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早年在祖父所設(shè)的家館讀書，14歲時祖父去世，先后入平陽縣學(xué)堂和杭州府中學(xué)堂（杭州中學(xué)前身）學(xué)習(xí)。1910年6月考取游美學(xué)務(wù)處備取生，次年9月入美國加利福尼亞州立大學(xué)（伯克利）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，1915年畢業(yè)，獲理學(xué)學(xué)士學(xué)位。同年轉(zhuǎn)入哈佛大學(xué)作研究生。在讀研究生期間，他于1918年受聘為哈佛大學(xué)助教，擔(dān)任ＷＦ奧斯古德（Osgod）教授的助手。1919年姜立夫完成博士論文“非歐幾里得空間直線球面變換法”，署名chan－chanTso（姜蔣佐），導(dǎo)師是Ｊl庫利芝（colidge）教授。獲得博士學(xué)位后不久，其兄去世，他即刻辭去哈佛大學(xué)的工作回國料理后事，并擔(dān)負(fù)起撫養(yǎng)和教育遺孤的責(zé)任。
1920年，姜立夫應(yīng)聘到剛成立半年的南開大學(xué)任教授（直至1948年），創(chuàng)辦數(shù)學(xué)系（當(dāng)時稱算學(xué)系）并兼系主任。1923年，出任中國科學(xué)社算學(xué)名詞審查委員會主席，與胡明復(fù)共同負(fù)責(zé)制定算學(xué)名詞草案，同年受科學(xué)名詞審查委員會委托主持審查算學(xué)名詞。1926年秋赴廈門大學(xué)講學(xué)，為期一年。1934年赴德國漢堡大學(xué)進(jìn)修，后轉(zhuǎn)至格廷根大學(xué)，歷時兩年。在此期間，1935年中國數(shù)學(xué)會成立于上海，被推為該會評議員和數(shù)學(xué)名詞審定委員會委員，同年受聘為中央研究院評議會評議員。1936年10月，姜立夫與胡明復(fù)之妹胡芷華在上海結(jié)婚�？谷諔�(zhàn)爭期間，他只身隨校到昆明，在由北京大學(xué)、清華大學(xué)和南開大學(xué)三校組成的西南聯(lián)合大學(xué)執(zhí)教，并籌建了“新中國數(shù)學(xué)會”（任會長）。1940年底，受命籌建中央研究院數(shù)學(xué)研究所。
抗戰(zhàn)勝利后，姜立夫返回上海與家人團(tuán)聚，并繼續(xù)中央研究院數(shù)學(xué)研究所的籌備工作。1946年5月他奉派赴美國進(jìn)修，6月2日抵美，7月2日入普林斯頓高等研究院開始研究工作，數(shù)學(xué)所的籌備事宜由陳省身代理。1947年7月研究所正式成立，姜立夫堅辭未獲批準(zhǔn)，被任命為所長，具體工作仍由陳省身代理主持。1948年6月姜立夫回國，9月當(dāng)選為中央研究院院士；12月陳省身赴美，姜立夫返所工作。1949年初，中央研究院遷往臺灣，2月姜立夫偕家屬到臺北；7月，他借口向政府匯報工作只身返回廣州，隨即佯稱病急將家屬接回大陸，從而以花甲之年為新中國的數(shù)學(xué)研究與教育事業(yè)貢獻(xiàn)了全部余生。
中華人民共和國建立前夕，姜立夫于1949年8月應(yīng)聘到廣州的一所教會學(xué)校～～嶺南大學(xué)創(chuàng)辦數(shù)學(xué)系，任系主任。1952年全國高等院校進(jìn)行院系調(diào)整，嶺南大學(xué)并入籌建中的中山大學(xué)，姜立夫擔(dān)任了中山大學(xué)籌備委員會委員和數(shù)學(xué)系籌備小組成員；1959年起任中山大學(xué)第一、二屆校務(wù)委員會委員；1963年起兼任校學(xué)術(shù)委員會委員。其間，姜立夫一直擔(dān)任數(shù)學(xué)系幾何教學(xué)的負(fù)責(zé)人，并從事圓素和球素幾何的研究。1966年“文化大革命”開始后，校內(nèi)教學(xué)體系瓦解，姜立夫的身體亦每況愈下，所幸他看到了“文化大革命”的結(jié)束。1978年2月3日，姜立夫因心力衰竭逝世于廣州。姜夫人及長子姜伯駒遵遺囑將百余冊珍貴圖書贈予中山大學(xué)。
中國的高等數(shù)學(xué)教育開始于辛亥革命以后。1912年，京師大學(xué)堂改名北京大學(xué)，首創(chuàng)數(shù)學(xué)門，1919年改稱數(shù)學(xué)系，是中國第一個數(shù)學(xué)系。20年代，高等數(shù)學(xué)教育逐步進(jìn)入較為蓬勃的創(chuàng)業(yè)時期，國內(nèi)各主要大學(xué)先后建起了數(shù)學(xué)系。從無到有，開拓者的辛勞與業(yè)績在姜立夫的身上表現(xiàn)得尤為突出。
姜立夫是現(xiàn)代數(shù)學(xué)在中國最早而最卓有成效的播種人之一。早在1915年他就立志把現(xiàn)代數(shù)學(xué)移植到中國來，把在國內(nèi)建立一支現(xiàn)代數(shù)學(xué)隊伍作為自己最根本的任務(wù)。1920年，他創(chuàng)辦了南開大學(xué)數(shù)學(xué)系（當(dāng)時稱算學(xué)系），這是中國第二個數(shù)學(xué)系。建系之初的4年中，只有他一位教師，他一面處理各種行政事務(wù)，一面每學(xué)期同時開幾門課程，其中包括高等微積分、立體解析幾何、投影幾何（即射影幾何）、復(fù)變函數(shù)論、高等代數(shù)、維空間幾何、微分幾何、非歐幾何等，此外還要承擔(dān)理學(xué)院的公共數(shù)學(xué)課（初等和高等微積分）。后來他回憶說：“一人包一個系，我感到吃力�！北M管如此，他的課卻始終保持著很高的質(zhì)量。1924年，劉晉年作為南開大學(xué)算學(xué)系的第一個畢業(yè)生留校為助教。1925年，錢寶琮來校任教（到1927年止），姜立夫一人辦系的局面才開始改觀。但在較長時間里，最主要的數(shù)學(xué)課程還是由他擔(dān)任。
姜立夫是一位高明的教師，講課邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，分析周密，深入淺出，引人入勝。他學(xué)識淵博，又專攻幾何，常能將嚴(yán)格的形式推理與鮮明的幾何直觀相結(jié)合，啟發(fā)學(xué)生深入思考。他曾從德國購置了一整套數(shù)學(xué)模型教具，以加強(qiáng)學(xué)生的形象思維能力。他上課從不照本宣科，詳盡的備課，使他的講解井然有序，配以清晰的、對板面安排乃至粉筆顏色都經(jīng)過周密設(shè)計的板書和圖形，能使學(xué)生耳目并用，達(dá)到最佳效果。他選用的數(shù)學(xué)符號也經(jīng)過周詳?shù)目紤]，系統(tǒng)性很強(qiáng)，便于學(xué)生“顧名思義”。姜立夫認(rèn)為做課外練習(xí)是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要環(huán)節(jié)，每堂課后必留習(xí)題，并要求學(xué)生一律用方格紙做題，以便于繪圖和書寫清晰，在下一節(jié)課上對習(xí)題作必要的分析。這種做法尤其使低年級學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)風(fēng)。對于高年級的選修課，他采用多種靈活的教學(xué)與考核方式，如根據(jù)學(xué)生情況分別為他們指定閱讀文獻(xiàn)，再由學(xué)生輪流報告；當(dāng)沒有現(xiàn)成教材時，他每講完一章常以檢查每個學(xué)生整理的筆記作為考核。姜立夫以淵博的知識，精彩的講授，引導(dǎo)一代又一代青年學(xué)子步入數(shù)學(xué)的神圣殿堂。
1926年，經(jīng)南開大學(xué)同意，姜立夫應(yīng)邀到廈門大學(xué)任教一年，并把剛從南開大學(xué)畢業(yè)的江澤涵帶到廈門大學(xué)做助教。他對廈門大學(xué)寄予厚望，在和朋友交談中，時常提到如何把廈門大學(xué)辦成南方的一個教學(xué)和科研中心。他為廈門大學(xué)算學(xué)系制訂教學(xué)計劃，大量購置圖書，使該系氣象一新。1931年，姜立夫的學(xué)生江澤涵在美國獲得博士學(xué)位后受聘為北京大學(xué)教授，當(dāng)時北京大學(xué)數(shù)學(xué)系教學(xué)秩序尚不完善，教師對學(xué)生要求不嚴(yán)，教學(xué)質(zhì)量得不到保障。江澤涵是專攻拓?fù)鋵W(xué)的，姜立夫告誡他不能急于求成，“等有了經(jīng)過嚴(yán)格訓(xùn)練的學(xué)生時，你才可以教拓?fù)鋵W(xué)，切不可在沙灘上筑大廈”，還建議他先教低年級課程，隨班教至高年級，切實加強(qiáng)基本訓(xùn)練。江澤涵大致按老師的教學(xué)模式，從嚴(yán)要求學(xué)生，經(jīng)幾年努力，終于在高年級組織起討論班，展開了數(shù)學(xué)研究。江澤涵接任數(shù)學(xué)系主任后，1935年，姜立夫又讓從美國留學(xué)歸來的申又棖到北京大學(xué)協(xié)助江的工作。對于姜立夫在30年代對北京大學(xué)數(shù)學(xué)系的教學(xué)改革所起的作用，江澤涵始終念念不忘。1949年，姜立夫創(chuàng)辦了嶺南大學(xué)數(shù)學(xué)系，50年代又參與籌辦中山大學(xué)數(shù)學(xué)系。每到一處，他都從最基本的建設(shè)做起，從教學(xué)計劃、教學(xué)方法、管理制度，到教師的延聘與數(shù)學(xué)書刊資料的搜集，無一不凝聚著他的心血。
為使教學(xué)和研究有必需的資料借鑒，姜立夫始終十分注意數(shù)學(xué)圖書和期刊的選購與積累。在南開大學(xué)，他從無到有購置了成套的重要數(shù)學(xué)期刊和叢書，一些著名數(shù)學(xué)家的論文集，以及為數(shù)不少的絕版圖書，其數(shù)量之豐與質(zhì)量之高都是國內(nèi)少有的。1932年，德國數(shù)學(xué)家e施佩納（sperner）到北京大學(xué)講學(xué)，當(dāng)他在南開大學(xué)見到這批書刊時也不禁頗為稱羨。特別應(yīng)當(dāng)指出的是，在國境遭到日本侵略軍封鎖、外匯又極度缺乏，從而導(dǎo)致科技資料奇缺的那個年代，他為南開大學(xué)購置的這些書刊大半運(yùn)抵昆明，對西南聯(lián)合大學(xué)數(shù)學(xué)系的教學(xué)與科研發(fā)揮了極為重要的作用。在廈門大學(xué)、嶺南大學(xué)和中山大學(xué)執(zhí)教時，姜立夫也為數(shù)學(xué)書刊的訂購煞費苦心。按他的學(xué)生吳大任的說法，這已經(jīng)成為姜立夫的一種嗜好。他到嶺南大學(xué)后的第一件事就是到圖書館整理數(shù)學(xué)書籍，隨后就為學(xué)校訂購和補(bǔ)齊了許多套重要的數(shù)學(xué)期刊。在中山大學(xué)，他20年如一日為圖書館提供專業(yè)咨詢。“文化大革命”期間，當(dāng)美國出版的《數(shù)學(xué)評論》將遭削減時，他大聲疾呼：“停訂《數(shù)學(xué)評論》就等于砍掉數(shù)學(xué)系！”由于他的堅持，終于使中山大學(xué)完整無缺地保有了這套重要的數(shù)學(xué)信息雜志。
姜立夫積極主張數(shù)學(xué)的國際交流，除鼓勵學(xué)生出國留學(xué)、翻譯國外優(yōu)秀數(shù)學(xué)圖書外，還力促邀請外國數(shù)學(xué)家來華講學(xué)。在他的推動下，30年代北京大學(xué)接連聘請德國數(shù)學(xué)家Ｗ布拉施克（Blaschke）、施佩納、美國數(shù)學(xué)家奧斯古德到校講學(xué)，導(dǎo)致后來陳省身、吳大任、張禾瑞等先后留學(xué)德國，對中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。1947年，中央研究院與教育部欲合聘著名數(shù)學(xué)家Ｈ外爾（Weyl）來華講學(xué)，當(dāng)時姜立夫在美國曾極力促成此事，惜后來因其他變故未能成行。
姜立夫的辛勤耕耘，結(jié)出了豐碩的成果。僅在他早年的學(xué)生中就出現(xiàn)了劉晉年、江澤涵、申又棖、吳太任、陳省身、孫本旺等優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。作為中國現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)教育事業(yè)的重要開拓者，姜立夫的功績是不可磨滅的。
中國數(shù)學(xué)歷史悠久，數(shù)學(xué)詞匯自成體系，但基本上限于初等數(shù)學(xué)范圍，以現(xiàn)代觀點看也不夠完備。17世紀(jì)初，西方初等數(shù)學(xué)傳入中國，19世紀(jì)中葉以后，高等數(shù)學(xué)也較為系統(tǒng)的傳入。在此期間，徐光啟（1562～1633）、李之藻（1565～1630）、李善蘭（1811～1882）、華蘅芳（1833～1902）等中國數(shù)學(xué)家為創(chuàng)設(shè)一套準(zhǔn)確、恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)譯名做出了重要貢獻(xiàn)。
清末民初，漸有以數(shù)學(xué)為專業(yè)的留學(xué)生回國。1918年，胡明復(fù)的博士論文《具有邊界條件的線性積分～微分方程》發(fā)表于《美國數(shù)學(xué)會會刊》，標(biāo)志著中國數(shù)學(xué)開始匯入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的洪流。隨著學(xué)成歸來的留學(xué)生逐漸增多，許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容與分支被介紹到中國。由于時代的變遷與數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些舊譯名已顯得不夠妥當(dāng)，且原有譯名在數(shù)量及范圍上早已不敷于用。此外，由于“譯界不相聯(lián)絡(luò)，所譯名詞，人各不同”（蔡元培，《醫(yī)學(xué)名詞匯編》序，1931年），使現(xiàn)代數(shù)學(xué)的準(zhǔn)確理解與有效傳播面臨著極大的困難，制訂一套準(zhǔn)確而統(tǒng)一的中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)詞匯已成為十分迫切的任務(wù)。姜立夫與胡明復(fù)共同領(lǐng)導(dǎo)了這項意義深遠(yuǎn)的工作。
1918年，以原醫(yī)學(xué)名詞審查會為基礎(chǔ)，由教育部及各學(xué)術(shù)團(tuán)體派代表參加，成立了科學(xué)名詞審查會，領(lǐng)導(dǎo)與組織科學(xué)詞匯的審定。1923年7月，科學(xué)名詞審查會開始審查數(shù)學(xué)名詞。在此之前，推定中國科學(xué)社提出名詞草案，該社則委托姜立夫與胡明復(fù)起草。第一次審查本包括普通名詞、算術(shù)與數(shù)論、代數(shù)學(xué)、微積分學(xué)、函數(shù)論等方面的詞匯，刊有單行本，其中所列審查員名單有姜立夫（主席）、何魯（書記）、胡明復(fù)、段調(diào)元、段育華、顧珊臣、周劍虎、吳廣涵、胡敦復(fù)、吳在淵等。編者在其“例言”中指出，這些數(shù)學(xué)詞匯的確定，是“以‘意義準(zhǔn)確’，‘避歧義’與‘有系統(tǒng)’為原則；以舊譯名與日名（指日本數(shù)學(xué)名詞～～本文作者注）為根據(jù)。凡舊譯與日名之能合上之原則者，擇一用之；其不合者，酌改或重擬”（轉(zhuǎn)引自《算學(xué)名詞匯編》，科學(xué)名詞審查會編印，1938年）。本著上述原則，姜立夫與胡明復(fù)為制定詞匯草案做了大量艱苦細(xì)致的工作，不僅對所收入的7000多數(shù)學(xué)詞匯全部給出中英文對照，而且盡可能同時給出相應(yīng)的法文、德文和日文。草案選用詞匯廣泛而不生僻，博取古籍和各國之長而自成體系，其審定原則也頗為精當(dāng)，“例言”中特別舉例說明這些原則：“‘虛’，‘實’，‘復(fù)’，‘整’，‘分’，‘�！�，‘變’，‘全’，‘偏’等字，類皆有專用之義，他處均避之�！薄啊巍�，‘級’二字，又‘?dāng)⒘小�，‘級�?shù)’，‘連級數(shù)’三名詞，世多混用，即西文原名亦然。今特分別指定，不予通融�！薄啊疅o限’，‘無窮’，‘無盡’三字用法各異。如此之例尚多，不具舉。”由于他們的工作極為審慎、周密，所選用和擬訂的詞匯大都十分準(zhǔn)確。
科學(xué)名詞審查會和中國科學(xué)社對上述數(shù)學(xué)詞匯的審查持續(xù)了8年之久，分4次審查完畢（1923年7月，1924年7月，1925年7月，1931年7月）。每次審查前先將相應(yīng)部分編印成冊，通過審查后則陸續(xù)發(fā)表在中國科學(xué)社主辦的《科學(xué)》雜志上。1927年6月，胡明復(fù)不幸溺水逝世，以后的起草工作就由姜立夫完成。為了便于整理和進(jìn)一步修訂，他將全部詞匯制成卡片，可惜由于人力不足，補(bǔ)齊法、德、日文詞匯的愿望始終未能實現(xiàn)。
1931年全部數(shù)學(xué)詞匯審查完畢，1938年以科學(xué)名詞審查會的名義正式出版，定名為《算學(xué)名詞匯編》。這是中國第一部現(xiàn)代數(shù)學(xué)詞匯。曹惠群在為該書所作的序言中提到，書成之后，原擬請姜立夫作序，但他謙遜固辭。這部數(shù)學(xué)詞匯雖然只限于純粹數(shù)學(xué)方面最基本的內(nèi)容，卻已構(gòu)成今日整個數(shù)學(xué)詞匯的基礎(chǔ)。1938年以后的20余年間，數(shù)學(xué)詞匯曾幾度補(bǔ)充修訂，姜立夫都是重要的參與者。
蔡元培在《醫(yī)學(xué)名詞匯編》序言中曾寫道：“科學(xué)愈精深，名詞愈繁復(fù)。吾國研治科學(xué)稍后，勢須暢外釋籍以為基礎(chǔ)；惜譯界不相聯(lián)絡(luò)，所譯名詞，人各不同。整齊而劃一之，其功至矩�！w以紛紜龐雜之各科學(xué)名詞，欲使之同條共貫，引用便利，絕非一手足一朝夕之事……”中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)詞匯體系的確立，“其功至矩”，姜立夫為之傾注了大量心血，無愧為其主要奠基人之一。
數(shù)學(xué)事業(yè)鞠躬盡瘁
姜立夫為人豁達(dá)敦厚，凡事以發(fā)展中國的數(shù)學(xué)事業(yè)為重，不辭辛勞，不計個人名利，不遺余力地造就和提攜數(shù)學(xué)人才，深為學(xué)界所稱道。他不僅對自己的學(xué)生傾心培養(yǎng)，對并無師生關(guān)系的后起之秀，同樣盡可能地提供幫助，1947年，中央研究院選舉院士，陳省身在“中央研究院數(shù)理組院士候選人提名表”中對姜立夫作了如下評價：“提攜后進(jìn)，不遺余力，國內(nèi)知名籌（按：應(yīng)為疇）人，多出其門�！倍嗄曛�，他又在《立夫師在昆明》一文中說：“姜先生知識廣博，見事清楚，律己嚴(yán)格，足為后學(xué)者的模范。記得胡適曾有一文說姜先生是當(dāng)代的圣人（他列舉的人中還有一位是張元濟(jì)先生），我十分同意�！�
20年代末，蘇步青在日本東北帝國大學(xué)讀研究生時，曾用英文名發(fā)表了幾篇論文，姜立夫讀后知道作者是中國的有為青年學(xué)者，便向廈門大學(xué)、北京大學(xué)、燕京大學(xué)和清華大學(xué)推薦，其時他們二人并不認(rèn)識。當(dāng)蘇步青決定去浙江大學(xué)時，姜立夫也已收到浙江大學(xué)聘書，連教材都已備好，但為了讓蘇步青充分發(fā)揮作用，他毅然辭去了浙江大學(xué)的聘任。后來兩人相遇，蘇步青知道了其中原委，不禁深為感動。
為使中國數(shù)學(xué)盡快進(jìn)入世界數(shù)學(xué)主流，姜立夫總是想方設(shè)法支持青年學(xué)者出國進(jìn)修或訪問，其中尤以促成華羅庚出訪蘇聯(lián)、美國一事最為人稱許。40年代蘇聯(lián)是解析數(shù)論的一個研究中心。1944年華羅庚計劃赴蘇聯(lián)考察，但時局艱難，經(jīng)費無著。為此，姜立夫多次致函中央研究院院長朱家驊和中央研究院總辦事處，反復(fù)申明華羅庚數(shù)學(xué)工作的重要性及派其出訪的必要性，他在函中指出，“華君天才卓越，成績斐然”（致朱家驊的信，1944年10月19日），“近年由堆壘數(shù)論，一轉(zhuǎn)而入自守函數(shù)，再轉(zhuǎn)而入方陣幾何，湛思積悟，創(chuàng)獲更多，無如戰(zhàn)時交通梗阻，國內(nèi)工具缺乏，深以閉門造車、事倍功半為苦�！梢鈹M請先生特別設(shè)法，派遣華君赴蘇考察一年，庶使華君研究工作得以順利進(jìn)行，本處籌備設(shè)施亦得多所取法。是華君個人之幸，亦即國家學(xué)術(shù)之幸”（致朱家驊的信，1944年11月11日）。其后，因蘇聯(lián)方面長期拖延，姜立夫又轉(zhuǎn)而推薦華羅庚改派赴美。在他的積極努力下，華羅庚最終于1946年先后赴蘇、美訪問。
在姜立夫一生的業(yè)績中，對中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)事業(yè)影響最深遠(yuǎn)的，當(dāng)推中央研究院數(shù)學(xué)研究所的籌建。
中央研究院成立于1928年，因國內(nèi)現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究基礎(chǔ)薄弱，當(dāng)時未能成立數(shù)學(xué)研究所。其后，由于馮祖荀、姜立夫、鄭之蕃、熊慶來、陳建功、蘇步青、江澤涵等數(shù)學(xué)家的艱苦創(chuàng)業(yè)，以各大學(xué)數(shù)學(xué)系為基地，研究隊伍初步形成，新生力量逐漸崛起。到30年代中后期，一些研究領(lǐng)域已為國際數(shù)學(xué)界所矚目。1940年底，中央研究院擬增設(shè)數(shù)學(xué)研究所，聘姜立夫為籌備處主任。當(dāng)時他患病已久，“十二指腸內(nèi)有瘡，年來時發(fā)時愈，醫(yī)生諄囑節(jié)食靜養(yǎng)，教課之外，不許旁鶩”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日）。但是，為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)在中國的發(fā)展，他毅然受此重任。1941年3月，經(jīng)中央研究院評議會通過，數(shù)學(xué)研究所籌備處在昆明成立，姜立夫滿腔熱情地投入了籌建工作。
數(shù)學(xué)所籌建之初，正值抗日戰(zhàn)爭最艱苦的年代。姜立夫眼前的局面是：國內(nèi)研究力量依然不足，較有聲望又具研究能力的學(xué)者均被各大學(xué)倚為柱石，難以延聘；連年戰(zhàn)爭，國力衰竭，缺少研究經(jīng)費，購置外文資料所急需的外匯更是難以籌措；資料奇缺，為研究工作所必備的外文數(shù)學(xué)期刊在國內(nèi)已斷檔數(shù)年，因國境遭日本侵略軍封鎖而難以運(yùn)入。姜立夫認(rèn)為：“算所工作之目標(biāo)，在求學(xué)術(shù)上有價值之貢獻(xiàn)，冀可提高我國之國際地位，余事均屬次要”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日）。為實現(xiàn)這一目標(biāo)，在接受籌建任務(wù)之初，他對數(shù)學(xué)所研究人員的延聘、研究工作的開展、圖書資料的積累、經(jīng)費的籌措、機(jī)構(gòu)的建設(shè)乃至所址的選取等問題進(jìn)行了周密的思考與論證，并馬上以極大的精力著手克服面臨的困難。陳省身先生在《立夫師在昆明》一文中指出：在數(shù)學(xué)所的籌備過程中，姜立夫“洞鑒了當(dāng)時中國數(shù)學(xué)界的情形，只求切實工作，未嘗躁進(jìn)，樹立了模范”。
姜立夫深知圖書資料對開展數(shù)學(xué)研究的重要性，在數(shù)學(xué)所籌備之初，他對此就反復(fù)加以強(qiáng)調(diào)，并盡一切努力進(jìn)行積累。他指出：“算學(xué)研究首賴圖書，國內(nèi)各大學(xué)各圖書館對此項設(shè)備瞠乎人后，間有留心采訪略具胚芽者，抗戰(zhàn)以來，復(fù)受摧殘，故本所籌備處之首要任務(wù)在于搜買歐美各國之專門期刊與專家著述。”1941年初，中央研究院總干事傅斯年曾建議，評議會通過增設(shè)數(shù)學(xué)所的決議之后，該所即為正式成立。姜立夫則認(rèn)為：“設(shè)所不能無屋，有屋不能無書。在他科猶有國內(nèi)出版之零星著譯、調(diào)查報告，可填書架，算學(xué)并此無有。需要最切之新出期刊，在現(xiàn)時國內(nèi)各大學(xué)各圖書館亦俱殘闕不齊，逾期未到。茍非自備，且亦無從借貸。閉門造車，非不可為，斧鑿不備，誰尸其咎。值此時局非常，談不到‘規(guī)�！�，然亦不可僅租空屋數(shù)椽，便請研究員到所工作。故正式成立之期，至早須在第一批書籍收到之后，此點對于所之前途，關(guān)系甚大，敬求先生諒解，重加考慮，不勝感幸�！边@一看法得到了傅斯年、繼任總干事葉企孫、院長朱家驊的贊同。由于經(jīng)費短缺和日本侵略軍的封鎖，姜立夫只好把必購圖書期刊減少到最低限度，同時充分利用西南聯(lián)合大學(xué)所集中的南開大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)三校圖書。對于最急需的書刊，他曾希望部分航空、部分取道緬甸、印度運(yùn)入，但因戰(zhàn)局變化，這些圖書直到1946年才陸續(xù)運(yùn)抵，使他屢屢引為憾事。
對于數(shù)學(xué)所組織機(jī)構(gòu)的建設(shè)乃至所址的選擇，姜立夫都曾詳加考慮，并注意吸取中央研究院各所與各國數(shù)學(xué)所的辦所經(jīng)驗。1940年底，他在1940年12月25日致傅斯年的一封信中寫道：“關(guān)于經(jīng)費。……立對于此等事，素不關(guān)心，全無經(jīng)驗，但院內(nèi)現(xiàn)有各所之經(jīng)費支配情形，必多可資借鏡者，尚望先生詳以教我�！薄跋壬k理歷史語言研究所多年，成績昭彰，經(jīng)驗豐富，務(wù)�；菁又甘�，俾得有所遵循。全院規(guī)程、各所組織以及關(guān)于人事、經(jīng)費種種報告，亦希檢寄全份，以備參考�！薄八銓W(xué)研究所之設(shè)立，在他國大都附屬于大學(xué)之內(nèi)，其單獨設(shè)所最有成績者，當(dāng)推美國之instiｔuteforAdvancedstudy，然亦與princetonUniversity合作，蓋一方面可以調(diào)劑研究員之生活興趣，一方面又與優(yōu)秀青年不致失去聯(lián)絡(luò)，易收切磋觀摩之效�！�1944年，華羅庚欲赴蘇聯(lián)考察和進(jìn)修，姜立夫全力支持，并提出：“……蘇聯(lián)科學(xué)近年突飛猛進(jìn)，對于研究機(jī)關(guān)之組織，研究人才之培養(yǎng)，處處可供吾人借鏡。華君若于此時成行，不但在研究工作上可得許多方便，對于本院數(shù)學(xué)所之發(fā)展前途，裨益亦正不少。”（姜立夫，致朱家驊的信，1944年10月19日）
對研究人員的延聘與研究工作的開展，姜立夫用心良苦。一方面，為了完成高水平的研究工作，“對于研究員之延聘，宜特別注重研究能力，寧缺勿濫”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日）。另一方面，由于“國內(nèi)算學(xué)人才最感缺乏，大學(xué)師資今尚不敷分配”（姜立夫，致傅斯年的信，1941年2月25日），因而提出了一系列協(xié)調(diào)辦法。對于各大學(xué)所倚重的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，“如浙大之蘇步青，聯(lián)大之江澤涵、陳省身、華羅庚諸先生，皆當(dāng)盡先羅致，能專任研究固佳，否則似可商同原校分期合聘”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日），對于欲專聘的研究人員，“為合作或參考之便利，或可準(zhǔn)其在規(guī)定時間內(nèi)分赴適當(dāng)之大學(xué)，從事研究或講演，必使全國提倡算學(xué)研究之機(jī)關(guān)與從事算學(xué)研究之學(xué)者，互通聲氣，交受其益”（姜立夫，致傅斯年的信，1941年2月25日）�！敖^對尊重研究成績”（國立中央研究院數(shù)學(xué)研究所籌備處工作報告，1942年3月）和“與各大學(xué)打成一片，而非與各大學(xué)爭才”（姜立夫，致朱家驊的信，1946年3月5日）。這是姜立夫在選聘人員時始終遵循的原則。這種從全局出發(fā)、由長遠(yuǎn)利益著眼的精神，對數(shù)學(xué)研究所的發(fā)展與國內(nèi)數(shù)學(xué)人才的培植都起到了積極作用。本著這一精神，19411943年，數(shù)學(xué)研究所籌備處延騁了6位兼任研究員，他們是蘇步青、陳建功、江澤涵、陳省身、華羅庚、姜立夫；完成論文41篇，其中大半已為國外10余種數(shù)學(xué)雜志所發(fā)表或接受發(fā)表。姜立夫滿意地指出：“數(shù)學(xué)所雖未成立，已有成熟之作品與國際數(shù)學(xué)界相周旋。遭時多艱，有此表現(xiàn)，前途未可限量�！保▏⒅醒胙芯吭簲�(shù)學(xué)研究所籌備處工作報告，1941～1943年）1944年又延聘許寶騄、李華宗為兼任研究員。在這一年度，8位兼任研究員共完成論文30篇，“對于所研究之問題，俱能創(chuàng)立嶄新之方法，探得珍貴之結(jié)果”（國立中央研究院數(shù)學(xué)研究所籌備處工作報告，1944年3月～1945年2月）。在下一年度，上述8人又完成論文21篇。1947年7月，中央研究院數(shù)學(xué)研究所在上海正式成立。到1948年，國內(nèi)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，或?qū)Ｈ�、或兼任，已盡可能延聘到所，除以上8人外，尚有王福春（1947年9月病故）、樊、段學(xué)復(fù)、周煒良、胡世楨、王憲鐘等，共在國內(nèi)外（主要在國外）各主要數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表了近200篇學(xué)術(shù)論文，有計劃地在數(shù)論、群論、級數(shù)論、自守函數(shù)、多元空間、矩陣幾何、曲線論、微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)理統(tǒng)計等研究領(lǐng)域展開了研究，一些領(lǐng)域已處于世界先進(jìn)水平，以國內(nèi)原有的研究基礎(chǔ)和力量而論，這實在是了不起的成就。
學(xué)術(shù)研究
姜立夫的學(xué)術(shù)生涯開始于綜合幾何的研究。1919年5月，他在美國數(shù)學(xué)家Ｊl庫利芝（colidge，1873～1954）指導(dǎo)下完成了博士論文《非歐幾里得直線球面變換法》，用代數(shù)方法和微分幾何方法討論了射影空間的直線與非歐空間的球面之間的一種一一對應(yīng)關(guān)系，獲得了豐富的結(jié)果。
從40年代起，姜立夫的研究課題主要是圓素與球素幾何學(xué)，逐步整理出一套以二階對稱方陣作為圓的坐標(biāo)，以二階埃爾米特（Heｒmite）方陣作為球的坐標(biāo)的新方法。他在《科學(xué)記錄》（1945）上發(fā)表的論文《圓和球的矩陣?yán)碚摗肪褪菍@一階段研究成果的總結(jié)。從1946年7月開始，姜立夫在美國普林斯頓高等研究院繼續(xù)研究這一課題，“利用國內(nèi)尚未經(jīng)見之圖書，整理多年不愿發(fā)表之積稿”（姜立夫，致朱家驊的信，1947年2月14日）。1948年秋，他還在南開大學(xué)作了幾次有關(guān)這一課題的學(xué)術(shù)報告。
50年代以后，姜立夫以較多精力整理并發(fā)展他創(chuàng)建的圓素與球素幾何的矩陣?yán)碚摗?954年，他在中山大學(xué)科學(xué)討論會上作了題為《關(guān)于圓素幾何的新面貌》的報告。他用二階對稱方陣代表平面上的拉蓋爾（laguerre）圓（即有向圓和點圓），用二階埃爾米特（Heｒmite）方陣代表空間的拉蓋爾球（即有向球和點球），再用相應(yīng)的2×4矩陣作為李（lie）圓（即拉蓋爾圓和有向直線以及無窮遠(yuǎn)點圓）和李球（即拉蓋爾球和有向平面以及無窮遠(yuǎn)點球）的齊次坐標(biāo)，于是對應(yīng)于點素平面和點素空間的射影群、仿射群和歐氏群，就有圓素平面和球素空間的辛變換群及其相應(yīng)的子群。這樣，經(jīng)典圓素與球素幾何就獲得新的面貌，并有新的發(fā)展前景。對于這一課題，在他的遺稿中有一個長遠(yuǎn)計劃：
第一階段：對稱方陣與埃爾米特方陣（圓與球，超圓與超球），辛群變換論（麥比烏斯（Mobius）群，拉蓋爾群，李群），用方陣代數(shù)來研討辛群幾何學(xué)。
第二階段：辛群曲線與曲面論等（圓列、圓匯、球列、球匯、球叢），用活動標(biāo)架法來發(fā)展辛群幾何學(xué)（偽歐氏空間的微分幾何）。
第三階段：辛群聯(lián)絡(luò)空間（麥比烏斯聯(lián)絡(luò)空間，拉蓋爾聯(lián)絡(luò)空間，李聯(lián)絡(luò)空間）。用外微分法來推廣黎曼（Riemann）幾何學(xué)與非黎曼幾何學(xué)。
這個計劃的目標(biāo)不僅在于改造經(jīng)典的圓素與球素幾何學(xué)，使之具有新的形式，還在于運(yùn)用現(xiàn)代方法去發(fā)展它，使之與現(xiàn)代幾何合流。應(yīng)該指出，姜立夫很早就注意到圓素與球素幾何與物理學(xué)和近代數(shù)學(xué)其他分支的密切關(guān)系，因而上述改造和發(fā)展都以實際對象為基礎(chǔ)，不追求過分抽象的推廣。這體現(xiàn)了他一貫務(wù)實的治學(xué)精神。
姜立夫晚年治學(xué)不倦，指導(dǎo)他的學(xué)生得到了屬于第一、第二階段計劃中的一些結(jié)果。隨著“文化大革命”的到來，這一有價值的研究工作被迫中斷。近年來他的學(xué)生們又在這一領(lǐng)域獲得了許多新的結(jié)果。
在籌建中央研究院數(shù)學(xué)所的過程中，姜立夫由全局利益出發(fā)，不計個人得失，讓賢陳省身，更是學(xué)界一段佳話。中央研究院在醞釀建所時，早已議定姜立夫為將來的所長。1941年2月17日，時任中央研究院總干事的傅斯年在致姜立夫的信中寫道：“此學(xué)為一切科學(xué)之本，本院成立15年，尚于此無所盡力，以難得其人故也。全蒙先生不棄，實本院之榮幸，欣喜無極。將來此所成立，自非先生主持無以成豐長之進(jìn)步，此節(jié)請萬勿謙抑，今即作為定論也�！睋�(jù)“中央研究院第二屆評議會第一次年會紀(jì)錄”（1941年3月13～15日）載：“本院增設(shè)數(shù)學(xué)研究所，請姜立夫先生任所長�！苯⒎騽t另有考慮，在受命任籌備處主任之前即說明：“至于籌備處主任一節(jié)，則系臨時性質(zhì)，既承雅命，義不容辭，自當(dāng)竭蹶從事，勉襄盛舉”，至于“所長之職，于立（按：姜立夫自稱）實不相宜”（致傅斯年的信，1940年12月25日）。他還懇切地說明了理由：自己身體不好，難以專心學(xué)術(shù)，且不諳行政，又為南開大學(xué)所倚重，不忍貿(mào)然離去。1947年，數(shù)學(xué)所籌備工作基本就緒，已為之付出多年努力的姜立夫從美國致函中央研究院院長朱家驊（1947年2月14日），鄭重提議：“請任命陳省身先生為第一任所長。憶立受命之始，早經(jīng)聲明不為所長�！碇魅侮愂∩碇救ぜ儩崳删氂袨�，與全院新舊同人相處融洽，其學(xué)業(yè)成就尤為超卓，所發(fā)表之論文能以少許勝人多許，所研究之問題極為重要，所得之結(jié)果饒有價值，不但美國數(shù)學(xué)家一致推重，所見歐陸當(dāng)世大師亦復(fù)交口稱許。本院數(shù)學(xué)所長之選，宜推省身第一。況研究所初告成立，需要創(chuàng)造之精神，需要推動之力量，是皆立之所短，而為省身所長，故請毅然加以任命，以利所務(wù)之進(jìn)行�！敝旒因懥⒓磸�(fù)函（1947年3月6日）稱：“所長一席，非兄莫屬，萬祈切勿謙讓。成立時決發(fā)表先生為所長，并同時發(fā)表陳省身先生為代理所長，在臺端未返國以前，即由彼代理�！边@段往事屢為前輩數(shù)學(xué)家提及，但多語焉不詳，有關(guān)細(xì)節(jié)是在80年代末查閱檔案時才發(fā)現(xiàn)的。如今重讀姜立夫的肺腑之言，愈見其胸襟坦蕩，遠(yuǎn)見卓識。
姜立夫一生淡泊名利，廉潔自守。中央研究院數(shù)學(xué)研究所籌備之初，他毅然退回了豐厚的籌備處主任薪金，并建議“主任與秘書均定為不支薪之名譽(yù)職，其余事務(wù)員等一切從簡，所省經(jīng)費全為購書之用”（致傅斯年的信，1941年2月25日）。據(jù)陳省身回憶，籌備期間，研究人員均為兼任，均不支薪。從籌備之初到建所之后，專職行政人員始終只有一位管理員。1946年5月，姜立夫奉派赴美國進(jìn)修。在回顧幾年來的籌備工作時他說：“自受籌備之命，迄立出國之日，為時五年，國境方被封鎖，無法打破，現(xiàn)實蹉跎歲月，深慚無功。惟是五年之中，未嘗浪費一錢、濫用一人，幸亦得免于罪�！保ㄖ轮旒因懙男牛�1947年2月14日）1950年，他還向中國科學(xué)院移交了中央研究院數(shù)學(xué)所的一筆鮮為人知的外匯余款。
由于長期從事中國數(shù)學(xué)教育與研究事業(yè)的開創(chuàng)和領(lǐng)導(dǎo)工作，姜立夫長期擱置了自己的學(xué)術(shù)研究。早在1926年在廈門大學(xué)執(zhí)教時，他就曾對當(dāng)時在身邊做助教的江澤涵說：“前此數(shù)年，我把全部精力用來教書、教學(xué)生，此后我也要繼續(xù)研究，教自己了�！钡�，在以后漫長的半個世紀(jì)中，他始終是教人先于“教己”。在中山大學(xué)時，他年事已高，但晚上為學(xué)生補(bǔ)課卻風(fēng)雨無阻。1955年冬在一次講課中他因心肌梗塞而暈倒，從此學(xué)校不再安排他課堂教學(xué)，但他很快就在家里掛起黑板，組織討論班，與中青年教師、研究生和進(jìn)修教師一起，邊讀書邊研究，還從事數(shù)學(xué)圖書的翻譯，直至“文化大革命”開始。
縱觀姜立夫的一生，雖學(xué)術(shù)著作不多，但他為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)事業(yè)所作出的廣泛而卓越的貢獻(xiàn)，將會永留史冊。
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