而下面的文章，則純粹從學(xué)術(shù)的角度介紹了哥德巴赫猜想的研究歷史，也是一篇很好的科普文章。希望有助于人們更深入地了解哥德巴赫猜想，當(dāng)然，我們也把此文獻(xiàn)給去世5年的潘承洞先生——他的名字已經(jīng)鐫刻在哥德巴赫猜想研究的年表上。
數(shù)學(xué)與數(shù)論
數(shù)學(xué)王子高斯(C. F.
Gauss)有一句名言：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的女王”；他又講“數(shù)論是數(shù)學(xué)的王冠”。正如他所說，數(shù)論在數(shù)學(xué)中一直處于醒目的地位。
18世紀(jì)的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家拉格朗日(J. L.
Lagrange)有一個著名的定理，即任何一個正整數(shù)都能寫成四個整數(shù)的平方和。這個定理是費(fèi)馬(Fermat)早年的猜測，與拉格朗日同時(shí)代的大數(shù)學(xué)家歐拉(L.
Euler)曾經(jīng)給出一個不完整的證明。第一個完整的證明是拉格朗日給出的。他在完成這個工作之后很感慨，在給歐拉的一封信中，他說：“對我來講，算術(shù)是最難的�！边@里，算術(shù)就是數(shù)論。這是拉格朗日對數(shù)論的評價(jià)。
何謂哥德巴赫猜想？
俄國數(shù)學(xué)家辛欽(A. Ya. Shinchin)曾經(jīng)評論說，哥德巴赫猜想是王冠上的一顆明珠。當(dāng)然，這個王冠上可能還有其它明珠。
哥德巴赫(C. Goldbach)并不是職業(yè)數(shù)學(xué)家，而是一個喜歡研究數(shù)學(xué)的富家子弟。他于1690年生于德國哥尼斯堡，受過很好的教育。哥德巴赫喜歡到處旅游，結(jié)交數(shù)學(xué)家，然后跟他們通訊。1742年，他在給好友歐拉的一封信里陳述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。歐拉在回信中說，他相信這個猜想是正確的，雖然他不能給出證明。
用當(dāng)代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個內(nèi)容，第一部分叫做奇數(shù)的猜想，第二部分叫做偶數(shù)的猜想。奇數(shù)的猜想指出，任何一個大于等于7的奇數(shù)都是三個素?cái)?shù)的和。偶數(shù)的猜想是說，大于等于4的偶數(shù)一定是兩個素?cái)?shù)的和。
任何人看了這個猜想之后，都能發(fā)現(xiàn)這是一個漂亮的猜想。本人認(rèn)為，一個好的猜想應(yīng)該具備以下四個條件。第一，它的表述應(yīng)該很簡單，大凡智力正常的人一聽就能明白。我相信，小學(xué)四、五年級的學(xué)生都能明白哥德巴赫猜想的內(nèi)容。第二個條件，雖然表述很簡單，但是這個猜想的證明斷然不能簡單。第三點(diǎn)，一旦有了證明，這個證明一定是出人意料的。一個好的猜想的證明一定是有趣的，絕對不能像愚公移山一樣，天天重復(fù)同樣枯燥的工作，重復(fù)了上萬年，才取得成功。第四點(diǎn)，這個猜想絕對不能是孤立的，任何孤立的猜想在數(shù)學(xué)中都沒有太大的意義。一個好的猜想的研究應(yīng)該可以提升到人類文化史的高度上來看，能夠帶動其它相關(guān)領(lǐng)域、甚至是數(shù)學(xué)以外的學(xué)科的發(fā)展。具備上面這四點(diǎn)，那就是一個偉大的猜想。我個人認(rèn)為，哥德巴赫猜想就具備以上這四個條件。
給定一個猜想，人們可以用各種各樣的方法進(jìn)行研究。譬如，對于哥德巴赫猜想，有人可能用數(shù)手指頭的方法來研究，這人可能是個小學(xué)生。有人想用打算盤的方法來研究，那這人可能是一個小店的會計(jì)兼出納。真正研究這個猜想，則需要很高深的數(shù)學(xué)工具。還必須指出的是，從這個猜想可以看出數(shù)學(xué)的特性——數(shù)學(xué)是在所有科學(xué)當(dāng)中唯一能夠處理無窮的學(xué)科。我們不能用做實(shí)驗(yàn)的方法來研究哥德巴赫猜想。計(jì)算機(jī)算得再快，也只能在有限時(shí)間內(nèi)算有限個數(shù)；然而，遺憾的是，奇數(shù)和偶數(shù)都有無窮多個。所以，這個猜想讓迷信實(shí)驗(yàn)的人非常沮喪。不過，在最好的計(jì)算機(jī)所能算到的范圍之內(nèi)，哥德巴赫猜想全是對的。
奇數(shù)的哥德巴赫猜想
相對來講，奇數(shù)的猜想比較容易，因?yàn)樗桥紨?shù)的猜想的推論。如果每個大偶數(shù)都能寫成兩個素?cái)?shù)之和，那么我們就能夠證明任何大奇數(shù)都是三個素?cái)?shù)之和，因?yàn)槿魏纹鏀?shù)減去3都是一個偶數(shù)。
關(guān)于哥德巴赫猜想的研究，歷史上第一個重要文獻(xiàn)是哈代(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E.
Littlewood)1921年的偉大論文，在這篇長達(dá)70頁的文章里，他們提出了圓法。哈代在英國皇家學(xué)會演講時(shí)說：“我和李特伍德的工作是歷史上第一次嚴(yán)肅地研究哥德巴赫猜想”，雖然此前很多有名的數(shù)學(xué)家都研究過這個猜想，甚至有人宣布證明了猜想。然而，哈代和李特伍德對奇數(shù)猜想的證明依賴于一個條件——廣義黎曼(B.
Riemann)猜想——這個猜想到現(xiàn)在也未被證明。在英國人看來，哈代重振了牛頓(I. Newton)以后的英國分析。
1937年，俄國數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫(I. M. Vinogradov)無條件地基本證明了奇數(shù)的哥德巴赫猜想。維諾格拉多夫定理指出，任何充分大的奇數(shù)都能寫成三個素?cái)?shù)之和。也就是說，在數(shù)軸上取一個大數(shù)，從這個數(shù)往后看，哥德巴赫猜想都對；在這個數(shù)前面的奇數(shù)，需要用手或計(jì)算機(jī)來驗(yàn)證。然而，至今計(jì)算機(jī)還未能觸及那個大數(shù)。
維諾格拉多夫的證明發(fā)表之后，又出現(xiàn)了幾個新證明。這些證明既簡潔，又提供了完全不同的方法。在這些新證明中，有三個特別應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的：一個是俄國數(shù)學(xué)家林尼克(Yu.
V. Linnik)的，再一個是潘承彪先生的；還有英國數(shù)學(xué)家沃恩(R. C.
Vaughan)的。在相當(dāng)長的一個階段內(nèi)，人們認(rèn)為林尼克是離哥德巴赫猜想很近的人，他對哥德巴赫猜想進(jìn)行了深入的研究。與此同時(shí)，他還是一個很好的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家。
偶數(shù)哥德巴赫猜想
很遺憾，偶數(shù)的哥德巴赫猜想到現(xiàn)在都沒有得到證明。但是，數(shù)學(xué)家們從各個方向逼近這個猜想，并且取得了輝煌的成就。我將介紹研究偶數(shù)的哥德巴赫猜想的四個途徑，其中幾乎每個途徑都有潘老師的工作。這四個途徑分別是：殆素?cái)?shù)，例外集合，小變量的三素?cái)?shù)定理，以及幾乎哥德巴赫問題。
途徑一：殆素?cái)?shù)
殆素?cái)?shù)就是素因子個數(shù)不多的正整數(shù)�，F(xiàn)設(shè)N是偶數(shù)，雖然現(xiàn)在不能證明N是兩個素?cái)?shù)之和，但是可以證明它能夠?qū)懗蓛蓚�殆素?cái)?shù)的和，即N＝A+B，其中A和B的素因子個數(shù)都不太多，譬如說素因子個數(shù)不超過10�，F(xiàn)在用狖a+b狚來表示如下命題：每個大偶數(shù)N都可表為A+B，其中A和B的素因子個數(shù)分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成狖1+1狚。
在這一方向上的進(jìn)展都是用所謂的篩法得到的。
1920年，布朗(V. Brun)首先取得突破性的進(jìn)展，證明了命題狖9+9狚。后續(xù)進(jìn)展如下：哈德馬赫(H. Rademacher)，
1924，狖7+7狚；艾斯特曼(T. Estermann)，
1932，狖6+6狚；里奇(G. Ricci)，1937，狖5+7狚；布赫施塔伯(A. A. Buchstab)，
1938，狖5+5狚；布赫施塔伯，1940，狖4+4狚；庫恩(P. Kuhn)，
1941，a+b小于或等于6。
1950年，菲爾茲獎得主塞爾伯格(A. Selberg)改進(jìn)了篩法。
王元先生1956年證明了狖3+4狚。
另一個俄國數(shù)學(xué)家阿·依·維諾格拉多夫(A. I. V inogradov)1957年證明了狖3+3狚，
王元先生1957年進(jìn)一步證明了狖2+3狚。
上述結(jié)果有一個共同的特點(diǎn)，就是a和b中沒有一個是1，即A和B沒有一個是素?cái)?shù)。所以，要是能證明a＝1，再改進(jìn)b，那就是一件更了不起的工作。林尼克1941年提出來的大篩法使得這項(xiàng)工作成為可能。
后來，林尼克的學(xué)生、匈牙利數(shù)學(xué)家蘭易(A. Rényi)深入地研究了大篩法，并在1948年證明了命題狖1+b狚。
用王元先生的話說，這個b是個天文數(shù)字。當(dāng)時(shí)，沒有人知道b究竟有多大。這個b的數(shù)值依賴于素?cái)?shù)在算術(shù)級數(shù)中平均分布的水平，即另外一個重要常數(shù)θ的值。
此后便是潘承洞先生的偉大工作。1962年，28歲的潘承洞定出θ可以取1/3，從而推出命題狖1+5狚，一下子把b從天文數(shù)字降到了5。這是一個決定性的突破。
王元先生改進(jìn)篩法之后，證明了狖1+4狚。
同一年，潘老師又得到了一個更大的θ＝3/8。從3/8出發(fā)，潘老師也證明了狖1+4狚。然后，布赫施塔伯證明了3/8蘊(yùn)涵命題狖1+3狚，即從潘老師的θ＝3/8可以推出命題狖1+3狚來。以上結(jié)果表明，θ做得越大，b就越小。但θ不能太大，其可能的最大值是1/2；比1/2再大，均值定理的形式就會發(fā)生變化，所以可以認(rèn)為1/2是最佳。1965年，θ的最佳值1/2被取到，這個定理就叫做龐比埃里-維諾格拉多夫(E.
Bombieri--A. I. Vinogradov)定理，是龐比埃里和阿·依·維諾格拉多夫獨(dú)立證明的。龐比埃里是意大利數(shù)學(xué)家，因?yàn)檫@項(xiàng)工作獲得了菲爾茲獎。雖然龐比埃里證明了θ能取到1/2，但是他未能證明狖1+2狚。
命題狖1+2狚的證明是陳景潤先生完成的。1966年，陳景潤先生在《科學(xué)通報(bào)》上登了命題狖1+2狚證明的簡報(bào)，此后“文化大革命”開始，《科學(xué)通報(bào)》與《中國科學(xué)》隨即�？�。直到1973年《中國科學(xué)》復(fù)刊之后，陳先生狖1+2狚證明的全文才得以發(fā)表。
以上是沿著殆素?cái)?shù)方向研究哥德巴赫猜想的進(jìn)展。直到現(xiàn)在，狖1+2狚還是最好的結(jié)果。雖然突破狖1+2狚就會得到狖1+1狚，但是大家公認(rèn)再用篩法去證明狖1+1狚幾乎是不可能的，只有發(fā)展革命性的新方法，才有可能證明狖1+1狚。所以，哈伯斯坦(H.
Halberstam)與里切特(H. E. Richert)在他們的名著《篩法》(Sieve
Methods)的最后一章指出：“陳氏定理是所有篩法理論的光輝頂點(diǎn)�！�
途徑二：例外集合
在數(shù)軸上取定大整數(shù)x，再從x往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數(shù)，即例外偶數(shù)。x之前所有例外偶數(shù)的個數(shù)記為E(x)。我們希望，無論x多大，x之前只有一個例外偶數(shù)，那就是2，即只有2使得猜想是錯的。這樣一來，哥德巴赫猜想就等價(jià)于E(x)永遠(yuǎn)等于1。當(dāng)然，直到現(xiàn)在還不能證明E(x)＝1；但是能夠證明E(x)遠(yuǎn)比x小。在x前面的偶數(shù)個數(shù)大概是x/2；如果當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，E(x)與x的比值趨于零，那就說明這些例外偶數(shù)密度是零，即哥德巴赫猜想對于幾乎所有的偶數(shù)成立。這就是例外集合的思路。
維諾格拉多夫的三素?cái)?shù)定理發(fā)表于1937年。第二年，在例外集合這一途徑上，就同時(shí)出現(xiàn)了四個證明，其中包括華羅庚先生的著名定理。
現(xiàn)在，我每個月都要接見幾個業(yè)余搞哥德巴赫猜想的人，其中不乏有人聲稱“證明”了哥德巴赫猜想在概率意義下是對的。實(shí)際上他們就是“證明”了例外偶數(shù)是零密度。我告訴他們，這個結(jié)論華老早在60年前就真正證明出來了。
注意，我們的目標(biāo)是證明E(x)的上界是x的零次方，然而1938年E(x)上界的世界記錄基本上是x的1次方，二者相差很遠(yuǎn)。因此降低該上界中x的方次將是一件很重要的事。1975年，蒙哥馬利(H.
L. Montgomery)與沃恩證明存在一個小于1的正數(shù)δ，使得E(x)的上界是x的δ次方。
1979年，潘老師與陳景潤先生合作，證明了這個δ可以取0.99。按照陳先生和潘老師的思路，后來有很多人都改進(jìn)了δ的值。目前最好的結(jié)果是李紅澤教授2000年得到的，δ可以取0.92。
在廣義黎曼猜想之下，哈代和李特伍德證明了δ可取1/2。就是說，即使能夠證明廣義黎曼猜想，我們也不能進(jìn)而推出哥德巴赫猜想。最近，我與葉揚(yáng)波教授合作，利用廣義黎曼猜想和L-函數(shù)零點(diǎn)分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律猜想，進(jìn)一步推進(jìn)了例外集合的上界，證明了E(x)不超過lo
g x的平方。請注意，與x的任何δ次方相比，log x增長都是很慢的。因此我們的結(jié)果指出，E(x)小于x的任何δ次方。
但是我們畢竟沒能證明哥德巴赫猜想。到目前為止，猜想研究的現(xiàn)狀仍然可以用潘老師生前的一句話來概括，即“哥德巴赫猜想甚至沒有一個假設(shè)性的證明�！�
哈代1921年在皇家學(xué)會演講時(shí)指出：“哥德巴赫猜想似乎不能用布朗的方法（即篩法）來證明�！彼f：“能夠最終證明猜想的方法，應(yīng)該與我與李特伍德的方法類似。我們不是在原則上沒有成功，而是在細(xì)節(jié)上沒有成功�！惫瑫r(shí)還指出，不是圓法無力，而是他與李特伍德的分析能力不夠。作者認(rèn)為，更高階的L-函數(shù)應(yīng)該是哈代和李特伍德所需要的分析工具；或許，將高階的L-函數(shù)融入圓法就會最終證明哥德巴赫猜想。
途徑三：小變量的三素?cái)?shù)定理
上文曾經(jīng)提到，如果偶數(shù)的哥德巴赫猜想正確，那么奇數(shù)的猜想也正確。我們可以把這個問題反過來思考。已知奇數(shù)N可以表成三個素?cái)?shù)之和，假如又能證明這三個素?cái)?shù)中有一個非常小，譬如說第一個素?cái)?shù)可以總?cè)?，那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想。這個思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25歲時(shí)，研究有一個小素變數(shù)的三素?cái)?shù)定理。這個小素變數(shù)不超過N的θ次方。我們的目標(biāo)是要證明θ可以取0，即這個小素變數(shù)有界，從而推出偶數(shù)的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。后來的很長一段時(shí)間內(nèi)，這方面的工作一直沒有進(jìn)展，直到1995年展?jié)淌诎雅死蠋煹亩ɡ硗七M(jìn)到7/120。這個數(shù)已經(jīng)比較小了，但是仍然大于0。
途徑四：幾乎哥德巴赫問題
1953年，林尼克發(fā)表了一篇長達(dá)70頁的論文。在文中，他率先研究了幾乎哥德巴赫問題，證明了，存在一個固定的非負(fù)整數(shù)k，使得任何大偶數(shù)都能寫成兩個素?cái)?shù)與k個2的方冪之和。這個定理，看起來好像丑化了哥德巴赫猜想，實(shí)際上它是非常深刻的。我們注意，能寫成k個2的方冪之和的整數(shù)構(gòu)成一個非常稀疏的集合；事實(shí)上，對任意取定的x，x前面這種整數(shù)的個數(shù)不會超過log
x的k次方。因此，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數(shù)集合中找到一個非常稀疏的子集，每次從這個稀疏子集里面拿一個元素貼到這兩個素?cái)?shù)的表達(dá)式中去，這個表達(dá)式就成立。這里的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數(shù)值較小的k表示更好的逼近度。顯然，如果k等于0，幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現(xiàn)，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的論文并沒有具體定出k的可容許數(shù)值，此后四十多年間，人們還是不知道一個多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個k應(yīng)該很大。1999年，作者與廖明哲及王天澤兩位教授合作，首次定出k的可容許值54000。這第一個可容許值后來被不斷改進(jìn)。其中有兩個結(jié)果必須提到，即李紅澤、王天澤獨(dú)立地得到k＝2000。目前最好的結(jié)果k＝13是英國數(shù)學(xué)家希思-布朗(D.
R. Heath-Brown)和德國數(shù)學(xué)家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個很大的突破。
一個數(shù)學(xué)家的價(jià)值
以上緬懷了潘承洞先生的部分工作，以及哥德巴赫猜想研究的最新進(jìn)展。最后，我想引用哈代《一個數(shù)學(xué)家的自白》中的幾句話，來總結(jié)作為數(shù)學(xué)家的潘承洞先生的生平。哈代說：“人的首要責(zé)任就是要有雄心。在拿破侖的雄心中有某些高貴的因素，但是最高貴的雄心，就是要在死后留下具有永久價(jià)值的東西。”
《一個數(shù)學(xué)家的自白》結(jié)尾寫道：“我的一生，或者在相同意義上作為數(shù)學(xué)家的那些人的一生，可以這樣總結(jié)：我們豐富了知識，也幫助別人更多地豐富了知識，而我們所做的這一切，與那些歷史上的大數(shù)學(xué)家和藝術(shù)家的不朽貢獻(xiàn)相比，只有程度的不同，沒有本質(zhì)的差異�！�
哈代的朋友羅素說過：“我希望在工作中滿足地死去，因?yàn)槲仪宄刂溃心茏龅氖露家淹瓿�，而且會有后人繼續(xù)我未竟的事業(yè)�！�
潘承洞老師永垂不朽，因?yàn)樗氖聵I(yè)永垂不朽。
作者：劉建亞
(本文根據(jù)作者在紀(jì)念潘承洞院士逝世5周年學(xué)術(shù)報(bào)告會上講演整理而成，劉建亞是潘承洞先生的學(xué)生，現(xiàn)為“長江學(xué)者獎勵計(jì)劃”特聘教授，山東大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院副院長)
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