jìn)行了報(bào)道和評(píng)介，認(rèn)為這是數(shù)學(xué)研究和計(jì)算技術(shù)中最重要的突破之一。
2006年9月，我們知道了44個(gè)梅森素?cái)?shù)；現(xiàn)在已知最大的素?cái)?shù)是梅森素?cái)?shù)M32,582,657。
已發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)表
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序號(hào) |
梅森素?cái)?shù) |
位數(shù) |
發(fā)現(xiàn)時(shí)間 |
序號(hào) |
梅森素?cái)?shù) |
位數(shù) |
發(fā)現(xiàn)時(shí)間 |
|
1 |
M2 |
1 |
公元前300 |
25 |
M21701 |
6533 |
1978 |
|
2 |
M3 |
1 |
公元前300 |
26 |
M23209 |
6987 |
1979 |
|
3 |
M5 |
2 |
公元前100 |
27 |
M44497 |
13395 |
1979 |
|
4 |
M7 |
3 |
公元前100 |
28 |
M86293 |
25962 |
1983 |
|
5 |
M13 |
4 |
15世紀(jì)中葉 |
29 |
M110503 |
33265 |
1988 |
|
6 |
M17 |
6 |
1603 |
30 |
M132049 |
39751 |
1983 |
|
7 |
M19 |
6 |
1603 |
31 |
M216091 |
65050 |
1985 |
|
8 |
M31 |
10 |
1772 |
32 |
M756839 |
227832 |
1992 |
|
9 |
M61 |
19 |
1883 |
33 |
M859433 |
258716 |
1995 |
|
10 |
M89 |
27 |
1911 |
34 |
M1257787 |
378632 |
1996 |
|
11 |
M107 |
33 |
1914 |
35 |
M1398269 |
420921 |
1996 |
|
12 |
M127 |
39 |
1876 |
36 |
M2976221 |
895933 |
1997 |
|
13 |
M521 |
157 |
1952 |
37 |
M3021377 |
909526 |
1998 |
|
14 |
M607 |
183 |
1952 |
38 |
M6972593 |
2098960 |
1999 |
|
15 |
M1279 |
386 |
1952 、 |
39 |
M13466917 |
4053946 |
2001 |
|
16 |
M2203 |
664 |
1952 |
40 |
M20996011 |
6320430 |
2003 |
|
17 |
M2281 |
687 |
1952 |
41 |
M24036583 |
7235733 |
2004 |
|
18 |
M3217 |
969 |
1957 |
42 |
M25964951 |
7816230 |
2005年2月18日 |
|
19 |
M4253 |
1281 |
1961 |
43 |
M30402457 |
9152052 |
2005年12月15日 |
|
20 |
M4423 |
1332 |
1961 |
44 |
M32582657 |
9808358 |
2006年9月4日 |
| 21 |
M9689 |
2917 |
1963 |
45 |
|
|
|
|
22 |
M9941 |
2993 |
1963 |
46 |
|
|
|
|
23 |
M11213 |
3376 |
1963 |
47 |
|
|
|
|
24 |
M19937 |
6002 |
1971 |
48 |
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由上表可見，梅森素?cái)?shù)的分布極不規(guī)則，就連找到梅森素?cái)?shù)的時(shí)間分布都很沒有規(guī)律，有時(shí)許多年未能找到一個(gè)，而有時(shí)則一下找到好幾個(gè)。探索梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為困難。有數(shù)學(xué)家提出了一些猜想，如英國數(shù)學(xué)家香克斯、美國數(shù)學(xué)家吉里斯、法國數(shù)學(xué)家托洛塔和德國數(shù)學(xué)家伯利哈特曾分別給出過關(guān)于梅森素?cái)?shù)分布的猜測，但他們的猜測有一個(gè)共同點(diǎn)，就是都以近似表達(dá)式給出；而它們與實(shí)際情況的符合程度均未盡如人意。
中國數(shù)學(xué)家與語言學(xué)家周海中經(jīng)過多年研究，在1992年首先給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式，為人們尋找這一素?cái)?shù)提供了方便；這一科研成果被國際數(shù)學(xué)界命名為“周氏猜測”。著名的《科學(xué)》雜志上有一篇評(píng)論文章指出，這是梅森素?cái)?shù)研究中的一項(xiàng)重大突破。
不久前，國際電子新領(lǐng)域基金會(huì)（IEFF）宣布了由一位匿名者資助的為通過GIMPS項(xiàng)目來尋找新的更大的梅森素?cái)?shù)而設(shè)立的獎(jiǎng)金。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過一千萬位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)10萬美元。后面的獎(jiǎng)金依次為：超過1億位數(shù)，15萬美元；超過10億位數(shù)，25萬美元。但據(jù)悉，絕大多數(shù)研究者參與該項(xiàng)目不是為了金錢而是出于樂趣、榮譽(yù)感和探索精神�？梢韵嘈�，梅森素?cái)?shù)這顆數(shù)海明珠正以其獨(dú)特的魅力，吸引著更多的有志者去尋找和研究。
梅森素?cái)?shù)的意義
自古希臘時(shí)代直至17世紀(jì)，人們尋找梅森素?cái)?shù)的意義似乎只是為了尋找完美數(shù)。但自梅森提出其著名斷言以來，特別是歐拉證明了歐幾里得關(guān)于完美數(shù)的定理的逆定理以來，完美數(shù)反倒成為是梅森素?cái)?shù)研究的一種“副產(chǎn)品”了。尋找梅森素?cái)?shù)是發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效的途徑，自歐拉證明M31為當(dāng)時(shí)最大的素?cái)?shù)以來，在發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的世界性競賽中，梅森素?cái)?shù)幾乎囊括了全部冠軍。
尋找梅森素?cái)?shù)是測試計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度及其他功能的有力手段。如M1257787就是1996年9月美國克雷公司在測試其最新超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度時(shí)得到的。梅森素?cái)?shù)在推動(dòng)計(jì)算機(jī)功能改進(jìn)方面發(fā)揮了獨(dú)特作用。發(fā)現(xiàn)梅森素?cái)?shù)不僅僅需要高功能的計(jì)算機(jī)，它還需要素?cái)?shù)判別和數(shù)值計(jì)算的理論與方法以及高超巧妙的程序設(shè)計(jì)技術(shù)等等，因而它還推動(dòng)了數(shù)學(xué)皇后——數(shù)論的發(fā)展，促進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué)、程序設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展。
由于尋找梅森素?cái)?shù)需要多種學(xué)科的支持，也由于發(fā)現(xiàn)新的“最大素?cái)?shù)”所引起的國際影響使得對(duì)于梅森素?cái)?shù)的研究能力已在某種意義上標(biāo)志著一個(gè)國家的科學(xué)技術(shù)水平，而不僅僅是代表數(shù)學(xué)的研究水平。從各國各種傳媒爭相報(bào)道新的梅森素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)，我們可以清楚地看到這一點(diǎn)。梅森素?cái)?shù)的特性使它具有一定實(shí)用價(jià)值，人們已將大素?cái)?shù)用于現(xiàn)代密碼的設(shè)計(jì)領(lǐng)域。它是基于這樣的事實(shí)：將一個(gè)很大的數(shù)分解成若干素?cái)?shù)的乘積非常困難，但將幾個(gè)素?cái)?shù)相乘卻相對(duì)容易得多。在這種密碼設(shè)計(jì)中，需要使用較大的素?cái)?shù)，素?cái)?shù)越大，密碼被破譯的可能性就越小。
尋找梅森素?cái)?shù)另外的一個(gè)意義是，它促進(jìn)了分布式計(jì)算技術(shù)的發(fā)展。從最新的7個(gè)梅森素?cái)?shù)是在因特網(wǎng)項(xiàng)目中發(fā)現(xiàn)這一事實(shí)告訴我們，可以利用大量個(gè)人計(jì)算機(jī)去做這件事，分布式計(jì)算技術(shù)是一個(gè)前景非常廣闊的領(lǐng)域。
歐幾里得發(fā)現(xiàn)并證得“素?cái)?shù)有無窮多個(gè)”，而梅森素?cái)?shù)是否也有無窮多個(gè)？魅力無窮的梅森素?cái)?shù)具有許多特異的性質(zhì)和現(xiàn)象，千百年來一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)愛好者對(duì)它進(jìn)行研究；雖然已經(jīng)取得了一些進(jìn)展，但仍然有許多未解之謎，等待著人們?nèi)ヌ剿鳌?/p>
本文節(jié)選自《世界科學(xué)》2004年第7期 作者是香港科技大學(xué) 方程
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