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為什么把數(shù)學作為一種文化來研究，而不是只把它局限于科學的范疇呢？一是因為文化的含意比科學更廣泛。蔡元培說，“文化是人生發(fā)展的狀況”，胡適說，“文明是一個民族應付他的環(huán)境的總成績，文化是一種文明所形成的生活方式�！蔽幕w所有科學，而數(shù)學具備這種廣泛的涵蓋性，既表現(xiàn)在它的原創(chuàng)性方面，也表現(xiàn)在它的應用性方面。數(shù)學影響其他的東西，感化和支配別的東西，它具備了“大文化”概念所具有的“真”(真理化)、“美”(藝術化)、“善”(道德化)，體現(xiàn)了一種精神的顯現(xiàn)。數(shù)學作為文化，還在于它表現(xiàn)了一種前所未有的探索精神、創(chuàng)新精神，它的理性思維的功能發(fā)揮得淋漓盡致，它提供給人們的不僅僅是思維模式，同時又是一種有力的解決問題的工具和武器，既反映了思維上的合理性和價值趨向，又拓展了人們的思想解放之路，因為數(shù)學常常是自己否定自己的。作者通過多年研究，深感數(shù)學作為一種重要的社會文化，在推動社會進步、提高人類素質(zhì)等方面具有其他學科無法替代的作用。本文僅從以下方面扼要敘述，以就教于萬家。
一、數(shù)學文化的學科觀
沒有任何一種科學能像數(shù)學這樣澤被后人。愛因斯坦在談到數(shù)學時說：“數(shù)學之所以有高聲譽，還有另一個理由，那就是數(shù)學給予精密自然科學以某種程度的可靠性，沒有數(shù)學，這些科學是達不到這種可靠性的�！盵1]
M·克萊因說：“數(shù)學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言，數(shù)學更主要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系，其內(nèi)容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的學說；滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙音樂的冥想；有時甚至可能以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著現(xiàn)代歷史的進程�！薄皩嶋H上，在現(xiàn)代經(jīng)驗科學中，能否接受數(shù)學方法已越來越成為該學科成功與否的主要判別標準�！盵1
]……
早在1959年5月，著名數(shù)學家華羅庚就在《人民日報》上發(fā)表了"大哉數(shù)學之為用”的文章，精彩地論述“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁”等方面，無處不有數(shù)學的重要貢獻。中國科學院數(shù)學物理學部由王梓坤先生起草的《今日數(shù)學及其應用》課題中，特別強調(diào)了數(shù)學的貢獻，他說：“數(shù)學的貢獻在于對整個科學技術(尤其是高新技術)水平的推進與提高，對科技人才的培養(yǎng)和滋潤，對經(jīng)濟建設的繁榮，對全體人民的科學思維與文化素質(zhì)的哺育，這四方面的作用是極為巨大的，也是其他學科所不能全面比擬的�！盵2
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1.“數(shù)學”是什么？
數(shù)學是什么？迄今為止，眾說紛紜，莫衷一是。
英國的羅素說：“數(shù)學是我們永遠不知道我們在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學科�！倍▏腅·波萊爾則提出另一個與其針鋒相對的說法：“數(shù)學是我們確切知道我們在說什么，并肯定我們說的是否對的唯一的一門科學�！眱烧吒鲌�(zhí)一詞，不能說沒有道理，但羅素的定義似乎陷入了虛無主義的態(tài)度。
關于“數(shù)學”是什么，大概有以下說法：
�。�1）萬物皆數(shù)說“萬物皆數(shù)”的始作俑者是畢達哥拉斯，他說：“數(shù)統(tǒng)治著宇宙”。這一說法在長時間內(nèi)得到不少人的贊同。蘇格拉底甚至強調(diào)，學習數(shù)學是“為了靈魂本身去學”。柏拉圖稱“上帝乃幾何學家”，他在自己學園門上寫著：“不懂得幾何學的不得入內(nèi)�！�
�。�2）哲學說自從古希臘人搞哲學開始，數(shù)學就成為哲學問題的重要來源。古希臘的大哲學家?guī)缀醵际谴髷?shù)學家，這就難怪為什么他們比較容易從哲學上來定義數(shù)學。亞里士多德說：“新的思想家雖說是為了其他事物而研究數(shù)學，但他們卻把數(shù)學和哲學看作是相同的�！�
對數(shù)學給予哲學的定義，首推歐幾里得，歐氏在《原本》中對數(shù)學的定義幾乎都是從哲學方面提出的。比如：
點是沒有部分的那種東西；
線是沒有寬度的長度；
直線是同其中各點看齊的線；
面是只有長度和寬度的那種東西。
……
�、訄A是包含在一(曲)線里的那種平面圖形，從其內(nèi)某一點達到該線的所有直線彼此相等。
……
牛頓在其《自然哲學之數(shù)學原理》第一版序言中曾說，他是把這本書“作為哲學的數(shù)學原理的著作”，“在哲學范圍內(nèi)盡量把數(shù)學問題呈現(xiàn)出來�！绷_素則更直接，他說：“為了創(chuàng)造一種健康的哲學，你應該拋棄形而上學，且要成為一個好數(shù)學家�！彼褦�(shù)學的素養(yǎng)作為創(chuàng)造健康哲學的基本條件。
�。�3）符號說數(shù)學被人們普遍公認為是一種高級語言，是符號的世界。伽里略的一段話流傳頗廣，即“宇宙是永遠放在我們面前的一本大書，哲學就寫在這本書上。但是，如果不首先掌握它的語言和符號，就不能理解它。這本書是用數(shù)學寫的，它的符號是三角形、圓和其他圖形，不借助于它們就一個字也看不懂，沒有它們就只會在黑暗的迷宮中躑躅�！�
（4）科學說此說認為，數(shù)學是一門科學�！皵�(shù)學，科學的皇后；算術，數(shù)學的皇后�！�(G·Ｆ·高斯)“數(shù)學是科學的大門和鑰匙�！�(培根)“數(shù)學是我們時代有勢力的科學，它不聲不響地擴大它所征服的領域；那種不用數(shù)學為自己服務的人將會發(fā)現(xiàn)數(shù)學被別人用來反對他自己”(赫爾巴黎)。
�。�5）模型說把數(shù)學定義為模型古已有之。懷特海認為：“數(shù)學的本質(zhì)就是研究相關模式的最顯著的實例”。約翰遜·格倫說：“數(shù)學為邏輯提供了一個理想的模型，它的表達是清晰的和準確的，它的結論是確定的，它有著新穎和多種多樣的領域，它具有增進力量的抽象性，它具有預言事件的能力，它能間接地度量數(shù)量，它有著無限的創(chuàng)造機會……”雷尼說：“甚至一個粗糙的數(shù)學模型也能幫助我們更好地理解一個實際的情況。”
除以上這些說法之外，還有很多，比如創(chuàng)新說、工具說、審美說、邏輯說、直覺說、結構說、集合說、活動說、藝術說，但不管哪種說法，都很難用一句話把數(shù)學說全，這可能就是數(shù)學異于其他科學而作為文化的最主要的特點，數(shù)學是屬于世界的，它幾乎無所不有。
2.關于數(shù)學文化的學科體系
數(shù)學文化的體系框架是什么？或者說它的支撐點是什么？作者在這里提出現(xiàn)實世界、概念定義和模型結構的數(shù)學文化的“三元結構”，三者缺一不可。數(shù)學起源于現(xiàn)實世界，特別是現(xiàn)實世界中發(fā)生在人與自然之間的諸多問題，是數(shù)學科學的基礎。人們通過對現(xiàn)實世界的大量觀察以及對這些問題間相互關系的了解，包括借助經(jīng)驗的發(fā)展，經(jīng)過類比、歸納，當然其中有邏輯的、也有非邏輯的，進而抽象出概念(包括一些定義或公理)。
概念定義是理性了的東西。定義、公設、定理，從根本上講，比較真實地反映了現(xiàn)實世界的諸多關系和內(nèi)容。比如，歐氏幾何的定義、公設、定理，2000多年來一直被人們奉為經(jīng)典，就是因為它解決了人們生活實踐中的問題。
S·麥克萊恩把人類活動直接導致的部分數(shù)學分支列了一個表。
計數(shù)：算術和數(shù)論；
度量：實數(shù)，演算，分析；
形狀：幾何學，拓撲學；
造型(如在建筑學中)：對稱性，群論；
估計：概率，測度論，統(tǒng)計學；
運動：力學，微積分學，動力學；
證明：邏輯；
分組：集合論，組合論。
人類的這些不同活動不是完全獨立的。它們以復雜的方式相互作用、活動。這些活動給人類提供了對象和運算，同時也導致了后來嵌入形式公理系統(tǒng)各種概念。數(shù)學概念的形成，是人們對客觀世界認識科學性的具體體現(xiàn)。數(shù)學概念的抽象、歸納，實際上為建立模型奠定了基礎。數(shù)起源于人類各式各樣的實踐活動，又從這些活動中抽象出許多一般的但又不是任意的、有確切內(nèi)容和明確含意的概念，然后將這些概念應用到現(xiàn)實世界中去，把問題化歸為一種形式結構，這就是我們講的模型結構。模型是數(shù)學思想活的靈魂，千姿百態(tài)的模型，反映了一個精彩紛呈的世界。
事實上，相對于數(shù)學模型，有時數(shù)學對象具有一種雙重意義。單就其所表現(xiàn)的要領以及形式結構而言，數(shù)學模型是對現(xiàn)實世界的對象物化了的東西，它已經(jīng)不是原來的對象，不是一個真實的存在，而是一個抽象過后的產(chǎn)物。然而，就它蘊含的內(nèi)容來看，數(shù)學概念、形式結構，又的確是客觀世界的真實反映。不然：
為什么物體運動的牛頓力學的形式計算被證實是符合實際運動的？
為什么微分方程邊值問題的理論性質(zhì)能極適當?shù)孛枋鲭娮訉W、光學、機械學、流體力學、電動力學的許多現(xiàn)象？
為什么微積分對物理學和對經(jīng)濟學的局部極大值問題都適用？
所以，從現(xiàn)實世界中經(jīng)過邏輯的、非邏輯的，化歸抽象出概念、定義，然后又用這些定義、概念去梳理現(xiàn)實世界中的各種建構模型，去精心計算，以便給出確切的數(shù)、量、形關系。歸納、抽象、演繹、構模、計算，這就是數(shù)學的本質(zhì)與魅力。
3.關于數(shù)學文化的外延性特點
數(shù)學文化外延非常寬泛，它涉及多種學科。馬克思早就說過：“一種科學只有成功地運用數(shù)學時，才算真正達到完善的程度�！苯陙�，特別是數(shù)學文化在人文、社會、科技進步等方面的成功滲透，更充分地證明了馬克思這一論斷的正確性。
數(shù)學與教育、數(shù)學與文化、數(shù)學與史學、數(shù)學與哲學、數(shù)學與社會學、數(shù)學與高科技等交叉的方面，都派生出一些新的學科生長點。以數(shù)學與經(jīng)濟學的結合為例：數(shù)學與經(jīng)濟學可以說密不可分，以至于在今天不懂數(shù)學就無法研究經(jīng)濟。在宏觀經(jīng)濟活動中如何及時剎住經(jīng)濟過于繁榮，又不至于滑入災難性的經(jīng)濟衰退的危險中，可從最優(yōu)控制理論得到方法上的幫助。正是由于運用了控制理論和梯度法，人們求解了南朝鮮經(jīng)濟的最優(yōu)計劃模型。在微觀經(jīng)濟中，數(shù)學的作用也極為廣泛。比如在提高產(chǎn)品的成功率方面，若某一產(chǎn)品的質(zhì)量是依賴于若干個因素，而這若干個因素的每個因素又都受一些條件的制約，如何挑選出最優(yōu)搭配，實際上就是一個統(tǒng)計實驗設計(SED)的問題。當今世界，運用數(shù)學建立經(jīng)濟模型，尋求經(jīng)濟管理中的最佳方案，運用數(shù)學方法組織、調(diào)度、控制生產(chǎn)過程，從數(shù)據(jù)處理中獲取經(jīng)濟信息等，使得代數(shù)學、分析學、概率論和統(tǒng)計數(shù)學等大量數(shù)學的思想方法進入經(jīng)濟學，并反過來促進了數(shù)學學科的發(fā)展。今天，一位不懂數(shù)學的經(jīng)濟學家是決不會成為一位杰出經(jīng)濟學家的。1969～1981年間的13位諾貝爾經(jīng)濟學獎的獲得者中，有7位獲獎者是因其杰出的數(shù)學工作起了主要作用。其中前蘇聯(lián)數(shù)學家坎托羅維奇因?qū)ξ镔Y最優(yōu)調(diào)撥理論的貢獻而獲1975年諾貝爾獎，被公認為現(xiàn)代經(jīng)濟數(shù)學理論的奠基人。Klein因“設計預測經(jīng)濟變動的計算機模式”而獲1980年諾貝爾經(jīng)濟學獎。Tobin因“投資決策的數(shù)學模型”獲1981年諾貝爾經(jīng)濟學獎。Debren獲1982～1983年諾貝爾經(jīng)濟學獎，然而他的主要工作都反映在數(shù)學上[3]。
其實，除上面我們列述的許多方面，數(shù)學還廣泛滲透到其他領域。有位數(shù)學家甚至斷言：“只要文明不斷進步，在下一個兩千年里，人類思想中壓倒一切的新鮮事物，是數(shù)學理智的統(tǒng)治”[3]。
二、數(shù)學文化的哲學觀
自從有哲學以來，數(shù)學就成為哲學問題的一個重要來源，為哲學的思考與發(fā)展提供了豐富的實踐環(huán)境。古希臘時代的許多大哲學家，多數(shù)是大數(shù)學家。在他們眼里，數(shù)學與哲學是同宗同源的。數(shù)學文化的哲學觀，從根本上來講就是把數(shù)學作為一門思維學科，特別是其中的哲學思維內(nèi)容以及比較具體一點的對思維。
關于哲學思維
�。�1）抽象思維抽象思維是數(shù)學文化哲學思維中最根本、最基礎的內(nèi)容之一，是靈魂。所謂抽象，就是把同類事件中最關鍵、最根本的本質(zhì)性的東西拎出來，加以歸納，使其具有更大的推廣性和普適性。比如人們常談到的哥尼斯堡七橋問題，歐拉就是通過抽象，把兩岸及兩島想象為四個點(因為點的大小是無關緊要的，事實上幾何的點也無大小)，把七座橋想象為七條線(線的形狀如何，線的寬窄都是無關緊要的，事實上幾何的線也無寬窄)。這樣，就成了聯(lián)結四個點的七條線。通過對七橋問題的解決，發(fā)現(xiàn)真正的問題是“奇點”、“偶點”的問題，這就把七橋問題的最本質(zhì)的東西——組合拓撲性質(zhì)凸顯出來了。今后凡是類似的問題，不管是七橋還是八橋、九橋都可以解決了。
抽象有多種辦法來實現(xiàn)，比如強抽象、弱抽象、構象化抽象、公理化抽象等。
�。�2）邏輯思維數(shù)學不能完全歸結為邏輯思維，但邏輯作為數(shù)學基礎卻始終占據(jù)著數(shù)學哲學最主要的位置。邏輯思維是整個數(shù)學科學各分支之間聯(lián)結的紐帶。
其一，邏輯思維可以用來檢驗、證明數(shù)學真理。這種檢驗和證明，主要是借助演繹與歸納的方法：一是通過演繹把數(shù)學真理從一般推到個別，二是通過歸納把個別推廣到一般。
其二，邏輯思維使數(shù)學文化系統(tǒng)化、體系化、科學化。邏輯對數(shù)學來講，有時是起一條線的串聯(lián)作用，它把許多零碎的東西串起來。通過去偽存真、去粗取精、化歸統(tǒng)一，最終形成一個抽象的、簡潔的、形象的、生動優(yōu)美的結構系統(tǒng)。羅素說過：“邏輯即數(shù)學的青年時代，數(shù)學即邏輯的壯年時代，青年與壯年沒有截然的分界線，故數(shù)學與邏輯亦然。”
其三，邏輯思維既可以經(jīng)過歸納、演繹、推理，獲得新的結果，也可以重新審視一下已有邏輯，換一種思路，進到一個新的領域中，如前面講的非歐幾何、群論等；再就是根據(jù)需要，發(fā)展或確立新的數(shù)學對象和領域。
（3）形象思維數(shù)學中的形象思維是激勵人們的想象力和創(chuàng)造力的，它常常導致重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)。數(shù)學中的形象思維具有一般形象思維的性質(zhì)與內(nèi)容，但它又與一般的形象思維(專指文學藝術類)不同，它的對象是數(shù)學的內(nèi)容。數(shù)學的形象思維，按照徐利治先生的意見可分為四個層次：第一層次為幾何思維；第二個層次是類幾何思維；第三個層次是數(shù)學思維；第四個層次是數(shù)學觀念的直覺，它類似第三個層次，但這里更強調(diào)對數(shù)學觀念性質(zhì)、相互聯(lián)系以及重新組合過程的形象化感覺，由這種形象化感覺而反映出來的直覺，是無法用邏輯思維解釋清楚的，但它確實又存在著。
數(shù)學文化的形象思維，在其過程中主要借助數(shù)學想象，這種想象包括視覺想象、聽覺想象和觸覺想象。正如維納所言：“就我而言，最有用的資質(zhì)，乃是廣泛持久的記憶力，以及猶如萬花筒一般的自由的想象力，這種想象力本身或多或少會向我提供關于極其復雜的思維活動的一系列可能的觀點�！�
�。�4）直覺思維直覺思維是數(shù)學哲學思維中的重要內(nèi)容之一。
首先，這種直覺思維是非邏輯的，不是靠推理和演繹獲得的。數(shù)學的猜測和想象，都已經(jīng)具有一定的非邏輯性。越是復雜的數(shù)學想象，可能越缺少邏輯。因為在邏輯蒼白無力的地方，恰恰是直覺在發(fā)揮著重要的作用。直覺思維是一種很可珍貴的精神狀態(tài)，它的特點就是突然出現(xiàn)和非預期性。這種突然出現(xiàn)，有時如“狂濤暴漲”一樣震撼人的心靈，把人引到一種興高采烈、眉飛色舞的境界。龐加萊曾這樣說過：“邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇到任何障礙，但是它不能告訴我們哪一條道路能引導我們到達目的地。為此，必須從遠處了望目標，而數(shù)學教導我們了望的本領是直覺。沒有直覺，數(shù)學家就會像這樣一個作家：他只是按語法寫詩，但是卻毫無思想。直覺實際上是一種機敏的洞察力，是一種無法言傳身教但又是每個數(shù)學家所必不可少的素養(yǎng)”。應當指出的是，數(shù)學家們的“神來”之筆及突然“頓悟”，恰恰是平時苦心經(jīng)營、功夫到家后的水到渠成，是經(jīng)過千錘百煉之后熟能生巧所產(chǎn)生出的觸類旁通。誠然，由于數(shù)學直覺思維的非邏輯性、突發(fā)性等特點，很難說直覺有什么規(guī)律可循。
關于對思維
數(shù)學文化的“對思維”，并非專指矛盾的雙方，實際上是指一個問題的兩個方面，它集中反映在如下方面：
宏觀與微觀對于認識世界來說，哲學著眼于大范圍內(nèi)的宏觀考慮，是望遠鏡，它可以無所限制地任思想自由飛翔。數(shù)學則不然，它屬于精密科學，來源于實踐，不像哲學那么宏觀，數(shù)學對象是一些具體問題，是一門實踐科學，它研究現(xiàn)實世界與人類經(jīng)驗多方面的各種形式模型的結構。數(shù)學細致入微，容易進入到一些成熟學科中，并從中獲得足夠豐富的營養(yǎng)基，拓寬自己的思路，發(fā)揮自己的作用。
抽象與具體哲學所涉及的問題，能夠不同程度地認識和理解，但是，哲學有時往往會有這樣的情況，有些問題，看起來似乎很具體，但實際上很模糊，難以駕馭和把握，有一種看似容易實則難的感覺。數(shù)學與哲學不一樣，數(shù)學源于實踐，但又研究抽象。數(shù)學的定義、定理、公設，是源于實踐的，但又是高度抽象的。因此，能進入到數(shù)學的領地，不具有相當高的思維水準是不可能的，外行是不可能理解數(shù)學的定義、公設和公理的。比如，“點”是什么？“線”是什么？如果一個老師在黑板上用粉筆點一個“點”，再劃一根“線”，那“點”和“線”又是很具體的。這時的點、線都是可視的、具體的、容易理解的。
證明與非證明黑格爾說：“證明是數(shù)學的靈魂。”數(shù)學是研究結構的，通常情況下，如果它受什么條件制約的話，則必有什么性質(zhì)；假如具備什么條件的話，則必然有什么結果。例如，兩三角形三條邊對應成比例，則這兩個三角形相似。對應成比例是條件，相似是結論。數(shù)學從不先肯定“是什么”，它總是首先注重前提，然后才是結論。
而哲學無需證明，也無需“假設”。哲學的命題從來都是不含糊的、肯定的、唯一的。比如“世界是物質(zhì)的�！薄耙磺惺挛锒及��！薄拔飿O必反”……你能說“不”嗎？這些命題不要先決條件。
概念的約束與非約束數(shù)學依賴于客觀世界，經(jīng)過抽象形成自己的概念，但概念一旦形成，就有它自己的固有性質(zhì)了。因此數(shù)學概念一旦形成，數(shù)學本身也就把自己制約在概念中了。比如G�？低袪柡痛鞯陆鹪陂_始建立實數(shù)理論時，本打算證明實數(shù)與自然數(shù)的對應關系，但沒有想到結論是實數(shù)比自然數(shù)多，他更沒有想到一小截線段上的點竟然可以和全部空間的點一一對應。集合論的每一個新發(fā)現(xiàn)都使G�？低袪柛械匠泽@。其他一些數(shù)學概念的形成，都具有同樣的道理。哲學則不然，它不受概念的限制與約束。
有限與無限無限王國，把數(shù)學一步一步引向深入。你看：
為解決無限的問題，由歐氏幾何產(chǎn)生了非歐幾何；
為解決無限的問題，從常量到變量，產(chǎn)生了微積分；
為解決無限的問題，集合論的產(chǎn)生完善了數(shù)學大廈的基礎；
……
正因為如此，希爾伯特說：“從來就沒有任何問題能像無限那樣，深深觸動著人們的情感；沒有任何觀念能像無限那樣，曾如此卓有成效地激勵著人們的理智；也沒有任何概念能象無限那樣，是如此迫切地需要予以澄清�！蔽覀兛梢赃@樣考慮問題，多邊形是由有限條直線段組成的，把有限化為無限，多邊形就變成了一條環(huán)形的封閉曲線。
量變與質(zhì)變數(shù)學是研究事物關系的模型以及對事物運動狀態(tài)進行描述的科學，其中一個非常重要的本質(zhì)性問題就是量變與質(zhì)變的問題。比如，若一平面與一個圓錐相截，其截口的幾何圖形的性質(zhì)就會隨平面與圓錐體截面的交角不同而變化，若交角是直角，則截面是圓；若交角稍變一點(大于90°或小于90°是一個道理)，則截面是橢圓；若再變下去，當變到一個關鍵點時，橢圓就變成拋物線了。再比如對數(shù)曲線，它的每一個循環(huán)，都呈一種攀升的螺旋狀式周期變化，我們可以看作是否定之否定的結果。
必然性和偶然性準確地給出一個大家都能接受的關于偶然與必然的哲學定義，是十分困難的。數(shù)學中的概率論，為我們科學認識必然與偶然提供了最佳工具。W·Ｓ·Ｊerons說，概率論是生活真正的領路人，如果沒有對概率的某種估計，那么我們就寸步難行，無所作為。
拉普拉斯稱，雖然它(概率論)是從某一低級的賭博開始的，但它卻已成為人類知識中最重要的領域。概率論的目的就是從偶然中探求必然的規(guī)律，它是機遇的模型，這種模型面對的是自然界中的必然現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象(我們稱之為偶然現(xiàn)象)。
三、數(shù)學文化的社會觀
我們將數(shù)學作為一種文化來思考，還有一個原因，就是它具有明顯的社會化功能：
（1）符號功能符號是數(shù)學抽象物的表現(xiàn)形式。
M·克萊因稱：“數(shù)學的另一個重要特征是它的符號語言。如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數(shù)學也用符號表示數(shù)量關系和空間形式。
憑借數(shù)學語言的嚴密性和簡潔性，數(shù)學家們就可以表達和研究數(shù)學思想，這些思想如果用普通語言表達出來，就會顯得冗長不堪。這種簡潔性有助于思維的效率�！�
美國數(shù)學史家D·Ｊ·斯特洛伊克曾經(jīng)指出：“一種合適的符號要比一種不良的符號更能反映真理，而合適的符號，它就帶著自己的生命出現(xiàn)，并且它又創(chuàng)造出新生命來�！睌�(shù)學符號的這種奇特性質(zhì)受到人們的普遍注意。許多數(shù)學家都有一種感覺，從符號中得到的東西比輸入的更多，它們好像比它們的創(chuàng)造者更聰明。有些符號似乎具備一些神奇的力量，能在其內(nèi)部傳播變革和創(chuàng)造性發(fā)展的種子。有些時候，可能僅僅是由于選擇到適當?shù)姆�，就會導致十分重要的�?shù)學成果。
（2）模型功能甚至一個粗糙的數(shù)學模型也能幫助我們更好地理解一個實際的問題。一個數(shù)學模型即使導出了與事實不符合的結果，它也還可能是有價值的，因為一個模型的失敗可以幫助我們?nèi)ふ腋玫哪Ｐ汀?shù)學模型的最優(yōu)之處，就是它揚棄了具體事物中的一切與研究目標無本質(zhì)聯(lián)系的各種具體的物質(zhì)屬性，是在一種純粹狀態(tài)下的數(shù)量、關系的結構，因此更具有普適性。數(shù)學學科以外的諸多自然科學和人文、社會科學，只有成功地建立起數(shù)學模型，才算得上趨于成熟和完善。國際數(shù)學教育委員會將數(shù)學教育的研究課題分為15個專題，其中第7個方面的問題是“問題解決，模型化和應用”，他們把解題和構造模型放在一起，稱之為當今數(shù)學教育發(fā)展的三大趨勢之一。
（3）審美功能數(shù)學文化的另一個重要功能是在美學方面，這種功能是鼓舞人們把對數(shù)學的追求化為一種對審美的追求。人們期待它的構造在“美學上”的“雅致性”和在敘述問題時的自如性，如果你能自如地敘述問題，把握它和企圖解決它，那么某些使人驚奇的探索過程中遇到的曲折會變得容易得多等等。如果推導是冗長的或者復雜的，應該存在某些簡單的一般原則，可以用來“說明”復雜性和曲折性，這些標準顯然就是對任何創(chuàng)造性藝術所提的標準。
羅素這位數(shù)學思想大師就曾這樣毫不掩飾地說過：“數(shù)學，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩里得到，也能夠在數(shù)學里得到�！盵4]
（4）數(shù)學是推動社會發(fā)展的先進生產(chǎn)力.。著名數(shù)學家A·Ｋaplan指出：“由于最近20年的進步，社會科學的許多重要領域已經(jīng)發(fā)展到不懂數(shù)學的人望塵莫及的階段……”。在人類社會的發(fā)展史上，有三次重大的社會進步是與數(shù)學密切相關的。
第一次是牛頓時代的科學革命，牛頓用幾個最著名的數(shù)學公式去描繪宇宙圖景：
F=G·ｍ1m2/R2(萬有引力)
F=ma(牛頓運動定律)
還有微積分等。牛頓使科學在社會上取得重要地位，成為18世紀思想啟蒙運動的先導者之一。
第二次是達爾文進化論影響了他的表弟哥爾頓發(fā)展了相關及回歸的概念，孟德爾遺傳規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展引發(fā)了數(shù)理統(tǒng)計的建立和發(fā)展，今天，統(tǒng)計數(shù)學已成為發(fā)展的重要工具。
第三次，也是最近的，就是計算機的產(chǎn)生與發(fā)展，導致了人類社會的重大變化，人類已由過去的工業(yè)經(jīng)濟進入到信息化時代，以致知識經(jīng)濟時代。
數(shù)學研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式。數(shù)學中的根本矛盾，在于數(shù)學從純粹形態(tài)上研究現(xiàn)實形式和關系。數(shù)學發(fā)展過程中不斷出現(xiàn)矛盾又不斷解決矛盾。數(shù)學本身由于研究變數(shù)而進入辯證法的領域。數(shù)學在推動可持續(xù)發(fā)展、實現(xiàn)科技進步最優(yōu)化、經(jīng)濟發(fā)展等方面都有不可替代的作用。美國國家研究委員會所屬的數(shù)學委員會在一份報告中，曾就數(shù)學科學對于經(jīng)濟競爭力的生死攸關性給出了六點說明，以說明數(shù)學在技術轉(zhuǎn)移中的作用。
四、數(shù)學文化的美學觀
數(shù)學文化的美學觀是構成數(shù)學文化的重要內(nèi)容。古代哲學家、數(shù)學家普洛克拉斯斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美�！遍_普勒也說，“數(shù)學是這個世界之美的原型”。對數(shù)學文化的審美追求已成為數(shù)學得以發(fā)展的重要原動力。以致法國詩人諾瓦利也曾高唱：“純數(shù)學是一門科學，同時也是一門藝術”，“既是科學家同時又是藝術家的數(shù)學工作者，是大地上唯一的幸運兒�！惫磐駚�，許多數(shù)學家、哲學家都把“美”作為決定選題、選題標準和成功標準的一種評價尺度，甚至把“美的考慮”放在高于一切的位置。著名數(shù)學家馮·諾伊曼就曾寫道：“我認為數(shù)學家無論是選擇題材還是判斷成功的標準，主要都是美學的�！饼嫾尤R則更明確地說：“數(shù)學家們非常重視他們的方法和理論是否優(yōu)美，這并非華而不實的作風，那么，到底是什么使我們感到一個解答、一個證明優(yōu)美呢？那就是各個部分之間的和諧、對稱，恰到好處的平衡。一句話，那就是井然有序、統(tǒng)一協(xié)調(diào)，從而使我們對整體以及細節(jié)都能有清楚的認識和理解，這正是產(chǎn)生偉大成果的地方。
數(shù)學家L•斯思也曾指出：“在數(shù)學定理的評價中，審美的標準既重于邏輯的標準，也重于實用的標準；美觀與高雅對數(shù)學概念的評價來說，比是否嚴格正確、是否可能應用都重要得多�！憋@然，這種“美學至上”的觀點是片面的。因為，數(shù)學的“審美標準”與“實踐的標準”事實上是互相聯(lián)系的，而且，美學的考慮之所以有意義，主要也就因為它能預示相應的研究是否會“富有成果”。
審美追求作為數(shù)學發(fā)展的重要原動力，其中一個主要內(nèi)容就是創(chuàng)造性的需要，它起著一種激活作用。馮·諾伊曼說：“數(shù)學家成功與否和他的努力是否值得的主觀標準，是非常自足的、美學的、不受(或近乎不受)經(jīng)驗的影響�！币虼�，馮·諾伊曼斷言：“數(shù)學思想一旦……被構思出來，這門科學就開始經(jīng)歷它本身所特有的生命，把它比作創(chuàng)造性的、受幾乎一切審美因素支配的學科，就比把它比作別的事物特別是經(jīng)驗科學要更好一些�！笨梢姡瑢徝雷鳛橐环N支配因素，對數(shù)學科學的發(fā)展是多么重要。
數(shù)學美的主要內(nèi)容一般反映在對稱美、簡潔美、奇異美等方面。
高等數(shù)學發(fā)展到今天，數(shù)學內(nèi)容和含意高度抽象深刻，符號也愈益豐富。例如：
∝正比于；
甚大于；
a≡b(modm)a與b對模m同余(即a-b被m整除)；
∮沿正方向閉路積分；
一切的、所有的、任意的，對于每一個；
存在、至少有一個。
當你掌握了這些語言的時候，就會更加體會到數(shù)學符號的精煉、準確、簡潔，無懈可擊，更了解數(shù)學美。據(jù)說，大數(shù)學家高斯有一個思維特點，他的著作力求簡潔、清晰、優(yōu)美。他時常提醒要求自己“把每一種數(shù)學討論壓縮成最簡潔優(yōu)美的形式”。
奇異美就是數(shù)學文化中的創(chuàng)造性美。培根說：“沒有一個極美的東西不是在調(diào)和中有著某些奇異!”的確如此。比如說，在數(shù)學中，
曲線上的奇點，微分方程的奇解，線性代數(shù)中的奇異矩陣，分析中的奇異積分，奇異函數(shù)(即廣義函數(shù)———分布)，復變函數(shù)中
的孤立奇點等所帶給我們的美學思考，很值得研究。其中不少奇異之處恰好是最值得注意的地方。談到數(shù)學的奇異美，是不能不講歐拉的e-2πi=1
在這里，我們不能把它簡單地看成只是一個公式而已。事實上，只要我們稍微仔細分析，就會發(fā)現(xiàn)它的神奇和不可思議。
“1”是實數(shù)中最基本的單位，有豐富的內(nèi)涵，它是整數(shù)的單位，數(shù)字的始祖。是真分數(shù)(純小數(shù))和整數(shù)的分水嶺。遠古人類能抽象出1這個概念的時候，便是數(shù)學的真正萌芽。1也可以代表事物的整體，或者各部分的總體，甚至整個宇宙，這就是所謂“渾一”。
i是復數(shù)的基本單位，它來源于解二次方程x+1=0，長期被人們認為不可捉摸�！ˇ惺菆A周率。一位德國數(shù)學家指出：“在數(shù)學史上，許多國家的數(shù)學家都找過更精密的圓周率，因此，圓周率的精確度可以作為衡量一個國家數(shù)學發(fā)展水平的標志�！�
奇異美是建立在求異思維的基礎上的。比如，有理數(shù)稍一擴展，新數(shù)就被稱為“無理”的；實數(shù)再一擴展，新數(shù)就被叫做“虛”的。實數(shù)之后出現(xiàn)“超實數(shù)”，復數(shù)之后出現(xiàn)“超復數(shù)”，有窮數(shù)之后又有“超窮數(shù)”……
和諧是數(shù)學美的最高境界。實際上，和諧就是一個度，是一種中庸的最佳狀態(tài)。比例是關于模數(shù)與整體在測量上的協(xié)調(diào)。比例給人一種和諧，莫過于黃金分割法。 數(shù)學所討論的宇宙，遠比現(xiàn)實的所謂宇宙宏偉雄大；通常所說的宇宙只是三維空間，而數(shù)學則建立起了僅把3維空間作為一部分的4維空間、5維空間、……、n維空間。數(shù)學是一座遠遠地超越了我們想象的華麗宮殿，站在這個無比莊嚴、宏偉的宮殿前的數(shù)學家們，以崇敬贊嘆的目光遠眺著它的壯觀、它的美妙，那些能夠感受到這種數(shù)學美、宇宙美的人，是可以被稱之為愛因斯坦所謂的“有宇宙宗教性的人”。
五、數(shù)學文化的創(chuàng)新觀
H·Ｈankel說過：“在大多數(shù)科學里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，一個人所樹立的另一個人要加以摧毀。只有數(shù)學，每一代人都能在舊建筑上增添一層樓�！睌�(shù)學文化幾千年的發(fā)展實踐已經(jīng)充分說明了這一點。為什么說數(shù)學能夠不斷建立起新的樓層？數(shù)學是一門創(chuàng)造性的學科，一方面它是一種創(chuàng)造性的活動，另一方面它為自然現(xiàn)象提供合理的結構，這是其他學科所望塵莫及的。創(chuàng)新是數(shù)學文化發(fā)展的強大活力，沒有創(chuàng)新，數(shù)學就會停滯不前。
數(shù)學是人類科學文化中的基礎性學科之一，它具有典型的學科獨立性，不受其他學科的制約，它不像物理、化學、天文等受制于數(shù)學，缺少一種獨立性。數(shù)學的創(chuàng)新特點主要有兩個方面：一是原創(chuàng)性(發(fā)明和發(fā)現(xiàn))，二是繼承性(亦即創(chuàng)造性地去完善)。
原創(chuàng)性，是指數(shù)學文化在其形成過程中的一些最基本的原理和內(nèi)容，這些內(nèi)容不是由其他學科延伸發(fā)展過來的，而是由人們在生產(chǎn)實踐中直接發(fā)明或發(fā)現(xiàn)的。這種原創(chuàng)性得到許多著名學者和大師的公認。愛因斯坦在1940年美國科學會議的報告中，甚至這樣給物理學下了一個定義：“在我們的全部知識中，那個能夠用數(shù)學語言表達的部分，就劃為物理學的領域。隨著科學的進步，物理學的領域擴張到這樣的程度，它似乎只為這種方法本身的界限所限制�！蔽殷w會，這種方法就是指數(shù)學的方法。后來他又講過：“理論物理學家越來越不得不服從于純數(shù)學的形式的支配”，理論物理的“創(chuàng)造性原則寓于數(shù)學之中�！�
我們講數(shù)學的原創(chuàng)性特色，是就它的思想源、輻射源而言的。眾所周知的歐氏幾何的公設、定義、定理都具有典型的原創(chuàng)性。比如關于點、線(直線)、面、圓的定義等就充分反映了這種原創(chuàng)性。這些內(nèi)容直到今天，人們?nèi)匀皇褂�，具有明顯的原創(chuàng)性特色。另外，笛卡爾關于坐標的建立，也是一項非凡的創(chuàng)造性工作。笛卡爾認為，數(shù)學方法超出他的對象之外。他說：“它是一個知識工具，比任何其他由于人的作用而得來的知識工具更為有力，因而他是所有其他知識工具的源泉�！闭怯捎跀�(shù)學文化的原創(chuàng)性，所以它對其他新興學科也起到了重要的支撐作用。
繼承性(創(chuàng)造性地去完善)，與原創(chuàng)性創(chuàng)新相比，繼承性創(chuàng)新同樣具有不可忽視的作用，特別是對推動科學發(fā)展具有重要價值。比如，歐氏幾何是原創(chuàng)性的工作，它把數(shù)學變成一門不依賴經(jīng)驗主義的純粹科學。但是，2000多年來，歐氏幾何仍然有很多缺陷，甚至是嚴重缺陷，一直困擾著學術界。直到希爾伯特的《幾何基礎》1899年出(下接第58頁)
(上接第57頁)版，才從根本上修正了這些缺陷，建立起新的幾何學基礎。
再比如：20世紀中葉的查德創(chuàng)立了模糊集合論，這也是一項原創(chuàng)性的工作。爾后，人們又在此基礎上建立了模糊測度，模糊拓撲等。盡管這些工作是繼承性的，但它對推動學科發(fā)展作用很大。實際上，一門學科的完善、發(fā)展，繼承性創(chuàng)新工作不可忽視。因為一門學科的完善，特別是作為支撐這門學科的那些關鍵性理論框架結構、定理、定律、公式、模型等，往往要經(jīng)過反復推敲、改進、驗證，使其越來越清晰、明了、簡潔，不僅方便推廣和深入人心，同時在科學研究和生產(chǎn)實踐中發(fā)揮更大作用。像20世紀六七十年代華羅庚教授對優(yōu)選法的推廣就是最好的例證。
六、結語
從文化的角度去看數(shù)學，是一個新問題，因此，本文的一些看法、設想只能是一家之言。不過我相信，一旦你踏進數(shù)學文化的門檻，就會驚奇地發(fā)現(xiàn)這是一個美侖美奐的奇異世界。而本文所提及的一些東西還只是隔岸觀火的皮毛，相信隨著人們對數(shù)學文化的深入研究，一定會呈現(xiàn)給人類一個更加精彩的世界。
[1]編譯 愛因斯坦文集 商務印書館，1976：1362
[2王梓坤。面向21世紀的中國數(shù)學教育。南京：江蘇教育出版社，1994：343
[3斯蒂恩主編。今日數(shù)學。上�？茖W技術出版社，1982：384
[4鄧東皋等編。數(shù)學與文化。北京大學出版社，1990：41
(該文發(fā)自《自然》雜志2001年第1期，《新華文摘》轉(zhuǎn)發(fā)內(nèi)容摘要) (2003-06-26)
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