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1736年的克里斯蒂安•哥德巴赫的一封來信，引起了歐拉對(duì)數(shù)論的極大的興趣
。此前歐拉與哥德巴赫一直保持著很好的關(guān)系，他們之間有多年密切的通信聯(lián)系。最初哥德巴赫告訴歐拉許多有關(guān)費(fèi)馬未證明的猜想，并引起了歐拉的注意。哥德巴赫被數(shù)論問題深深地吸引住了，但是，他的熱情遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了他的才能。開始，歐拉似乎無意研究這些問題，但是，由于他自己無止境的好奇心和哥德巴赫的堅(jiān)持，歐拉終于涉足其間。不久，他就被數(shù)論，特別是被費(fèi)馬一系列未證明的猜想深深地迷住了。
正如現(xiàn)代作家兼數(shù)學(xué)家安德烈•韋爾所述，“……在歐拉（有關(guān)數(shù)論）的著作中，有相當(dāng)一部分旨在證明費(fèi)馬的猜想。”在此之前，歐拉的數(shù)論著作在他的《全集》中已占了整整四大卷。人們認(rèn)為，在他的科學(xué)生涯中，即使沒有其他成就，這四卷著作也足以使他躋身于歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之列。
歐拉對(duì)數(shù)論的貢獻(xiàn)
例如，費(fèi)馬曾推測(cè)，某些素?cái)?shù)可以寫成兩個(gè)完全平方數(shù)之和，歐拉對(duì)此作出了證明。顯然，除2以外，其它所有素?cái)?shù)都是奇數(shù)。當(dāng)然，如果我們用4去除一個(gè)大于4的奇數(shù)，我們一定會(huì)得到余數(shù)1或3（因?yàn)?的倍數(shù)或4的倍數(shù)加2是偶數(shù)）。我們可以更簡(jiǎn)明地說，如果p＞2是素?cái)?shù)，那么，或則p=4k＋1，或則p=4k＋3（k是整數(shù)）。
1640年，費(fèi)馬曾猜想，第一種形式的素?cái)?shù)（即4的倍數(shù)加1）可以并且只能以一種方式寫成兩個(gè)完全平方數(shù)之和的形式，而形如4k＋3的素?cái)?shù)則無論以什么方式都不能寫成兩個(gè)完全平方數(shù)之和。
這是一個(gè)獨(dú)特的定理。例如，素?cái)?shù)193=（4×48）＋1可以以一種唯一方式寫成兩個(gè)平方數(shù)之和。對(duì)本例，我們可以很容易地證明，193=144+49=122＋72，而其他任何形式的平方和都不能等于193。另一方面，素?cái)?shù)199=（4×49）+3絕對(duì)無法寫成兩個(gè)平方數(shù)之和的形式，這同樣可以通過列出所有可能的形式來證明其不可能性。因此，我們?cè)谶@兩種形式的（奇）素?cái)?shù)之間，就其表達(dá)為兩個(gè)平方之和而言，發(fā)現(xiàn)了根本的差別。這是一個(gè)無法預(yù)料或憑直覺預(yù)測(cè)的性質(zhì)。
但歐拉在1747年對(duì)此作出了證明。
歐拉對(duì)所有偶完全數(shù)的問題也現(xiàn)出了極大興趣，同時(shí)也顯示他是一個(gè)真正的數(shù)論天才。還有他關(guān)于親和數(shù)這個(gè)問題的研究。親和數(shù)是一對(duì)具有下列性質(zhì)的數(shù)字：一個(gè)數(shù)字的所有因數(shù)之和恰好等于第二個(gè)數(shù)字，而第二個(gè)數(shù)字所有因數(shù)之和也同樣等于第一個(gè)數(shù)字。親和數(shù)早在古代就引起了數(shù)學(xué)家的興趣，他們認(rèn)為親和數(shù)具有神秘的“超數(shù)學(xué)”色彩。即使在現(xiàn)代，親和數(shù)也因其獨(dú)特的互逆性質(zhì)游弋在數(shù)字學(xué)的偽科學(xué)中。
古希臘人已知道數(shù)字220和284是親和數(shù)。即，220的所有因數(shù)是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110，這些因數(shù)加起來恰好等于284；同樣，284的所有因數(shù)是1、2、4、71和142，它們加起來等于220。但遺憾的是，當(dāng)時(shí)的數(shù)字學(xué)家們還不知道有其他的親和數(shù)，直至1636年，費(fèi)馬才證明出17，296和18，416構(gòu)成了第二對(duì)親和數(shù)。（實(shí)際上，這對(duì)親和數(shù)早已為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家班納（1256—1321年）所發(fā)現(xiàn)，比費(fèi)馬早300多年，但是，在費(fèi)馬時(shí)代，西方人還不知道這一對(duì)親和數(shù)的存在。）
1638年，笛卡兒或許是為了與費(fèi)馬爭(zhēng)勝，驕傲地宣布他發(fā)現(xiàn)了第三對(duì)親和數(shù)：9，363，584和9，437，056。
在歐拉開始研究這個(gè)問題之前的一百年間，親和數(shù)的研究一直停滯不前。1747年至1750年期間，歐拉發(fā)現(xiàn)了122，265和139，815以及其他57對(duì)親和數(shù)，這樣，他獨(dú)自一人就使世界已知親和數(shù)增加了近20倍！歐拉之所以能夠取得這樣的成果，是因?yàn)樗业搅松捎H和數(shù)的方法，并用這種方法生成了親和數(shù)。
至此，我們可以就我們對(duì)歐拉數(shù)論的簡(jiǎn)要評(píng)述作一個(gè)總結(jié)。如前所述，本章的這些定理最直接地表明了歐拉在數(shù)論領(lǐng)域的巨大影響。誠(chéng)然，他是站在天才的前輩、特別是站在費(fèi)馬的肩膀上。但是，歐拉的研究，不可估量地豐富了這一數(shù)學(xué)分支，并使他自己躋身于第一流的數(shù)論學(xué)家之列。
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