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我在這里所講的是我個(gè)人的觀點(diǎn)。這個(gè)報(bào)告不可能包含所有內(nèi)容，特別是，有一些重要的內(nèi)容我不準(zhǔn)備涉及，一部分是因?yàn)槲也皇悄切┓矫娴膶＜�，一部分也是出于它們已�?jīng)在其他地方被評(píng)述過了.例如，我不會(huì)去談?wù)撃切┌l(fā)生在邏輯與計(jì)算領(lǐng)域內(nèi)的著名事件，這些事件往往是與像
希爾伯特，歌德爾，圖靈這些偉大的名字相關(guān)的，除了數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)物理中的應(yīng)用之外，我也不會(huì)談?wù)撎鄶?shù)學(xué)的其他應(yīng)用，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的應(yīng)用太廣泛了，而且這需要專門的論述。每一個(gè)方面都需要一個(gè)專門的報(bào)告。也許大家在這次會(huì)議的其他報(bào)告中會(huì)聽到很多關(guān)于這些內(nèi)容的演講。另外，試著羅列一些定理，甚至是列出在過去一百年的著名數(shù)學(xué)家的名字也是毫無意義的，那簡直是在做枯燥的練習(xí)。所以，代替它們的是，我試著選擇一些我認(rèn)為在很多方面都是很重要的主題來討論并且強(qiáng)調(diào)圍繞這些主題所發(fā)生的事情。
首先我有一個(gè)一般性的說明。世紀(jì)是一個(gè)大約的數(shù)字概念。我們不會(huì)真地認(rèn)為在過整整一百年的時(shí)候，有些事情會(huì)突然停下來，再重新開始，所以當(dāng)我描述二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)時(shí)，有些內(nèi)容實(shí)際上可能是跨世紀(jì)的，如果某件事件發(fā)生在十九世紀(jì)九十年代，并持續(xù)到二十世紀(jì)初，我將不去計(jì)較這種時(shí)間方面的細(xì)節(jié)。我所做的就象一個(gè)天文學(xué)家，工作在一個(gè)近似的數(shù)字環(huán)境中。實(shí)際上，許多東西始于十九世紀(jì)，只不過在二十世紀(jì)才碩果累累。
這個(gè)報(bào)告的難點(diǎn)之一是很難把我們自己放回到1900年時(shí)作為一位數(shù)學(xué)家的位置上，這是因?yàn)樯蟼�(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)有非常多的內(nèi)容已經(jīng)被我們的文化和我們自己吸收掉了。難以想象人們不用我們的術(shù)語來思考的那個(gè)時(shí)代是什么樣子的。實(shí)際上，如果現(xiàn)在有人在數(shù)學(xué)上有一個(gè)真正重要的發(fā)現(xiàn)，其后他也一定會(huì)與之一起被忽略掉了！他會(huì)完全地被融入到背景之中，于是為了能夠回顧過去，我們必須努力去想象在不同時(shí)代，人們用不同方式思考問題時(shí)的情景。
局部到整體
作為開始，我準(zhǔn)備列一些主題并且圍繞它們來討論。我談?wù)摰牡谝粋�(gè)主題概括地講，就是被大家稱為從局部到整體的轉(zhuǎn)變。在古典時(shí)期，人們大體上已經(jīng)研究了在小范圍內(nèi)，使用局部坐標(biāo)等等來研究事物。在這個(gè)世紀(jì)，重點(diǎn)已經(jīng)轉(zhuǎn)移到試圖了解事物整體和大范圍的性質(zhì)。由于整體性質(zhì)更加難以研究，所以大多只能有定性的結(jié)果，這時(shí)拓?fù)涞乃枷刖妥兊梅浅Ｖ匾恕Ｕ?
龐加萊，他不僅為拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展作出先驅(qū)性的貢獻(xiàn)，而且也預(yù)言拓?fù)鋵W(xué)將成為二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的組成部分，順便讓我提一下，給出一系列著名問題的
希爾伯特并沒有意識(shí)到這一點(diǎn)。拓?fù)鋵W(xué)很難在他的那些問題中找到具體體現(xiàn)。但是對(duì)龐加萊而言，他相當(dāng)清楚地看出拓?fù)鋵W(xué)將成為一個(gè)重要的內(nèi)容。
讓我試著列一些領(lǐng)域，然后大家就能知道我在想什么了。例如，考慮一下復(fù)分析（也被稱為“函數(shù)論”），這在十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)的中心，也是象Weierstrass這樣偉大人物工作的中心。對(duì)于他們而言，一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)復(fù)變量的函數(shù);對(duì)于Weierstrass而言，一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)冪級(jí)數(shù)。它們是一些可以用于寫下來，并且可以明確描繪的東西或者是一些公式。函數(shù)是一些公式:它們是明確可以用顯式寫下來的。然而接下來Abe1，
黎曼和其后許多人的工作使我們遠(yuǎn)離了這些，以至于函數(shù)變得可以不用明確的公式來定義，而更多地是通過它們的整體性質(zhì)來定義：通過它們的奇異點(diǎn)的分布，通過它們的定義域位置，通過它們?nèi)≈捣秶�。這些整體性質(zhì)正是一個(gè)特定函數(shù)與眾不同的特性。局部展開只是看待它們的一種方式。
一個(gè)類似的事情發(fā)生在微分方程中，最初，解一個(gè)微分方程，人們需要尋找一個(gè)明確的局部解！是一些可以寫下來的東西。隨著事物的發(fā)展，解不必是一個(gè)顯函數(shù)，人們不一定必須用好的公式來描述它們。解的奇異性是真正決定其整體性質(zhì)的東西。與發(fā)生在復(fù)分析中的一切相比，這種精神是多么的類似，只不過在細(xì)節(jié)上有些不同罷了。
在微分幾何中，高斯和其他人的經(jīng)典工作描述了小片的空間，小塊的曲率以及用來描述局部幾何的局部方程。只要人們想要了解曲面的整體圖象以及伴隨它們的拓?fù)鋾r(shí)，從這些經(jīng)典結(jié)果到大范圍的轉(zhuǎn)變就是很自然的了。當(dāng)人們從小范圍到大范圍時(shí)，最有意義的性質(zhì)就是拓?fù)涞男再|(zhì)。
數(shù)論也有一個(gè)類似的發(fā)展，盡管它并不是很明顯地適用于這一框架。數(shù)論學(xué)家們是這樣來區(qū)分他們稱之為“局部理論”和“整體理論”的：前者是當(dāng)他們討論一個(gè)單個(gè)的素?cái)?shù)，一次一個(gè)素?cái)?shù)，以及有限個(gè)素?cái)?shù)時(shí)；后者是當(dāng)他們同時(shí)討論全部素?cái)?shù)時(shí)。這種素?cái)?shù)和點(diǎn)之間，局部和整體之間的類似性在數(shù)論發(fā)展過程中起了很重要的作用，并且那些在拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展中產(chǎn)生的思想深深地影響了數(shù)論。
當(dāng)然這種情況也發(fā)生在物理學(xué)中，經(jīng)典物理涉及局部理論，這時(shí)我們寫下可以完全描述小范圍性質(zhì)的微分方程，接下來我們就必須研究一個(gè)物理系統(tǒng)的大范圍性質(zhì)。物理學(xué)涉及的全部內(nèi)容就是當(dāng)我們從小范圍出發(fā)時(shí)，我們可以知道在大范圍內(nèi)正在發(fā)生什么，可以預(yù)計(jì)將要發(fā)生什么，并且沿著這些結(jié)論前進(jìn)。
維數(shù)的增加
我的第二個(gè)主題有些不同，我稱之為維數(shù)的增加。我們?cè)俅螐慕?jīng)典的復(fù)變函數(shù)理論開始：經(jīng)典復(fù)變函數(shù)論主要是詳細(xì)討論一個(gè)復(fù)變量理論并加以精煉。推廣到兩個(gè)或者更多個(gè)變量基本上發(fā)生在本世紀(jì)，并且是發(fā)生在有新現(xiàn)象出現(xiàn)的領(lǐng)域內(nèi)。不是所有的現(xiàn)象都與一個(gè)變量的情形相同，這里有完全新的特性出現(xiàn)，并且n個(gè)變量的理論的研究越來越占有統(tǒng)治地位，這也是本世紀(jì)主要成就之一。
另一方面，過去的微分幾何學(xué)家主要研究曲線和曲面，我們現(xiàn)在研究n維流形的幾何,大家仔細(xì)想一想，就能意識(shí)到這是一個(gè)重要的轉(zhuǎn)變。在早期，曲線和曲面是那些人們能真正在空間里看到的東西。而高維則有一點(diǎn)點(diǎn)虛構(gòu)的成分，在其中人們可以通過數(shù)學(xué)思維來想象,但當(dāng)時(shí)人們也許沒有認(rèn)真對(duì)待它們。認(rèn)真對(duì)待它們并且用同樣重視程度來研究它們的這種思想實(shí)際上是二十世紀(jì)的產(chǎn)物。同樣地，也沒有明顯的證據(jù)表明我們十九世紀(jì)的先驅(qū)者們思考過函數(shù)個(gè)數(shù)的增加，研究不單單一個(gè)而是幾個(gè)函數(shù)，或者是向量值函數(shù)。所以我們看到這里有一個(gè)獨(dú)立和非獨(dú)立變量個(gè)數(shù)增加的問題。
線性代數(shù)總是涉及多個(gè)變量，但它的維數(shù)的增加更具有戲劇性，它的增加是從有限維到無窮維，從線性空間到有無窮個(gè)變量的希爾伯特空間。當(dāng)然這就涉及到了分析,在多個(gè)變量的函數(shù)之后，我們就有函數(shù)的函數(shù)，即泛函。它們是函數(shù)空間上的函數(shù)。它們本質(zhì)上有無窮多個(gè)變量，這就是我們稱為變分學(xué)的理論。一個(gè)類似的事情發(fā)生在一般（非線性）函數(shù)理論的發(fā)展中。這是一個(gè)古老的課題，但真正取得卓越的成果是在二十世紀(jì)。這就是我談的第二個(gè)主題。
物理的影響
現(xiàn)在讓我把話題轉(zhuǎn)到一個(gè)不同的主題，即談?wù)勎锢淼挠绊�。在整個(gè)歷史中，物理與數(shù)學(xué)有著非常悠久的聯(lián)系，并且大部分?jǐn)?shù)學(xué)，例如微積分，就是為了解決物理中出現(xiàn)的問題而發(fā)展起來的。在二十世紀(jì)中葉，隨著大多數(shù)純數(shù)學(xué)在獨(dú)立于物理學(xué)時(shí)仍取得了很好的發(fā)展，這種影響或聯(lián)系也許變得不太明顯。但是在本世紀(jì)最后四分之一的時(shí)間里，事情發(fā)生了戲劇性的變化,讓我試著簡單地評(píng)述一下物理學(xué)和數(shù)學(xué)，尤其是和幾何的相互影響。
在十九世紀(jì)，哈密爾頓發(fā)展了經(jīng)典力學(xué)，引入了現(xiàn)在稱為哈密爾頓量的形式化。經(jīng)典力學(xué)導(dǎo)出現(xiàn)在所謂的“辛幾何”。這是幾何的一個(gè)分支，雖然很早已經(jīng)有人研究了，但是實(shí)際上直到最近二十年，這個(gè)課題才得到真正的研究。這已經(jīng)是幾何學(xué)非常豐富的一部分。幾何學(xué)，我在這里使用這個(gè)詞的意思是指，它有三個(gè)分支：黎曼幾何，復(fù)幾何和辛幾何，并且分別對(duì)應(yīng)三個(gè)不同類型的李群。辛幾何是它們之中最新發(fā)展起來的，并且在某種意義下也許是最有趣的，當(dāng)然也是與物理有極其緊密聯(lián)系的一個(gè)，這主要因?yàn)樗臍v史起源與哈密爾頓力學(xué)有關(guān)以及近些年來它與量子力學(xué)的聯(lián)系�，F(xiàn)在，我前面提到過的、作為電磁學(xué)基本線性方程的麥克斯韋爾方程，是Hodge在調(diào)和形式方面工作和在代數(shù)幾何中應(yīng)用方面工作的源動(dòng)力。這是一個(gè)非常富有成果的理論，并且自從本世紀(jì)三十年代以來已經(jīng)成為幾何學(xué)中的許多工作的基礎(chǔ)。
我已經(jīng)提到過廣義相對(duì)論和愛因斯坦的工作。量子力學(xué)當(dāng)然更是提供了一個(gè)重要的實(shí)例。這不僅僅體現(xiàn)在對(duì)易關(guān)系上，而且更顯著地體現(xiàn)在對(duì)希爾泊特空間和譜理論的強(qiáng)調(diào)上。
以一種更具體和明顯的方式，結(jié)晶學(xué)的古典形式是與晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性有關(guān)的。第一個(gè)被研究的實(shí)例是發(fā)生在點(diǎn)周圍的有限對(duì)稱群，這是鑒于它們?cè)诮Y(jié)晶學(xué)中的應(yīng)用。在本世紀(jì)中，群論更深刻的應(yīng)用已經(jīng)轉(zhuǎn)向與物理的關(guān)系，被假設(shè)用來構(gòu)成物質(zhì)的基本粒子看起來在最小的層面上有隱藏的對(duì)稱性，在這個(gè)層面上，有某些李群在此出沒，對(duì)此我們看不見，但是當(dāng)我們研究粒子的實(shí)際行為時(shí)，它們的對(duì)稱性就顯現(xiàn)無遺了。所以我們假定了一個(gè)模型，在這個(gè)模型當(dāng)中，對(duì)稱性是一個(gè)本質(zhì)性的要素，而且目前那些很普遍的不同理論都有一些象SU(2)和SU(3)那樣的基本李群融入其中并構(gòu)成基礎(chǔ)的對(duì)稱群，因此這些李群看起來象是建設(shè)物質(zhì)大廈的磚石。
并不是只有緊李群才出現(xiàn)在物理中,一些非緊李群也出現(xiàn)在物理中，例如Lorentz群。正是由物理學(xué)家第一個(gè)開始研究非緊李群的表示理論的。它們是那些能夠發(fā)生在Hilbert空間的表示，這是因?yàn)�，�?duì)于緊群而言，所有不可約表示都是有限維的，而非緊群需要的是無窮維表示，這也是首先由物理學(xué)家意識(shí)到的。
在二十世紀(jì)的最后25年里，正如我剛剛完成闡述的，有一種巨大的從物理學(xué)的新思想到數(shù)學(xué)的滲透，這也許是整個(gè)世紀(jì)最引人注目的事件之一，就這個(gè)問題本身，也許就需要一個(gè)完整的報(bào)告，但是，基本上來講，量子場論和弦理論已經(jīng)以引人注目的方式影響了數(shù)學(xué)的許多分支，得到了眾多的新結(jié)果、新思想和新技術(shù)。這里，我的意思是指物理學(xué)家通過對(duì)物理理論的理解已經(jīng)能夠預(yù)言某些在數(shù)學(xué)上是對(duì)的事情了。當(dāng)然，這不是一個(gè)精確的證明，但是確有非常強(qiáng)有力的直覺、一些特例和類比所支持。數(shù)學(xué)家們經(jīng)常來檢驗(yàn)這些由物理學(xué)家預(yù)言的結(jié)果，并且發(fā)現(xiàn)它們基本上是正確的，盡管給出證明是很困難的而且它們中的許多還沒有被完全證明。
所以說沿著這個(gè)方向，在過去的25年里取得了巨大的成果。這些結(jié)果是極其細(xì)致的。這并不象物理學(xué)家所講的“這是一種應(yīng)該是對(duì)的東西”。他們說：“這里有明確的公式，還有頭十個(gè)實(shí)例（涉及超過12位的數(shù)字）”。他們會(huì)給出關(guān)于復(fù)雜問題的準(zhǔn)確答案，這些決不是那種靠猜測就能得到的，而是需要用機(jī)器計(jì)算的東西，量子場論提供了一個(gè)重要的工具，雖然從數(shù)學(xué)上來理解很困難，但是站在應(yīng)用的角度，它有意想不到的回報(bào)。這是最近25年中真正令人興奮的事件。
在這里我列一些重要的成果：SimonDona1dson在四維流形方面的工作；Vaughan-Jones在扭結(jié)不變量方面的工作；鏡面對(duì)稱，量子群；再加上我剛才提到的“魔群”。
這個(gè)主題到底講的是什么呢？正如我在前面提到過的一樣，二十世紀(jì)見證了維數(shù)的一種轉(zhuǎn)換并且以轉(zhuǎn)換為無窮維而告終，物理學(xué)家超越了這些，在量子場論方面，他們真正試圖對(duì)廣泛的無窮維空間進(jìn)行細(xì)致的研究，他們處理的無窮維空間是各類典型的函數(shù)空間，它們非常復(fù)雜，不僅是因?yàn)樗鼈兪菬o窮維的，而且它們有復(fù)雜的代數(shù)、幾何以及拓?fù)�，還有圍繞其中的很大的李群，即無窮維的李群，因此正如二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的大部分涉及的是幾何、拓?fù)�、代�?shù)以及有限維李群和流形上分析的發(fā)展，這部分物理涉及了在無窮維情形下的類似處理。當(dāng)然，這是一件非常不同的事情，但確有巨大的成功。
讓我更詳盡地解釋一下，量子場論存在于空間和時(shí)間中�？臻g的真正的意義是三維的，但是有簡化的模型使我們將空間取成一維。在一維空間和一維時(shí)間里，物理學(xué)家遇到的典型事物，用數(shù)學(xué)語言來講，就是由圓周的微分同胚構(gòu)成的群或者是由從圓周到一個(gè)緊李群的微分映射構(gòu)成的群。它們是出現(xiàn)在這些維數(shù)里的量子場論中的兩個(gè)非�；镜臒o窮維李群的例子，它們也是理所當(dāng)然的數(shù)學(xué)事物并且已經(jīng)被數(shù)學(xué)家們研究了一段時(shí)間。
在這樣一個(gè)1＋1維理論中，我們將時(shí)空取成一個(gè)黎曼曲面并且由此可以得到很多新的結(jié)果。例如，研究一個(gè)給定虧格數(shù)的黎曼曲面的模空間是個(gè)可以追溯到上個(gè)世紀(jì)的古典課題。而由量子場論已經(jīng)得到了很多關(guān)于這些�？臻g的上同調(diào)的新結(jié)果。另一個(gè)非常類似的模空間是一個(gè)具有虧格數(shù)g的黎曼曲面上的平坦G-叢的�？臻g。這些空間都是非常有趣的并且量子場論給出關(guān)于它們的一些精確結(jié)果。特別地，可以得到一些關(guān)于體積的很漂亮的公式，這其中涉及到Zeta函數(shù)的取值。
另一個(gè)應(yīng)用與計(jì)數(shù)曲線有關(guān)。如果我們來看給定次數(shù)和類型的平面代數(shù)曲線，我們想要知道的是，例如，經(jīng)過那么多點(diǎn)究竟有多少曲線，這樣我們就要面臨代數(shù)幾何的計(jì)數(shù)問題，這些問題在上個(gè)世紀(jì)一直是很經(jīng)典的。而且也是非常困難的�，F(xiàn)在它們已經(jīng)通過被稱為“量子上同調(diào)”的現(xiàn)代技術(shù)解決了，這完全是從量子場論中得到的�；蛘呶覀円部梢越佑|那些關(guān)于不在平面上而在彎曲族上的曲線的更加困難的問題，這樣我們得到了另一個(gè)具有明確結(jié)果的被稱為鏡面對(duì)稱的美妙理論，所有這些都產(chǎn)生于1＋1維量子場論。
如果我們升高一個(gè)維數(shù)，也就是2-維空間和1-維時(shí)間，就可以得到Vaughan-Jones的扭結(jié)不變量理論。這個(gè)理論已經(jīng)用量子場論的術(shù)語給予了很美妙的解釋和分析。
量子場論另一個(gè)結(jié)果是所謂的“量子群”�，F(xiàn)在關(guān)于量子群的最好的東西是它們的名字。明確地講它們不是群！如果有人要問我一個(gè)量子群的定義，我也許需要用半個(gè)小時(shí)來解釋，它們是復(fù)雜的事物，但毫無疑問它們與量子理論有著很深的聯(lián)系它們?cè)从谖锢�，而且現(xiàn)在的應(yīng)用者是那些腳踏實(shí)地的代數(shù)學(xué)家們，他們實(shí)際上用它們進(jìn)行確定的計(jì)算。
如果我們將維數(shù)升得更高一些，到一個(gè)全四維理論（三加一維），這就是Donaldson的四維流形理論，在這里量子場論產(chǎn)生了重大影響。特別地，這還導(dǎo)致Seiberg和Witten建立了他們相應(yīng)的理論，該理論建立在物理直覺之上并且也給出許多非同尋常的數(shù)學(xué)結(jié)果。所有這些都是些突出的例子。其實(shí)還有更多的例子。
接下來是弦理論并且這已經(jīng)是過時(shí)的了！我們現(xiàn)在所談?wù)摰氖荕一理論，這是一個(gè)內(nèi)容豐富的理論，其中同樣有大量的數(shù)學(xué)，從關(guān)于它的研究中得到的結(jié)果仍有待于進(jìn)一步消化并且足可以讓數(shù)學(xué)家們忙上相當(dāng)長的時(shí)間。
通用的技術(shù)
現(xiàn)在我不想再談?wù)撎嗑蛢?nèi)容來劃分的主題，而想談?wù)勀切┮勒找呀?jīng)使用的技術(shù)和常見方法所確定的主題，也就是我想描述一些已經(jīng)廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域的常見方法。第一個(gè)就是：
同調(diào)論
歷史上同調(diào)論是作為拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)分支而發(fā)展起來的。它涉及到以下情形。現(xiàn)有一個(gè)復(fù)雜的拓?fù)淇臻g，我們想從中得到它的一些簡單信息如計(jì)算它的洞或者類似事物的個(gè)數(shù),得到某些與之聯(lián)系的可加的線性不變量等。這是一種在非線性條件下關(guān)干線性不變量的構(gòu)造。從幾何的角度來看，閉鏈可加可減，這樣就得到了所謂的一個(gè)空間的同調(diào)群。同調(diào)論，作為一種從拓?fù)淇臻g獲取某些信息的基本代數(shù)工具，是在本世紀(jì)上半葉發(fā)現(xiàn)的。這是一種從幾何中獲益匪淺的代數(shù)。
同調(diào)概念也出現(xiàn)在其他一些方面。其另一個(gè)源頭可以追溯到希爾伯特及其關(guān)于多項(xiàng)式的研究中，多項(xiàng)式是非線性的函數(shù)，它們相乘可以得到更高次數(shù)的多項(xiàng)式。正是
希爾伯特那偉大的洞察力促使他來討論“理想”，具有公共零點(diǎn)的多項(xiàng)式的線性組合。他要尋找這些理想的生成元。生成元可能有很多。他審視它們之間的關(guān)系以及關(guān)系之間的關(guān)系。于是他得到這些關(guān)系的一個(gè)分層譜系，這就是所謂的“Hilbert合系”。
希爾伯特的這個(gè)理論是一種非常復(fù)雜的方法，他試圖將一個(gè)非線性的情形（多項(xiàng)式的研究）化為線性情形。本質(zhì)上來講，希爾伯特構(gòu)造了一個(gè)線性關(guān)系的復(fù)雜體系。能夠把象多項(xiàng)式這樣的非線性事物的某些信息納入其中。
這個(gè)代數(shù)理論實(shí)際上是與上述拓?fù)淅碚撈叫械�，而且現(xiàn)在它們已融合在一起構(gòu)成了所謂的“同調(diào)代數(shù)”。在代數(shù)幾何學(xué)中，本世紀(jì)五十年代最偉大的成就之一是層的上同調(diào)理論的發(fā)展及在解析幾何學(xué)中的擴(kuò)展，這是由Leray，Cartan，Serre和Grothendieck等人組成的法國學(xué)派取得的。從中我們可以感受到一種既有Riemann-Poincaré的拓?fù)渌枷�，又�?
希爾伯特的代數(shù)思想，再加上某些分析手段的融合，
這表明同調(diào)論在代數(shù)的其它分支也有著廣泛的應(yīng)用。我們可以引入同調(diào)群的概念，它通常是與非線性事物相關(guān)的線性事物。我們可以將之應(yīng)用于群論，例如，有限群，以及李代數(shù)：它們都有相應(yīng)的同調(diào)群。在數(shù)論方面，同調(diào)群通過Galois群產(chǎn)生了非常重要的應(yīng)用。因此在相當(dāng)廣泛的情形下同調(diào)論都是強(qiáng)有力的工具之一，它也是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)典型的特征。
K-理論
我要談的另外一個(gè)技術(shù)就是所謂的“K-理論”。它在很多方面都與同調(diào)論相似，它的歷史并不很長（直到二十世紀(jì)中葉才出現(xiàn)，盡管其起源的某些方面也許可以追溯到更早一些），但它卻有著很廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)滲透進(jìn)了數(shù)學(xué)的許多部分。K-理論實(shí)際上與表示理論緊密相聯(lián)，有限群的表示理論，可以講，起源于十九世紀(jì)。但是其現(xiàn)代形式——K-理論卻只有一個(gè)相對(duì)較短的歷史。K-理論可以用下面的方式來理解：它可以被想成是應(yīng)用矩陣論的一種嘗試。我們知道矩陣的乘法是不可交換的，于是我們想構(gòu)造矩陣可換的或是線性的不變量。跡，維數(shù)和行列式都是矩陣論中可換的不變量，而K-理論即是試圖處理它們的一種系統(tǒng)的方法，它有時(shí)也被稱為“穩(wěn)定線性代數(shù)”。其思想就是，如果我們有很多矩陣，那么把兩個(gè)不可換的矩陣A和矩陣B放在不同塊的正交位置上，它們就可換了，因?yàn)樵谝粋�(gè)大的空間里，我們可以隨意移動(dòng)物體。于是在某些近似情況下，這樣做是很有好處的，足以讓我們得到一些信息，這就是作為一個(gè)技術(shù)的K-理論的基石。這完全類似于同調(diào)論，二者都是從復(fù)雜的非線性情形獲取線性的信息。
在代數(shù)幾何中，K-理論是由Grothendieck首先引入的，并且取得了巨大的成功，這些與我們剛剛談到的層理論密切相關(guān)，而且也和他在Riemann-Roch定理方面的工作有緊密聯(lián)系。
在拓?fù)鋵W(xué)方面，Hirzebruch和我照搬了這些思想并且將它們應(yīng)用到一個(gè)純粹的拓?fù)浞懂爟?nèi)。從某種意義下來說，如果Grothendieck的工作與Hilbert在合系方面的工作有關(guān)，那么我們的工作更接近于Riemann-Poincaré在同調(diào)方面的工作，我們用的是連續(xù)函數(shù)，而他用的是多項(xiàng)式。K-理論也在橢圓算子的指標(biāo)理論和線性分析的研究中起了重要作用。
從另外一個(gè)不同的角度，Milnor，Quillen和其他人發(fā)展了K-理論的代數(shù)方面，這在數(shù)論的研究中有著潛力巨大的應(yīng)用。沿著這個(gè)方向的發(fā)展導(dǎo)致了許多有趣問題的產(chǎn)生。
在泛函分析方面，包括象Kasparov在內(nèi)的許多人的工作將連續(xù)的K-理論推廣到非交換的C*-代數(shù)情形。一個(gè)空間上的連續(xù)函數(shù)在函數(shù)乘積意義下形成一個(gè)交換代數(shù)。但是在其他情形下，自然地產(chǎn)生了類似的關(guān)于非交換情形的討論，這時(shí)，泛函分析也就自然而然地成為了這些問題的溫床。
因此，K-理論是另外一個(gè)能夠?qū)⑾喈?dāng)廣泛的數(shù)學(xué)的許多不同方面都能用這種比較簡單的公式來處理的領(lǐng)域，盡管在每一個(gè)情形下，都有很多特定于該方面且能夠連接其他部分的非常困難的，技巧性很強(qiáng)的問題。K-理論不是一個(gè)統(tǒng)一的工具，它更象是一個(gè)統(tǒng)一的框架，在不同部分之間具有類比和相似。
這個(gè)工作的許多內(nèi)容已經(jīng)被Alain Connes推廣到“非交換微分幾何”。
非常有趣的是，也就是在最近，Witten通過他在弦理論方面（基礎(chǔ)物理學(xué)的最新思想）的工作發(fā)現(xiàn)許多很有趣的方法都與K-理論有關(guān)，并且K-理論看起來為那些所謂的“守恒量”提供了一個(gè)很自然的“家”。雖然在過去同調(diào)論被認(rèn)為是這些理論的自然框架，但是現(xiàn)在看起來K一理論能提供更好的答案。
李群
另一個(gè)不單單是一項(xiàng)技術(shù)、而且是具有統(tǒng)一性的概念是李群。現(xiàn)在說起李群，我們基本上就是指正交群，酉群，辛群以及一些例外群，它們?cè)诙兰o(jì)數(shù)學(xué)歷史中起了非常重要的作用。它們同樣起源于十九世紀(jì)。SophusLie是一位十九世紀(jì)的挪威數(shù)學(xué)家。正如很多人所講的那樣，他和Fleix
克萊因，還有其他人一起推動(dòng)了“連續(xù)群理論”的發(fā)展。對(duì)克萊因而言，一開始，這是一種試圖統(tǒng)一處理歐幾里德幾何和非歐幾何這兩種不同類型幾何的方法。雖然這個(gè)課題源于十九世紀(jì)，但真正起步卻是在二十世紀(jì)，作為一種能夠?qū)⒃S多不同問題歸并于其中來研究的統(tǒng)一性框架，李群理論深深地影響了二十世紀(jì)。
我現(xiàn)在來談?wù)効巳R因思想在幾何方面的重要性。對(duì)于克萊因而言，幾何就是齊性空間，在那里，物體可以隨意移動(dòng)而保持形狀不變，因此，它們是由一個(gè)相關(guān)的對(duì)稱群來控制的。
歐幾里德群給出歐幾里德幾何而雙曲幾何源于另一個(gè)李群。于是每一個(gè)齊性幾何對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的李群。但是到了后來，隨著對(duì)黎曼的幾何學(xué)工作的進(jìn)一步發(fā)展，人們更關(guān)心那些不是齊性的幾何，此時(shí)曲率隨著位置的變化而變化，并且空間不再有整體對(duì)稱性，然而，李群仍然起著重要的作用，這是因?yàn)樵谇锌臻g中我們有
歐幾里德坐標(biāo)，以至于李群可以出現(xiàn)在一種無窮小的層面上。于是在切空間中，從無窮小的角度來看，李群又出現(xiàn)了，只不過由于要區(qū)分不同位置的不同點(diǎn)，我們需要用某種可以處理不同李群的方式來移動(dòng)物體。這個(gè)理論是被Eile
Cartan真正發(fā)展起來的，成為現(xiàn)代微分幾何的基石，該理論框架對(duì)于愛因斯坦的相對(duì)論也起著基本的作用。當(dāng)然愛因斯坦的理論極大地推動(dòng)了微分幾何的全面發(fā)展。
進(jìn)入二十世紀(jì)，我前面提到的整體性質(zhì)涉及到了在整體層面上的李群和微分幾何。一個(gè)主要的發(fā)展是給出所謂的“示性類”的信息，這方面標(biāo)志性的工作是由Borel和Hirzebruch給出的，示性類是拓?fù)洳蛔兞坎⑶胰诤先齻�(gè)關(guān)鍵部分：李群，微分幾何和拓?fù)�，�?dāng)然也包含與群本身有關(guān)的代數(shù)。
在更帶分析味的方向上，我們得到了現(xiàn)在被稱為非交換調(diào)和分析的理論。這是付里葉理論的推廣，對(duì)于后者，付里葉級(jí)數(shù)或者是付里葉積分本質(zhì)上對(duì)應(yīng)于圓周和直線的交換李群，當(dāng)我們用更為復(fù)雜的李群代替它們時(shí)，我們就可以得到一個(gè)非常漂亮、非常精巧并且將李群表示理論和分析融為一體的理論。這本質(zhì)上是Harish-Chandra一生的工作。
在數(shù)論方面，整個(gè)“蘭德斯綱領(lǐng)”,現(xiàn)在許多人都這樣稱呼它，緊密聯(lián)系于Harish-Chandra理論，產(chǎn)生于李群理論之中。對(duì)于每一個(gè)李群，我們都可以給出相應(yīng)的數(shù)論和在某種程度實(shí)施Langlands綱領(lǐng)。在本世紀(jì)后半葉，代數(shù)數(shù)論的一大批工作深受其影響。模形式的研究就是其中一個(gè)很好的例證，這還包括Andrew
Wiles在費(fèi)馬大定理方面的工作。
也許有人認(rèn)為李群只不過在幾何范疇內(nèi)特別重要而已，因?yàn)檫@是出于連續(xù)變量的需要。然而事實(shí)并非如此，有限域上的李群的類似討論可以給出有限群，并且大多數(shù)有限群都是通過這種方式產(chǎn)生的。因此李群理論的一些技巧甚至可以被應(yīng)用到有限域或者是局部域等一些離散情形中。這方面有許多純代數(shù)的工作，例如與George
Lusztig名字聯(lián)系在一起的工作。在這些工作中，有限群的表示理論被加以討論，并且我已經(jīng)提到的許多技術(shù)在這里也可以找到它們的用武之地。
有限群
上述討論已把我們帶到有限群的話題，這也提醒了我：有限單群的分類是我必須承認(rèn)的一項(xiàng)工作。許多年以前，也就是在有限單群分類恰要完成之時(shí),我接受了一次采訪，并且我還被問道我對(duì)有限單群分類的看法,我當(dāng)時(shí)很輕率地說我并不認(rèn)為它有那么重要。我的理由是有限單群分類的結(jié)果告訴我們，大多數(shù)單群都是我們已知的，還有就是一張有關(guān)若干例外情形的表。在某種意義下，這只不過是結(jié)束了一個(gè)領(lǐng)域。而并沒有開創(chuàng)什么新東西，當(dāng)事物用結(jié)束代替開始時(shí)，我不會(huì)感到很興奮。但是我的許多在這一領(lǐng)域工作的朋友聽到我這么講，理所當(dāng)然地會(huì)感到非常非常不高興，我從那時(shí)起就不得不穿起“防彈衣”了。
在這項(xiàng)研究中，有一個(gè)可以彌補(bǔ)缺點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)。我在這里實(shí)際上指的是在所有的所謂“散在群”(sporadic
groups)中，最大的被賦予了“魔群”名字的那一個(gè)。我認(rèn)為魔群的發(fā)現(xiàn)這件事本身就是有限單群分類中最叫人興奮的結(jié)果了�？梢钥闯瞿菏且粋�(gè)極其有意思的動(dòng)物而且現(xiàn)在還處于被了解之中。它與數(shù)學(xué)的許多分支的很大一部分有著意想不到的聯(lián)系，如與橢圓模函數(shù)的聯(lián)系，甚至與理論物理和量子場論都有聯(lián)系。這是分類工作的一個(gè)有趣的副產(chǎn)品。正如我所說的，有限單群分類本身關(guān)上了大門，但是魔群又開啟了一扇大門。
從交換到非交換
第三個(gè)主題是從交換到非交換的轉(zhuǎn)變。這可能是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)，特別是代數(shù)學(xué)的最主要的特征之一。代數(shù)的非交換方面已經(jīng)極其重要，當(dāng)然，它源自于十九世紀(jì)。它有幾個(gè)不同的起源。
哈密爾頓在四元數(shù)方面的工作可能是最令人驚嘆的，并且有巨大的影響，實(shí)際上這是受處理物理問題時(shí)所采用的思想所啟發(fā)。還有Grassmann在外代數(shù)方面的工作，這是另一個(gè)代數(shù)體系，現(xiàn)在已經(jīng)被融入我們的微分形式理論中。當(dāng)然，還有Cayley以線性代數(shù)為基礎(chǔ)的矩陣方面的工作和Galois在群論方面的工作等。
所有這些都是以不同的方式形成了把非交換乘法引入代數(shù)理論的基石，我形象地把它們說成是二十世紀(jì)代數(shù)機(jī)器賴以生存的“面包和黃油”。我們現(xiàn)在可以不去思考這些，但在十九世紀(jì)，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，當(dāng)然，這些思想在不同的領(lǐng)域內(nèi)得到了驚人的發(fā)展。矩陣和非交換乘法在物理中的應(yīng)用產(chǎn)生了量子理論。Heisenberg對(duì)易關(guān)系是非交換代數(shù)在物理中的一個(gè)最重要的應(yīng)用例子，以至后來被
馮諾依曼推廣到他的算子代數(shù)理論中。
群論也是在二十世紀(jì)占重要位量的理論，我稍后再回來談它。
從線性到非線性
我的下一個(gè)主題是從線性到非線性的轉(zhuǎn)變。古典數(shù)學(xué)的大部分或者基本上是線性的，或者即使不是很精確的線性，也是那種可以通過某些擾動(dòng)展開來研究的近似線性，真正的非線性現(xiàn)象的處理是非常困難的，并且只是在本世紀(jì)，才在很大的范圍內(nèi)對(duì)其進(jìn)行了真正的研究。
我們從幾何開始談起：歐幾里德幾何，平面的幾何，空間的幾何，直線的幾何，所有這一切都是線性的。而從非歐幾何的各個(gè)不同階段到
黎曼的更一般的幾何，所討論的基本上是非線性的。在微分方程中，真正關(guān)于非線性現(xiàn)象的研究已經(jīng)處理了眾多我們通過經(jīng)典方法所看不到的新現(xiàn)象。在這里我只舉兩個(gè)例子，孤立子和混沌，這是微分方程理論兩個(gè)非常不同的方面，在本世紀(jì)已經(jīng)成為極度重要和非常著名的研究課題了。它們代表不同的極端。孤立子代表非線性微分方程的無法預(yù)料的有組織的行為，而混沌代表的是無法預(yù)料的無組織的行為(disorganized
behavior)。這兩者出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，都是非常有趣和重要的，但它們基本土都是非線性現(xiàn)象。我們同樣可以將關(guān)于孤立子的某些工作的早期歷史追溯到十九世紀(jì)下葉，但那只是很少的一部分。
當(dāng)然，在物理學(xué)，麥克斯韋爾方程（電磁學(xué)的基本方程）是線性偏微分方程。與之對(duì)應(yīng)的是著名的Yang-Mills方程，它們是非線性方程并被假定用來調(diào)控與物質(zhì)結(jié)構(gòu)有關(guān)的力。這些方程之所以是非線性的，是因?yàn)閅ang-Mills方程本質(zhì)上是
麥克斯韋爾方程的矩陣體現(xiàn)，并且由矩陣不可交換這一事實(shí)導(dǎo)致方程中出現(xiàn)非線性項(xiàng)。于是在這里我們看到了一個(gè)非線性性與非交換性之間的有趣的聯(lián)系。非交換性產(chǎn)生一類特殊的非線性性，這的確是很有意思和很重要的。
幾何與代數(shù)
至此我談的是一些一般性的主題，現(xiàn)在我想談?wù)撘幌聰?shù)學(xué)中的一個(gè)二分叉現(xiàn)象，它來回?fù)u擺卻始終伴隨著我們，這就給了我一個(gè)機(jī)會(huì)來做一些哲學(xué)上的思索和說明。我指的是幾何和代數(shù)之間的二分法，幾何和代數(shù)是數(shù)學(xué)的兩個(gè)形式支柱，并且都有悠久的歷史。幾何學(xué)可以追溯到古希臘甚至更早的時(shí)期；代數(shù)學(xué)則源于古阿拉伯人和古印度人。所以，它們都已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，但它們之間有一種令人感到不太自然的關(guān)系。
讓我首先由這個(gè)問題的歷史開始。歐幾里德幾何是數(shù)學(xué)理論中最早的一個(gè)例子，直到笛卡兒在我們現(xiàn)在稱為的笛卡兒平面中引入代數(shù)坐標(biāo)之前，它一直是純幾何的。
笛卡兒的做法是一種將幾何思考化為代數(shù)運(yùn)算的嘗試。從代數(shù)學(xué)家們的角度來講，這當(dāng)然是對(duì)幾何學(xué)的一個(gè)重大突破或者說一次重大的沖擊，如果我們來比較
牛頓和萊布尼茨在分析方面的工作，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)他們屬于不同的傳統(tǒng)，牛頓基本上是一個(gè)幾何學(xué)家而萊布尼茨基本土是一個(gè)代數(shù)學(xué)家，這其中有著很深刻的道理。對(duì)于
牛頓而言，幾何學(xué)，或者是由他發(fā)展起來的微積分學(xué)，都是用來描述自然規(guī)律的數(shù)學(xué)嘗試。他關(guān)心的是在很廣泛意義下的物理，以及幾何世界中的物理。在他看來，如果有人想了解事物，他就得用物理世界的觀點(diǎn)來思考它，用幾何圖象的觀點(diǎn)來看待它。當(dāng)他發(fā)展微積分的時(shí)候，他想要發(fā)展的是微積分的一種能盡可能貼近隱藏在其后的物理內(nèi)蘊(yùn)的表現(xiàn)形式。所以他用的是幾何論證，因?yàn)檫@樣可以與實(shí)際意義保持密切關(guān)系，另一方面，
萊布尼茨有一個(gè)目標(biāo)，一個(gè)雄心勃勃的目標(biāo)，那就是形式化整個(gè)數(shù)學(xué)，將之變成一個(gè)龐大的代數(shù)機(jī)器。這與牛頓的途徑截然不同，并且二者有很多不同的記號(hào)。正如我們所知道的，在
牛頓和萊布尼茨之間的這場大爭論中，萊布尼茨的記號(hào)最后得勝。我們現(xiàn)在還沿用他的記號(hào)來寫偏導(dǎo)數(shù)。牛頓的精神尚在，但被人們埋葬了很長時(shí)間。
在十九世紀(jì)末期，也就是一百年前，龐加萊和希爾伯特是兩個(gè)主要人物。我在前面已經(jīng)提到過他們了，并且可以粗略地講，他們分別是
牛頓和萊布尼茨的傳人。龐加萊的思想更多的是幾何和拓?fù)涞木�，他用這些思想作為他的基本洞察工具。希爾伯特更多的是一個(gè)形式主義者，他要的是公理化，形式化，并且要給出嚴(yán)格的，形式的描述。雖然任何一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家都不能輕易地被歸到哪一類中去，但是，很清楚地，他們屬于不同的傳統(tǒng)。
當(dāng)準(zhǔn)備這個(gè)報(bào)告的時(shí)候，我想我應(yīng)該寫下我們目前這一代中能夠繼承這些傳統(tǒng)的具有代表性的人的名字。談?wù)撨�健在的人是十分困難的——誰該放在這張名單上呢？接著我又暗自思忖：有誰會(huì)介意被放在這么一張著名的名單的哪一邊呢？于是我選擇了兩個(gè)名字Arnold Bourbaki，前者是
龐加萊-牛頓傳統(tǒng)的繼承人，而后者，我認(rèn)為，是希爾伯特最著名的接班人。Arnold毫不含糊地認(rèn)為：他的力學(xué)和物理的觀點(diǎn)基本上是幾何的，是源自于
牛頓的；以為存在處于二者之間的東西，除了象黎曼（他確實(shí)跟兩者都有偏離）等少數(shù)人之外，都是一種誤解。Bourbaki努力繼續(xù)
希爾伯特的形式化的研究，將數(shù)學(xué)公理化和形式化推向了一個(gè)令人矚目的范圍并取得了一些成功。每一種觀點(diǎn)都有它的優(yōu)點(diǎn)，但是它們之間很難調(diào)和。
讓我來解釋一下我自己是如何看待幾何和代數(shù)之間的不同。幾何學(xué)當(dāng)然講的是空間，這是毫無疑問的。如果我面對(duì)這間房間里的聽眾，我可以在一秒中內(nèi)或者是一微秒內(nèi)看到很多，接收到大量的信息，當(dāng)然這不是一件偶然的事件。我們大腦的構(gòu)造與視覺有著極其重要的關(guān)系。我從一些從事神經(jīng)生理學(xué)的朋友那里了解到，視覺占用了大腦皮層的百分之八十或九十。在大腦中大約有十七個(gè)中樞，每一個(gè)中樞專門用來負(fù)責(zé)視覺活動(dòng)的不同部分：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分與水平方向有關(guān)，有些部分是關(guān)于色彩和透視的，最后有些部分涉及的是所見事物的具體含義和解說。理解并感知我們所看到的這個(gè)世界是我們?nèi)祟惏l(fā)展進(jìn)化的一個(gè)非常重要的部分。因此空間直覺者空間知覺
是一種非常強(qiáng)有力的工具，也是幾何學(xué)在數(shù)學(xué)上占有如此重要位置的原因，它不僅僅對(duì)那些明顯具有幾何性質(zhì)的事物可以使用，甚至對(duì)那些沒有明顯幾何性質(zhì)的事物也可以使用。我們努力將它們歸結(jié)為幾何形式，因?yàn)檫@樣可以讓我們使用我們的直覺。我們的直覺是我們最有力的武器。特別是在向?qū)W生或是同事講解一種數(shù)學(xué)時(shí)可以看得很清楚。當(dāng)你講解一個(gè)很長而且很有難度的論證，最后使學(xué)生明白了。學(xué)生這時(shí)會(huì)說些什么呢？他會(huì)說“我看到了（我懂了）！”在這里看見與理解是同義詞，而且我們還可以用“知覺”這個(gè)詞來同時(shí)形容它們，至少這在英語里是對(duì)的，把這個(gè)現(xiàn)象與其他語言作對(duì)比同樣有趣。我認(rèn)為有一點(diǎn)是很基本的：人類通過這種巨大的能力和視覺的瞬間活動(dòng)獲取大量的信息，從而得以發(fā)展，而教學(xué)參與其中并使之完善。
在另一方面（也許有些人不這樣認(rèn)為），代數(shù)本質(zhì)上涉及的是時(shí)間。無論現(xiàn)在做的是哪一類代數(shù)，都是一連串的運(yùn)算被一個(gè)接著一個(gè)羅列出來，這里“一個(gè)接著一個(gè)”的意思是我們必須有時(shí)間的概念。在一個(gè)靜態(tài)的宇宙中，我們無法想象代數(shù)，但幾何的本質(zhì)是靜態(tài)的：我可以坐在這里觀察，沒有什么變化，但我仍可以繼續(xù)觀察。然而,代數(shù)與時(shí)間有關(guān)，這是因?yàn)槲覀冇幸贿B串的運(yùn)算，這里當(dāng)我談到“代數(shù)”時(shí)，我并不單單指現(xiàn)代代數(shù)。任何算法，任何計(jì)算過程，都是一個(gè)接著一個(gè)地給出一連串步驟,現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的發(fā)展使這一切看得很清楚�，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)用一系列0和1來反映其信息并由此給出問題的答案。
代數(shù)涉及的是時(shí)間的操作，而幾何涉及的是空間。它們是世界互相垂直的兩個(gè)方面，并且它們代表數(shù)學(xué)中兩種不同的觀念。因此在過去數(shù)學(xué)家們之間關(guān)于代數(shù)和幾何相對(duì)重要性的爭論或者對(duì)話代表了某些非常非常基本的事情。
當(dāng)然只是為了論證是哪一邊輸了，哪一邊勝利了，這并不值得。當(dāng)我考慮這個(gè)問題時(shí)，有一個(gè)形象的類比：“你愿意成為一個(gè)代數(shù)學(xué)家還是一個(gè)幾何學(xué)家？”這個(gè)問題就象問：“你愿意是聾子還是瞎子？”一樣。如果人的眼睛盲了，就看不見空間；如果人的耳朵聾了，就無法聽見，聽覺是發(fā)生在時(shí)間之中的，總的來說，我們還是寧愿二者都要。
在物理學(xué)，也有一個(gè)類似的、大致平行的關(guān)于物理概念和物理實(shí)驗(yàn)之間的劃分。物理學(xué)有兩個(gè)部分：理論——概念，想法，單詞，定律——和實(shí)驗(yàn)儀器。我認(rèn)為概念在某種廣義的意義下是幾何的，這是因?yàn)樗鼈兩婕暗氖前l(fā)生在真實(shí)世界的事物。另一方面，實(shí)驗(yàn)更象一個(gè)代數(shù)計(jì)算。人們做事情總要花時(shí)間，測定一些數(shù)，將它們代入到公式中去。但是在實(shí)驗(yàn)背后的基本概念卻是幾何傳統(tǒng)的一部分。
將上述二分叉現(xiàn)象用更哲學(xué)或者更文學(xué)的語言來說，那就是對(duì)幾何學(xué)家而言，代數(shù)就是所謂的“浮士德的奉獻(xiàn)”。正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通過魔鬼可以得到他所想要的（就是一個(gè)漂亮女人的愛），其代價(jià)是出賣他的靈魂，代數(shù)就是由魔鬼提供給數(shù)學(xué)家的供品。魔鬼會(huì)說：“我將給你這個(gè)有力的機(jī)器，它可以回答你的任何問題。你需要做的就是把你的靈魂給我：放棄幾何，你就會(huì)擁有這個(gè)威力無窮的機(jī)器”(現(xiàn)在可以把它想象成為一臺(tái)計(jì)算機(jī)!)。當(dāng)然我們希望同時(shí)擁有它們，我們也許可以欺騙魔鬼，假裝我們出賣靈魂，但不真地給它。不過對(duì)我們靈魂的威脅依然存在，這是因?yàn)楫?dāng)我們轉(zhuǎn)入代數(shù)計(jì)算時(shí)，本質(zhì)上我們會(huì)停止思考，停止用幾何的觀念來考慮問題，不再思考其含義。
在這里我談?wù)摯鷶?shù)學(xué)家的話重了一些，但是基本土，代數(shù)的目標(biāo)總是想建立一個(gè)公式，把它放到一個(gè)機(jī)器中去，轉(zhuǎn)動(dòng)一下把手就可以得到答案。也就是拿來一個(gè)有意義的東西，把它化成一個(gè)公式，然后得到答案。在這樣的一個(gè)過程中，人們不再需要思考代數(shù)的這些不同階段對(duì)應(yīng)的幾何是什么。就這樣，洞察力丟掉了，而這在那些不同的階段都是非常重要的。我們絕不能放棄這些洞察力！最終我們還是要回到這上面來的，這就是我所談到的浮士德的奉獻(xiàn)。我肯定這種講法尖銳了一點(diǎn)。
幾何和代數(shù)的這種選擇導(dǎo)致能融合二者的一些交叉課題的產(chǎn)生，并且代數(shù)和幾何之間的區(qū)別也不象我講的那樣直截了當(dāng)和樸實(shí)無華。例如，代數(shù)學(xué)家們經(jīng)常使用圖式。而除了幾何直覺，圖式又能是什么呢？
歷史的總結(jié)
我現(xiàn)在作一個(gè)簡短的總結(jié)。讓我概括地談?wù)剼v史：數(shù)學(xué)究竟發(fā)生了什么？我相當(dāng)隨意地把十八世紀(jì)和十九世紀(jì)放在了一起，把它們當(dāng)做我們稱為古典數(shù)學(xué)的時(shí)代，這個(gè)時(shí)代是與歐拉和高斯這樣的人聯(lián)系在一起的，所有偉大的古典數(shù)學(xué)結(jié)果也都是在這個(gè)時(shí)代被發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的。有人也許認(rèn)為那幾乎就是數(shù)學(xué)的終結(jié)了，但是相反地，二十世紀(jì)實(shí)際上非常富有成果，這也是我一直在談?wù)摰摹?/p>
二十世紀(jì)大致可以一分為二地分成兩部分。我認(rèn)為二十世紀(jì)前半葉是被我稱為“專門化的時(shí)代”，這是一個(gè)希爾伯特的處理辦法大行其道的時(shí)代，即努力進(jìn)行形式化，仔細(xì)地定義各種事物，并在每一個(gè)領(lǐng)域中貫徹始終。正如我說到過的，Bourbaki的名字是與這種趨勢(shì)聯(lián)系在一起的。在這種趨勢(shì)下，人們把注意力都集中于在特定的時(shí)期從特定的代數(shù)系統(tǒng)或者其它系統(tǒng)能獲得什么。二十世紀(jì)后半葉更多地被我稱為“統(tǒng)一的時(shí)代”，在這個(gè)時(shí)代，各個(gè)領(lǐng)域的界限被打破了，各種技術(shù)可以從一個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用到另外一個(gè)領(lǐng)域，并且事物在很大程度上變得越來越有交叉性。我想這是一種過于簡單的說法，但是我認(rèn)為這簡單總結(jié)了我們所看到的二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的一些方面。
二十一世紀(jì)會(huì)是什么呢？我已經(jīng)說過，二十一世紀(jì)是量子數(shù)學(xué)的時(shí)代，或者，如果大家喜歡，可稱為是無窮維數(shù)學(xué)的時(shí)代。這意味著什么呢？量子數(shù)學(xué)的含義是指我們能夠恰當(dāng)?shù)乩斫夥治�、幾何、拓�(fù)浜透魇礁鳂拥姆蔷�性函數(shù)空間的代數(shù)，在這里，“恰當(dāng)?shù)乩斫狻�，我是指能夠以某種方式對(duì)那些物理學(xué)家們已經(jīng)推斷出來的美妙事物給出較精確的證明。
有人要說，如果用天真幼稚的方式來研究無窮維并問一些天真幼稚的問題，通常來講，只能得到錯(cuò)誤的答案或者答案是無意義的，物理的應(yīng)用、洞察力和動(dòng)機(jī)使得物理學(xué)家能夠問一些關(guān)于無窮維的明智的問題，并且可以在有合乎情理的答案時(shí)作一些非常細(xì)致的工作，因此用這種方式分析無窮維決不是一件輕而易舉的事情。我們必須沿著這條正確的道路走下去。我們已經(jīng)得到了許多線索，地圖已經(jīng)攤開了：我們的目標(biāo)已經(jīng)有了，只不過還有很長的路要走。
還有什么會(huì)發(fā)生在二十一世紀(jì)？我想強(qiáng)調(diào)一下Connes的非交換微分幾何。Alain
Connes擁有這個(gè)相當(dāng)宏偉的統(tǒng)一理論。同樣，它融合了一切。它融合了分析、代數(shù)、幾何、拓?fù)�、物理、�?shù)論，所有這一切都是它的一部分。這是一個(gè)框架性理論，它能夠讓我們?cè)诜墙粨Q分析的范疇里從事微分幾何學(xué)家通常所做的工作，這當(dāng)中包括與拓?fù)涞年P(guān)系。要求這樣做是有很好的理由的，因?yàn)樗跀?shù)論、幾何、離散群等等以及在物理中都有（潛力巨大的或者特別的）應(yīng)用。一個(gè)與物理有趣的聯(lián)系也剛剛被發(fā)現(xiàn)。這個(gè)理論能夠走多遠(yuǎn)，能夠得到什么結(jié)果，還有待進(jìn)一步觀察。它理所當(dāng)然地是我所期望的至少在下個(gè)世紀(jì)頭十年能夠得到顯著發(fā)展的課題，而且找到它與尚不成熟的（精確）量子場論之間的聯(lián)系是完全有可能的。
我們轉(zhuǎn)到另一個(gè)方面，也就是所謂的“算術(shù)幾何”或者是Arakelov幾何，其試圖盡可能多地將代數(shù)幾何和數(shù)論的部分內(nèi)容統(tǒng)一起來。這是一個(gè)非常成功的理論。它已經(jīng)有了一個(gè)美好的開端，但仍有很長的路要走。這又有誰知道呢？
當(dāng)然，所有這些都有一些共同點(diǎn)。我期待物理學(xué)能夠?qū)⑺挠绊懕榧八械胤�，甚至是�?shù)論：安德魯.懷爾斯不同意我這樣說，只有時(shí)間會(huì)說明一切。
這些是我所能看到的在下個(gè)十年里出現(xiàn)的幾個(gè)方面，但也有一些難以捉摸的東西：返回至低維幾何。與所有無窮維的富有想象的事物在一起，低維幾何的處境有些尷尬。從很多方面來看，我們開始時(shí)討論的維數(shù)，或我們祖先開始時(shí)的維數(shù)，仍留下某些未解之謎。維數(shù)為2，3和4的對(duì)象被我們稱為“低”維的。例如Thurston在三維幾何的工作，目標(biāo)就是能夠給出一個(gè)三維流形上的幾何分類，這比二維理論要深刻得多。Thurston綱領(lǐng)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有完成，完成這個(gè)綱領(lǐng)當(dāng)然將是一個(gè)重要的挑戰(zhàn)。
在三維中另外一個(gè)引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本質(zhì)上來源于物理的工作。這給了我們更多的關(guān)于三維的信息，并且它們幾乎完全不在Thurston綱領(lǐng)包含的信息之內(nèi)。如何將這兩個(gè)方面聯(lián)系起來仍然是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)，但是最近得到的結(jié)果暗示兩者之間可能有一座橋，因此，整個(gè)低維的領(lǐng)域都與物理有關(guān)，但是其中實(shí)在有太多讓人琢磨不透的東西。
最后，我要提一下的是在物理學(xué)中出現(xiàn)的非常重要的“對(duì)偶”。這些對(duì)偶，泛泛地來講，產(chǎn)生于一個(gè)量子理論被看成一個(gè)經(jīng)典理論時(shí)有兩種不同的實(shí)現(xiàn)。一個(gè)簡單的例子是經(jīng)典力學(xué)中的位置和動(dòng)量的對(duì)偶。這樣由對(duì)偶空間代替了原空間，并且在線性理論中，對(duì)偶就是付立葉變換。但是在非線性理論中，如何來代替付立葉變換是巨大的挑戰(zhàn)之一。數(shù)學(xué)的大部分都與如何在非線性情形下推廣對(duì)偶有關(guān)。物理學(xué)家看起來能夠在他們的弦理論和M一理論中以一種非同尋常的方式做到了這一點(diǎn)。他們構(gòu)造了一個(gè)又一個(gè)令人嘆為觀止的對(duì)偶實(shí)例，在某種廣義的意義下，它們是付立葉變換的無窮維非線性體現(xiàn)，并且看起來它們能解決問題，然而理解這些非線性對(duì)偶性看起來也是下個(gè)世紀(jì)的巨大挑戰(zhàn)之一。
我想我就談到這里。這里還有大量的工作，并且我覺得象我這樣的一個(gè)老人可以和你們這么多的年輕人談?wù)勈且患浅：玫氖虑�；而且我也可以�?duì)你們說：在下個(gè)世紀(jì)，有大量的工作在等著你們?nèi)ネ瓿伞?/p>
（原載《數(shù)學(xué)譯林》2002/2，白承銘譯，周性偉、馮惠濤校）
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