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那么吳文俊從歷史中得到什么結(jié)論，受到哪些啟發(fā)呢？
中國的傳統(tǒng)數(shù)學，由求解幾何問題以及其它各類問題而導致的方程求解，是古算術(shù)發(fā)展的一條主線。幾何問題的解決，其答案往往以公式的形式出現(xiàn)。由觀天測地導致的勾股弦公式、日高公式等等，都是從一些簡單易明的原理導出的。然而在《四元玉鑒》中己經(jīng)指出，如果引入天元（即未知數(shù)）建立相應的方程，通過解方程即可自然導出這些公式。這提供了一條證明與發(fā)現(xiàn)幾何定理的新路：把非機械化的定理求證歸結(jié)為機械化的方程求解。吳文俊明確提出，中國古代數(shù)學是一種機械化數(shù)學，數(shù)學機械化思想是中國古代數(shù)學的精髓。
他進一步指出：數(shù)學發(fā)展的歷程中，存在公理化思想和數(shù)學機械化思想，兩種思想對數(shù)學的發(fā)展進步都做出了重大貢獻，理應兼收并蓄�！稁缀卧尽肥枪砘枷氲拇碜�，《九章算術(shù)》及《九章注》匯集了東方數(shù)學的精髓及其大成，是機械化算法體系的傳世之作。公理化思想的成果以定理表述，而機械化思想的成果則常總結(jié)為算法（術(shù)）的形式。近代數(shù)學的偉大發(fā)現(xiàn)，如近世代數(shù)、解析幾何、微積分的建立，無不閃爍著數(shù)學機械化思想的光輝。
解析幾何是近代數(shù)學發(fā)展的開端。坐標概念的建立，是微積分學的基礎(chǔ)。1637年，笛卡爾（Descartes）關(guān)于幾何學的著作問世，清晰地展現(xiàn)了數(shù)學機械化思想。書中建立了一般的（非直角的）坐標系，引入了坐標的概念，從而實現(xiàn)了幾何的代數(shù)化。書中沒有考慮公理化的證明，而把重點轉(zhuǎn)向幾何問題的求解。書中把幾何問題求解轉(zhuǎn)化為方程求解，應用代數(shù)方程求得幾何問題的解答，表述為幾何定理。此書是坐標幾何的創(chuàng)始之作。解析幾何的創(chuàng)立，是數(shù)學機械化思想的產(chǎn)物。
數(shù)學的實質(zhì)躍進在于化難為易。在中國古代數(shù)學的成就中，吳文俊見到了許多實例，它們實現(xiàn)了化難為易的偉大創(chuàng)造。
十進位位值制，是中華民族的創(chuàng)造，是世界上絕無僅有的獨特創(chuàng)造。把0,1,…到9這10個數(shù)字，因其在前后不同的位置又賦予相應的位置值，這樣就可以利用這10個數(shù)字表示任意大的整數(shù)，同時使整數(shù)間的計算變得簡便易行。這一創(chuàng)造使極為困難的整數(shù)表示和演算，變得這樣簡易平凡，以至于人們往往忽略它對數(shù)學發(fā)展所起的關(guān)鍵作用。十進位位值制的創(chuàng)造，化難為易，是人類文明史的光輝一頁。我國的數(shù)學教學，如果能增加一些數(shù)學史的知識，講明中華數(shù)學的偉大創(chuàng)造，讓年輕人都能了解這些創(chuàng)造對人類文明發(fā)展進步發(fā)揮的重大作用，那將是非常有意義的。
從頗費腦筋的算術(shù)四則問題，通過建立代數(shù)方程，到按部就班地求解代數(shù)方程，是數(shù)學發(fā)展史上實現(xiàn)機械化、化難為易的光輝范例，是數(shù)學的一次躍進，意義重大。
在解方程的發(fā)展過程中，天元概念(即未知數(shù))和天元術(shù)(即建立方程)的發(fā)明是一種飛躍。天元概念和天元術(shù)的出現(xiàn)，使方程的建立也成為機械化的過程，從此變得輕而易舉。這是機械化數(shù)學思想化難為易的又一次體現(xiàn)。在數(shù)學發(fā)展史上，其意義之重大是可與位值制的創(chuàng)造相提并論的。這是中華數(shù)學在數(shù)學上影響深遠的又一貢獻。
吳文俊總結(jié)道：是否能化難為易，以及如何才能化難為易，也就是把原來極為困難的數(shù)學問題實現(xiàn)機械化而變得容易起來，乃是數(shù)學機械化的主題思想，也是它的主要目標。
吳文俊因在拓撲學研究中的杰出成就而享譽國際數(shù)學界，在代數(shù)幾何研究中也已取得重大原創(chuàng)性成果。正處于高產(chǎn)豐收之際，他卻毅然決然地暫時放下這些領(lǐng)域的研究，舉起數(shù)學機械化的大旗，滿腔熱情地投入到數(shù)學機械化研究。做出這一重大戰(zhàn)略轉(zhuǎn)移，充分反映出他對數(shù)學科學的深刻理解和勇往直前的創(chuàng)新精神。他認為，在拓撲學和代數(shù)幾何方面固然還可以做出許多成績，其意義卻遠遠不及開辟新的數(shù)學機械化領(lǐng)域。他當然清楚，現(xiàn)時的數(shù)學研究，公理化思想居于統(tǒng)治地位，對機械化思想沒有給予應有的重視。而數(shù)學的發(fā)展，應該適應信息時代的客觀需求，也要遵循數(shù)學科學進步的內(nèi)在規(guī)律。中國傳統(tǒng)的數(shù)學機械化思想，在數(shù)學發(fā)展的歷程中做出過巨大貢獻，也必將對當代數(shù)學科學的進步發(fā)揮重要作用。
數(shù)學機械化思想為數(shù)學科學的發(fā)展提供導向。在信息革命時代，數(shù)學將出現(xiàn)什么樣的變化？尤其是，中國的數(shù)學將如何進步？這是數(shù)學家們經(jīng)常思考的問題。許多數(shù)學家已經(jīng)覺察到，現(xiàn)時的數(shù)學似乎缺少什么精神，前進的動力日漸貧弱，以至于出現(xiàn)了對數(shù)學發(fā)展前景的爭論。吳文俊明確提出了自己的答案：開展數(shù)學機械化研究，讓數(shù)學機械化思想的光芒普照數(shù)學的各個角落。已故程民德院士曾經(jīng)指出，吳文俊倡導數(shù)學機械化研究，是從戰(zhàn)略的高度為中國數(shù)學的發(fā)展提出一種構(gòu)想。實現(xiàn)數(shù)學機械化，將為中國數(shù)學的振興乃至復興作出巨大貢獻。
戰(zhàn)略構(gòu)想的實現(xiàn)，首先要選好突破點。戰(zhàn)略突破口選在哪里？吳文俊想到：西方傳統(tǒng)的幾何定理證明，其形式與機械化迥然不同。是否可以找到一條道路，使證明也成為機械化的呢？非�！安粰C械化”的歐氏幾何，也走幾何代數(shù)化的道路，實現(xiàn)定理證明的機械化，使普通人都可證明復雜、困難的幾何定理。若如此，則是數(shù)學發(fā)展歷程中的又一件有意義的事。
他考慮得更多更遠。幾何是由代數(shù)控制的，應用不同的代數(shù)工具，會導致不同類別的幾何，吳文俊深諳個中道理。他自然想到那些不具有微分運算的幾何，如歐氏幾何、非歐幾何、球幾何、投影幾何、仿射幾何、有限幾何、代數(shù)幾何等等。既然走幾何代數(shù)化的道路，這些幾何定理的證明能否也實現(xiàn)機械化呢？
上述這些幾何，每種都是一個成熟的數(shù)學分支，都包含豐富的內(nèi)容，掌握一門已屬不易�，F(xiàn)在要把它們做為一個整體來對待，統(tǒng)稱為初等幾何，建立一般的機器證明的理論和方法，其困難程度可想而知，涉足此類問題者自然寥寥，是否有前人想過則不得而知。
如是，實現(xiàn)初等幾何的定理機器證明，需要積累廣博的初等幾何的知識，需要堅實的現(xiàn)代代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，還要掌握計算機，親自編寫證明程序，親自上機實踐，這樣才能獨樹一幟，別開生面。要掌握和理解這些數(shù)學知識已屬不易，更何況開創(chuàng)這些幾何定理的機器證明的理論和方法，自然是難上加難。而這，恰恰是吳文俊追求的目標。
從事數(shù)學研究是需要能力的。吳文俊先生講過：人們常說學數(shù)學的人聰明，依我看，數(shù)學這個行當是適合笨人來做的。當然，對于聰明和愚笨要有適當?shù)睦斫�。他認為自己不屬于聰明者之列，故而要付出超出常人的努力，勤勤懇懇地去練笨功夫。吳文俊在解決數(shù)學問題時所具有的強大攻堅能力，正是他勤于下笨功夫的磨煉凝聚而鑄成的。
吳文俊大學畢業(yè)后到中學任教。當時上海盛行幾何定理證明。初等幾何以其定理的簡單直觀而易懂，又以其證明的難以捉摸而具有無比的魅力，美妙的幾何定理層出不窮，美不勝收。借教書之便，他走遍能進入的圖書館，借閱了大量初等幾何的著作，篩去淺顯粗糙者，盡情專讀精品和名著，書中定理自行補證，書中習題全數(shù)演練，證明了大量艱深的定理。他當時就有用解析幾何的方法，簡化冗長繁瑣的定理證明的記錄。數(shù)十年后，當他完成初等幾何定理的機器證明時，仍能如數(shù)家珍那樣講述許多定理的來龍去脈、內(nèi)容和意義。對于幾何定理證明，吳文俊是下過笨功夫的。
50年代歸國后，吳文俊繼續(xù)做代數(shù)拓撲學研究，也曾花力氣研究代數(shù)幾何，直到文革爆發(fā)而中止。他不追趕當時的一些熱門流派，仍然強調(diào)構(gòu)造性的研究。他從代數(shù)幾何的研究對象出發(fā)，解讀已有的成果，發(fā)現(xiàn)它們間的聯(lián)系，尋找重要的基本概念的構(gòu)造性論述方式，使之改造為易于應用的形式。他強調(diào)代數(shù)簇母點這一概念的基本重要性，利用它將自己熟悉的陳省身示性類推廣到具有奇點的情形，這是原有方法所做不到的，是一項重大的學術(shù)創(chuàng)新。這段經(jīng)歷，為創(chuàng)立幾何定理機器證明的理論和方法奠定了基礎(chǔ)，創(chuàng)造了條件。對于代數(shù)幾何，吳文俊也是下過笨功夫的。
機器證明的實現(xiàn)，首先要在理論和方法上有所突破。引入坐標系之后，幾何對象及它們之間的關(guān)系可由多項式表示。幾何定理的假設(shè)可得一組多項式方程（簡稱為“假設(shè)方程”），結(jié)論也得一多項式方程（簡稱為“結(jié)論方程”）,
這不難，學過解析幾何的人都能做到。證定理是從假設(shè)推導出結(jié)論，這就難了，要發(fā)現(xiàn)一條切實可行之路，能夠按部就班地證明一類定理，那就更難了。按照通常的理解，所謂由“假設(shè)方程”推導出“結(jié)論方程”，代數(shù)的解釋是，“假設(shè)方程”的每個解都是“結(jié)論方程”的解；用幾何的語言描述則是，“假設(shè)方程”所定義的零點集包含于“結(jié)論方程”所確定的零點集之內(nèi)。然而問題的復雜超出了人們的想象。吳文俊發(fā)現(xiàn)，并非“假設(shè)方程”的每個解都是“結(jié)論方程”的解，實際上，“假設(shè)方程”的解中僅有一部分是“結(jié)論方程”的解，而另一部分卻不是“結(jié)論方程”的解。用什么辦法區(qū)別和界定“假設(shè)方程”解中的兩個部分，又如何給出合理的幾何解釋，是實現(xiàn)幾何定理機器證明必須克服的困難。
幾何對象之間的關(guān)系相互牽扯，導致不同點的坐標在“假設(shè)方程”中前后交錯。因此，必須對“假設(shè)方程”進行處理，使之從雜亂無章變得井然有序，適于機證定理的需要。代數(shù)幾何的研究經(jīng)歷，使吳文俊熟知多項式代數(shù)運算的幾何內(nèi)涵，因而能夠料想有哪些途徑，該如何入手化繁為簡做到這一步。把預想變?yōu)楝F(xiàn)實，要進行艱難的探索，吳文俊再次以他的勤奮下笨功夫，日日夜夜地演算推導，過程中出現(xiàn)的多項式經(jīng)常有數(shù)百項甚至上千項，一個多項式需要幾頁紙才能抄下，稍有疏漏演算則難以繼續(xù)。經(jīng)歷數(shù)月的奮戰(zhàn)，渾然忘我，終于建立了多項式組特征列的概念。以此概念為核心，提出了多項式組的“整序原理”，創(chuàng)立了機證定理的“吳方法”，首次實現(xiàn)了高效的幾何定理的機器證明。
理論和方法的突破，尚需在計算機上進行檢驗。方向已經(jīng)明確，宏偉的目標立即轉(zhuǎn)化為頑強的動力。在近耳順之年，吳文俊從零開始學習編寫計算機程序，親自上機。70年代末，當時的計算機性能是非常初步的。在相當困難的條件下，他以極大的熱情再次下笨功夫。簡單的袖珍計算器，也變成他心愛的進行定理證明的工具。吳文俊的勤奮是驚人的。80年代中期，系統(tǒng)所購置了HP-1000計算機。他的工作日程經(jīng)常是這樣安排的：早晨8點不到，他已在機房外等候開門，進入機房后是近10個小時的連續(xù)工作，傍晚回家進餐，還要整理計算結(jié)果，兩個小時后又到機房，工作到深夜或次日凌晨。第二天清晨，又出現(xiàn)在機房上機，24小時連軸轉(zhuǎn)的情況也常有發(fā)生。若干年內(nèi)，他的上機時間遙居全所之冠。在近古稀之年，他仍然精力充沛地忘我征戰(zhàn)。當時中關(guān)村到處修路，挖深溝埋設(shè)管道，他經(jīng)常在深夜獨自一人步行回家，跨溝翻丘，高一腳低一腳，有時下雨，則要趟著沒膝深的雨水摸索前行。那是一幅多么感人的情景！幾經(jīng)寒暑，幾度春秋，義無反顧的拼搏，終于獲得豐碩的成果。
通常證明幾何定理的綜合（演譯）證法，其應用范圍是頗為有限的。幾何定理的機械化證法，開辟了初等幾何獲得實際應用的廣闊道路。
機證定理的成功，獲得自動推理學界的高度贊揚和推崇。而充分理解和認識其在數(shù)學科學發(fā)展歷程中的深刻影響和重要作用，則尚需時日。既然從算術(shù)四則問題進化為代數(shù)方程求解，是數(shù)學發(fā)展的一次意義重大的躍進，那么，實現(xiàn)初等幾何定理的機械化證明，化難為易，也是數(shù)學的實踐和認識的一次飛躍。
吳文俊分析所取得的成績時指出，我們是遵循我國古代機械化數(shù)學的啟示，把幾何代數(shù)化，把非機械化的幾何定理證明轉(zhuǎn)化為多項式方程的處理，從而實現(xiàn)了幾何定理的機器證明。對于他建立的特征列法，他則認為只是給《四元玉鑒》以現(xiàn)代化的處理，使之臻于嚴密、合于現(xiàn)代數(shù)學的要求而已。初等幾何定理的機器證明是戰(zhàn)略突破點，由此打開局面，再逐步走上更一般更深層的數(shù)學機械化之途。數(shù)學不同分支中許多的問題，自然科學不同領(lǐng)域中很多的問題，高新技術(shù)中大量的問題，都可轉(zhuǎn)化為多項式方程組求解。機證定理僅是解方程的一項重要而成功的應用，解方程才是數(shù)學機械化研究的核心內(nèi)容。
吳文俊身體力行，把求解多項式方程組的特征列法推廣到微分的情形，建立了求解代數(shù)微分多項式方程組的微分特征列法。他本人的研究工作，已將解方程應用到許多領(lǐng)域，如線性控制系統(tǒng)、機械機構(gòu)綜合設(shè)計、平面星體運行的中心構(gòu)形、化學反應方程的平衡、代數(shù)曲面的光滑拼接、從開普勒定律自動推出牛頓定律、全局優(yōu)化求解等等。
吳文俊進一步指出，數(shù)學機械化思想是一種思維模式，一些數(shù)學分支正是由于踏上了機械化的道路而獲得蓬勃發(fā)展并成為重要的研究方向，甚至成為數(shù)學的主流。他以自己熟悉的代數(shù)拓撲學為例解釋道，龐加萊（Poincare）以解析方程組所定義的幾何圖像作為研究對象，建立了代數(shù)拓撲學。稍后又引進了復合形的概念，使某種程度的機械化考慮得以成立，從此拓撲學得到飛躍發(fā)展，成為當代數(shù)學中最有影響的學科之一。他還舉例，當代最活躍的幾何學領(lǐng)域，微分幾何與代數(shù)幾何有著直觀的背景，它們最基本的幾何對象，都是通過坐標與方程來表達的，隱含著幾何代數(shù)化的思想。數(shù)學的各個領(lǐng)域，都有自身的發(fā)展模式，有著自己的定理求證和問題求解,
如何走上機械化的道路，有待于各行各業(yè)專門家的努力。
吳文俊先生從事數(shù)學研究幾十年，成就斐然。在崎嶇的科學道路上奮勇攀登的征程中，高屋建瓴、科學的大局觀是重要的，腳踏實地、勤奮的下笨功夫同樣是重要的，兩者是他獲得成功的重要保證。
（本文大量引用了吳文俊先生的文獻，并未一一注明。）
撰稿人：數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員 石赫
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