| 1929年楊武之受聘到清華大學(xué)數(shù)學(xué)系執(zhí)教。1931年華羅庚來(lái)清華大學(xué)數(shù)學(xué)系先任圖書(shū)管理員、后任助理員，邊工作，邊學(xué)習(xí)。系里的華羅庚與柯召對(duì)數(shù)論比較感興趣，楊武之就指導(dǎo)他們進(jìn)行數(shù)論研究。
1936年，華羅庚與柯召去英國(guó)，分別進(jìn)入了劍橋大學(xué)和曼徹斯特大學(xué)，師從哈代(G.H.Hardy)與莫德?tīng)枺↙.J.Mordell)研究數(shù)論。
華羅庚在去英國(guó)前，就已經(jīng)開(kāi)始研究當(dāng)時(shí)的主流數(shù)論，即哈代-李特伍德-拉馬努金圓法與維諾格拉朵夫指數(shù)與估計(jì)方法方面的工作，這使他掌握了數(shù)論的制高點(diǎn)，所以他的數(shù)論工作，無(wú)論是在廣度與深度上，在中國(guó)都是最為突出的，他的數(shù)論工作在解析數(shù)論中有著持久的影響力，同時(shí)也受到國(guó)際同行的尊敬。另外華羅庚廣招學(xué)生，撰寫(xiě)“數(shù)論導(dǎo)引”等入門(mén)書(shū)，所以在中國(guó)的數(shù)論發(fā)展中，他起到了領(lǐng)軍的作用。解放后，華羅庚、閔嗣鶴在這一研究上奠定了基礎(chǔ)。
華羅庚到劍橋大學(xué)世界數(shù)論研究中心學(xué)習(xí)進(jìn)修
1936年，在著名數(shù)學(xué)家維納推薦下華羅庚以訪問(wèn)學(xué)者身份去英國(guó)劍橋大學(xué)進(jìn)修。那里有著名解析數(shù)論專家哈代，還有其他的數(shù)論專家。他在劍橋大學(xué)聽(tīng)了許多課，參加討論班，得到著名學(xué)家哈代等人的指導(dǎo)。而華羅庚的刻苦努力以及取得的發(fā)表的文章也得到大家的贊許與認(rèn)可。40年代他本人在美國(guó)作過(guò)不少杰出的數(shù)論工作。他終于登上了數(shù)學(xué)研究的世界舞臺(tái)。
在云南聯(lián)大開(kāi)設(shè)初等數(shù)論的課程
華先生很重視做學(xué)問(wèn)需要有“看家工夫”。所謂看家工夫指的是作科研時(shí)必不可少的最基本而有用的本事。據(jù)他的學(xué)生回憶，說(shuō)華羅庚在青年時(shí)期閱讀蘭道（E.Landau）的《數(shù)論教程》三大卷時(shí)候，共作了6大本筆記，可見(jiàn)他下的功夫之深。而這本《數(shù)論教程》使他獲得了從事數(shù)學(xué)研究的分析功底。
據(jù)華羅庚的學(xué)生徐利志回憶，1940年華羅庚在云南聯(lián)大開(kāi)設(shè)過(guò)“初等數(shù)論”的課，他選修了這門(mén)課。華先生講課姿態(tài)很靈活，喜歡在黑板前面走來(lái)走去，邊走邊講。他在黑板上寫(xiě)字不多，只寫(xiě)出那些最必要的算式，而很注重講問(wèn)題的來(lái)龍去脈和論證思想，有時(shí)也穿插講點(diǎn)小故事。所以聽(tīng)他講課我感到是一種愉快的享受。
1941年華羅庚完成了數(shù)論巨著《堆壘素?cái)?shù)論》
1941年，華羅庚曾把手稿寄給蘇聯(lián)的維諾格拉多夫，維諾格拉多夫立即以電報(bào)回復(fù)：“我們收到了你的優(yōu)秀專著，待戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束后，立即付印�！币虼�，這本書(shū)最早是1947年以蘇聯(lián)科學(xué)院“斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所”第22號(hào)專著出版的。中國(guó)數(shù)學(xué)界對(duì)華羅庚的專著給予崇高的評(píng)價(jià)。而當(dāng)時(shí)的教育部幾乎無(wú)人能夠評(píng)審此書(shū)。老一輩數(shù)學(xué)家何魯冒著灼人的炎熱，曾在重慶的一幢小樓上揮汗審勘，閱稿時(shí)不時(shí)地?fù)舭附薪^，一再對(duì)人說(shuō)：“此天才也！”他愛(ài)不釋手，居然親筆將《堆壘素?cái)?shù)論》抄了一遍，何氏的手抄本曾存于中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所圖書(shū)館中，不幸在“文革”劫難中散失。華羅庚的《推壘素?cái)?shù)論》榮獲教育部的一等獎(jiǎng)。
據(jù)報(bào)載，華羅庚在西南聯(lián)大曾講授過(guò)他的《堆壘素?cái)?shù)論》，開(kāi)始慕名而來(lái)的學(xué)生將教室擠得水泄不通，后來(lái)一天天減少，減到4個(gè)，一星期后，只剩下2個(gè)，即后來(lái)成為著名數(shù)學(xué)家的閔嗣鶴和鐘開(kāi)萊。教室里只剩下師徒三人，因昆明天天空襲不絕，華羅庚干脆把教室搬到華家附近，租屋而居，進(jìn)行講授。華氏的這本書(shū)實(shí)在是太深了。
1946年華羅庚接受了訪問(wèn)蘇聯(lián)的邀請(qǐng)，在這幾個(gè)月里，他與維諾格拉朵一起進(jìn)行研究，并取得了很大的成果。他們對(duì)三角和方法的發(fā)展改變了解析數(shù)論的中心主題。1946年，華羅庚赴美國(guó)訪問(wèn)，先在普林斯頓高等研究所搞研究并講授數(shù)論，1948年轉(zhuǎn)入依利諾大學(xué)，也對(duì)維諾格拉朵的中值公式做了重要的簡(jiǎn)化、改進(jìn)與應(yīng)用。
1952年組織“數(shù)論”與“哥德巴赫猜想”兩個(gè)討論班
1953年冬中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所數(shù)論組成立后，華羅庚親自組織并領(lǐng)導(dǎo)了兩個(gè)討論班，一個(gè)是“數(shù)論導(dǎo)引”，一個(gè)是“哥德巴赫猜想”討論班，每周一次，這兩個(gè)討論班一直堅(jiān)持到了1956年。
雖然數(shù)學(xué)研究所成立時(shí)還沒(méi)有圖書(shū)館，但是華羅庚從美國(guó)帶回不會(huì)少書(shū)，雜志與單印本，數(shù)學(xué)所的人可以去自由借閱，只要在他辦公室的小本上簽個(gè)名就行了。這對(duì)數(shù)論組的人來(lái)說(shuō)就更占便宜了。因?yàn)槿A羅庚的大部分書(shū)是跟數(shù)論有直接或間接的關(guān)系的。特別他有一個(gè)《解析數(shù)論》未發(fā)表的部分手稿，其中賽爾貝格的方法和素?cái)?shù)定理初等證明的最新成果等。當(dāng)時(shí)能夠讀到這些東西，在全世界來(lái)說(shuō)都是相當(dāng)早的。
按照華羅庚計(jì)劃與安排，哥德巴赫猜想討論班分為四個(gè)單元來(lái)進(jìn)行：
1、史尼爾曼密率，曼恩定理與賽爾貝格方法。
2、布倫篩法、布赫夕踏布方法。
3、林尼克大篩法，瑞尼定理。
4、素變數(shù)的三角和的估計(jì)方法、西革爾定理、維諾格拉朵三素?cái)?shù)定理。
華羅庚計(jì)劃在討論班進(jìn)行完了之后，將這四個(gè)方面的材料寫(xiě)成綜合性論文，在數(shù)學(xué)所的數(shù)學(xué)進(jìn)展上發(fā)表。那時(shí)在世界上的數(shù)論著作中，還只有包含了這四個(gè)方面成就的某些著作，所以這確實(shí)是一個(gè)頗吸引人的計(jì)劃。
討論班是由一個(gè)人主講，華羅庚等則不停地提問(wèn)題，務(wù)必使得每一個(gè)點(diǎn)都完全弄清楚為止。華羅庚這種打破沙鍋問(wèn)到底的搞法，常常使主講人講不下去，長(zhǎng)時(shí)間在講臺(tái)上思考，這叫做“掛黑板”。有些報(bào)告材料往往在討論班上就得到了簡(jiǎn)化，所以討論班進(jìn)行得很慢，但參加者得益很大。這是培養(yǎng)人才的好形式。既可以集思廣益，又可以活躍學(xué)術(shù)空氣。當(dāng)時(shí)，他經(jīng)常參加討論班，經(jīng)常不斷地提出問(wèn)題和疑點(diǎn)，把大家的思想推向一個(gè)更為積極、活躍的境界。 哥德巴赫猜想討論班的計(jì)劃并沒(méi)有完成，只進(jìn)行了一、二、四單元，就因“反右斗爭(zhēng)”的到來(lái)而中斷了。
華羅庚選擇“哥德巴赫猜想”作為數(shù)論組討論班的主題是很有眼光的。十幾年后，華羅庚回憶他的這個(gè)決定時(shí)仍然流露出滿意的神情。他說(shuō)：“我不是要你們?cè)谶@個(gè)問(wèn)題上作出成果來(lái)，我的著眼點(diǎn)是哥德巴赫猜想跟解析數(shù)論中所有的重要方法都有聯(lián)系。以哥德巴赫猜想為主題來(lái)學(xué)習(xí)，將可以學(xué)到解析數(shù)論中所有的重要的方法�！�，他說(shuō)“ 哥德巴赫猜想真是美極了，現(xiàn)在還沒(méi)有一個(gè)方法可以解決它�！彼�指出：“你們弄懂了解析數(shù)論，再學(xué)一點(diǎn)代數(shù)數(shù)論，就可以將解析數(shù)論的結(jié)果推廣到代數(shù)數(shù)域上去。關(guān)于代數(shù)數(shù)論，除了《數(shù)論導(dǎo)引》的第十六章外，再學(xué)兩條定理，狄里赫雷定理與戴德金定理就可以邊學(xué)習(xí)邊工作了�！�
華羅庚教授組織研究“哥德巴赫猜想”這個(gè)難題，是非常具有長(zhǎng)遠(yuǎn)的戰(zhàn)略眼光的，它也帶動(dòng)解析數(shù)論的研究，不僅推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)在國(guó)內(nèi)也培養(yǎng)中國(guó)的數(shù)論研究人才。之后這個(gè)討論班的三個(gè)成員都在數(shù)論研究中作出了重要的貢獻(xiàn)與《哥德巴赫猜想》的研究也取得了重要的進(jìn)展。
從1954年開(kāi)始，閔嗣鶴在北大開(kāi)設(shè)了“數(shù)論專門(mén)化”，共有四個(gè)學(xué)生。他開(kāi)這門(mén)數(shù)論課，指導(dǎo)他們做畢業(yè)論文，引導(dǎo)他們從事解析數(shù)論的研究。閔嗣鶴鼓勵(lì)他的學(xué)生多與數(shù)學(xué)所的數(shù)論組的人交流，多向華羅庚學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)所數(shù)論組的年青人也常向閔嗣鶴老師請(qǐng)教，彼此間的關(guān)系很密切。北大數(shù)論專門(mén)化的學(xué)生潘成洞、尹文霖與邵品琮也來(lái)數(shù)學(xué)所參加過(guò)哥德巴赫猜想討論班。
1957年，華羅庚的《數(shù)論導(dǎo)引》出版，書(shū)中包括了不少未發(fā)表的結(jié)果及關(guān)于三角和、丟番圖方程、模變換及華林與他利問(wèn)題的基本材料。
后來(lái)華羅庚發(fā)現(xiàn)了陳景潤(rùn)，并將其調(diào)入數(shù)學(xué)所。陳景潤(rùn)經(jīng)過(guò)多年的努力，最后終于證明了1+2，取得了世界上關(guān)于證明哥德巴赫猜想的最好成果。
吳文俊曾說(shuō)過(guò)：“陳景潤(rùn)同志本來(lái)是一個(gè)無(wú)名小卒，華羅庚同志知道了他的某些工作，就把他引到數(shù)學(xué)所來(lái)。在數(shù)學(xué)所這樣一個(gè)環(huán)境里，在華羅庚先生親自指導(dǎo)之下，陳景潤(rùn)同志做出了許多重要的工作。其中最突出的就是大家都知道的，所謂哥德巴赫猜想（1+2）的證明。這出現(xiàn)于1965年。我相信如果當(dāng)年陳景潤(rùn)同志沒(méi)有被華羅庚同志引到數(shù)學(xué)所來(lái)，他的成長(zhǎng)奇跡是不可能的。
1962年華羅庚科大開(kāi)設(shè)數(shù)論與代數(shù)專業(yè)培養(yǎng)后備人才
華羅庚的學(xué)生馮克勤教授回憶說(shuō)，1962年華羅庚想在我們年級(jí)開(kāi)設(shè)數(shù)論與代數(shù)專業(yè)，由于我從中學(xué)就喜歡數(shù)論，就報(bào)了名，于是包括我在內(nèi)的15位學(xué)生從四年級(jí)起進(jìn)入該專業(yè)，由華羅庚親自講授“典型群”，王元講“數(shù)論導(dǎo)引”，萬(wàn)哲先和曾肯成講“抽象代數(shù)”，吳方講解析數(shù)論，這集中了當(dāng)時(shí)國(guó)內(nèi)最強(qiáng)大的數(shù)論和代數(shù)教師陣營(yíng)。大學(xué)五年級(jí)，吳方指導(dǎo)我作了一篇論文，內(nèi)容是把當(dāng)時(shí)陳景潤(rùn)關(guān)于圓內(nèi)整點(diǎn)問(wèn)題余項(xiàng)估計(jì)的最新成果作到橢圓上去，這是我所寫(xiě)的第一篇論文。
華羅庚1963年來(lái)科大任副校長(zhǎng)，并把他在科學(xué)院數(shù)學(xué)所的研究生帶到科大，連王元的關(guān)系也臨時(shí)轉(zhuǎn)到科大，準(zhǔn)備以科大為基地集中力量培養(yǎng)學(xué)生從事科學(xué)研究。他給我的任務(wù)是學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論，這是20世紀(jì)40年代他在美國(guó)做教授的一個(gè)數(shù)論研究領(lǐng)域，回國(guó)后，組織了解析數(shù)論的隊(duì)伍，但由于種種原因，代數(shù)數(shù)論的研究未能充分開(kāi)展。此外，華羅庚和王元這時(shí)也正把數(shù)論用于積分近似計(jì)算，其中也用到代數(shù)數(shù)論工具，所以他這時(shí)希望在科大的三屆共十一位研究生中有人能研究代數(shù)數(shù)論。這是一個(gè)用代數(shù)方法研究數(shù)論的一門(mén)學(xué)問(wèn)，很合我的胃口。
中國(guó)的數(shù)論研究取得了豐碩的成果
1973年，陳景潤(rùn)關(guān)于哥德巴赫猜想的著名論文發(fā)表后，潘承洞又開(kāi)始了解析數(shù)學(xué)論研究。這一時(shí)期工作的代表性論文是“一個(gè)新的均值定理及其應(yīng)用”。他的主要貢獻(xiàn)是提出并證明了一類新的素?cái)?shù)分布的均值定理，給出了這一定理對(duì)包括哥德巴赫猜想在內(nèi)的許多著名數(shù)論問(wèn)題的重要應(yīng)用。
1979年7月，在英國(guó)達(dá)勒姆舉行的國(guó)際解析數(shù)論會(huì)議上，潘承洞應(yīng)邀以此作了一小時(shí)的報(bào)告，受到華羅庚和與會(huì)者的高度評(píng)價(jià)。1982年，潘承洞發(fā)表了論文“研究哥德巴赫猜想的一個(gè)新嘗試”，提出了與已有研究截然不同的方法，對(duì)哥德巴赫猜想作了有益的探索。在1988到1990年間，華羅庚與潘承彪以“小區(qū)間上的素變數(shù)三角和估計(jì)”為題發(fā)表了三篇論文，提出了用純分析方法估計(jì)小區(qū)間上的素變數(shù)三角和，第一次嚴(yán)格地證明了小區(qū)間上的三素?cái)?shù)定理，這是他對(duì)論文“堆壘素?cái)?shù)論的一些新結(jié)果”的進(jìn)一步完善和改進(jìn)。
華羅庚與他的學(xué)生在數(shù)論方面的工作展示中國(guó)數(shù)學(xué)家在數(shù)論方面具有的很高的水平與才華，被世界數(shù)學(xué)界稱為“以華為首的中國(guó)學(xué)派”，這是中國(guó)數(shù)學(xué)家研究團(tuán)體在世界數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中第一次得到的肯定與贊揚(yáng)。而這個(gè)結(jié)果是數(shù)學(xué)家們通過(guò)幾十年的努力才獲得的。
華羅庚系統(tǒng)地研究了華林問(wèn)題——哥德巴赫問(wèn)題。在19世紀(jì)40年代，懂得堆壘素?cái)?shù)論的圓法與維諾格拉朵夫的兩個(gè)指數(shù)和估計(jì)方法的人還很少。華羅庚撰寫(xiě)的專著《堆壘素?cái)?shù)論》，包含了數(shù)論領(lǐng)域所有重要的研究成果，其中有華羅庚用一個(gè)很優(yōu)美的方法證明了一般三角和定理。這本書(shū)不僅結(jié)果是當(dāng)時(shí)最新的，而且寫(xiě)得十分通俗易懂，除了西革爾關(guān)于 L-
函數(shù)的實(shí)零點(diǎn)估計(jì)外，所有定理都給出了證明，所以該書(shū)是自給自足的，是一本很好的數(shù)論專著。就像哈貝斯坦在悼念華羅庚時(shí)說(shuō)的：“幾代數(shù)論學(xué)家都從華羅庚的至今仍有影響的1947年的專著《堆壘素?cái)?shù)論》中學(xué)到了圓法的知識(shí)�！�
華羅庚在1958年改進(jìn)與簡(jiǎn)化了維諾格拉朵夫關(guān)于魏爾（H.Weyl）和的估計(jì)，華羅庚關(guān)于華林問(wèn)題研究成果與“華氏不等式”等都是數(shù)論十分重要的成果，被很多人引用。
華羅庚的學(xué)生王元在1956年先證明了（3+4），在1957年又證明了（3+3），（2+3）。1962年潘承洞證明了（1+5），之后潘承洞與王元又合作證明了（1+4）。1966年，陳景潤(rùn)運(yùn)用龐比尼中值公式，非常出色地證明了（1+2）。
中國(guó)數(shù)學(xué)家在探索哥德巴赫猜想過(guò)程中，取得了重要的進(jìn)展，但是最后誰(shuí)能摘下這個(gè)明珠，攻克這個(gè)世界難題，會(huì)不會(huì)是中國(guó)人？這些仍舊還是未知的謎，等待有人來(lái)回答。
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