回憶我的老師華羅庚先生——紀(jì)念華老誕辰90周年
徐利治
前言
華羅庚先生是55年前我在昆明西南聯(lián)合大學(xué)求學(xué)時(shí)代的老師。2000年11月12日是華老的90周年誕辰，華老的許多弟子和朋友都到了他的故鄉(xiāng)江蘇省金壇市，參加了隆重的紀(jì)念活動(dòng)。作為華老的一個(gè)老學(xué)生，我能有機(jī)會(huì)應(yīng)邀作了一次回憶華老的報(bào)告，真感到異常興奮而榮幸。當(dāng)天大會(huì)中的不少發(fā)言，都說到了華老往年的音容笑貌和對(duì)學(xué)生們的嚴(yán)謹(jǐn)而親切的教導(dǎo)，一切猶如歷歷在目，都懷有不勝感激之情。
一、 50年前的片斷回憶
正如王元的著作《華羅庚》一書中所說，抗日戰(zhàn)爭年代的西南聯(lián)合大學(xué)是一個(gè)“藏龍臥虎”之地。當(dāng)年我前往昆明求學(xué)之前，已從報(bào)紙上得知自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家華羅庚以其著名的《推壘素?cái)?shù)論》榮獲教育部的一等獎(jiǎng)。另外，還從報(bào)刊上讀到有關(guān)他的艱苦奮斗歷史和一些有趣的故事。那時(shí)候我正好自學(xué)了一本胡睿濟(jì)編著的《整數(shù)論初步》，略知數(shù)論是一門優(yōu)美而精深的學(xué)科，所以我在西南聯(lián)大數(shù)學(xué)系學(xué)完了兩年課程之后，很自然地懷著高度崇敬的心情，選修了華先生的“初等數(shù)論”課程。后來還學(xué)了他開設(shè)的必修課“近世代數(shù)”。記得兩門課我都得到了90分的最好成績。
華先生講課姿態(tài)很靈活，喜歡在黑板前面走來走去，邊走邊講。他在黑板上寫字不多，只寫出那些最必要的算式，而很注重講問題的來龍去脈和論證思想，有時(shí)也穿插講點(diǎn)小故事。所以聽他講課我感到是一種愉快的享受。
有一次華先生應(yīng)俞大維部長（抗日戰(zhàn)爭時(shí)期的“國防部長”）之邀出差去重慶期間，曾讓他的助教閔嗣鶴先生來領(lǐng)導(dǎo)我們分頭報(bào)告他編寫好的各章數(shù)論講義。我努力把華先生的一章講義弄懂之后，很高興地報(bào)告了三次，曾得到閔先生贊許。這對(duì)我后來喜愛數(shù)學(xué)教學(xué)無形中起到了積極的鼓勵(lì)作用。
在我的印象里華先生并不看重考試。他教我們兩門課程時(shí)，一次考試也沒有。當(dāng)然，學(xué)生們對(duì)他這樣的老師是很歡迎的。但他要求我們必須作一批他所指定的習(xí)題，最后根據(jù)作題的表現(xiàn)狀況給我們打分?jǐn)?shù)定成績。這樣，無疑是體現(xiàn)了對(duì)青年學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性與自覺性的尊重和鼓勵(lì)。我想，正因?yàn)槿A先生本人是自學(xué)成才的，所以他看重人的主動(dòng)自覺性也就很自然的了。
1945年我從大學(xué)畢業(yè)后，有幸被留校作華先生的助教。每星期批改一次由華先生授課的近世代數(shù)班的習(xí)題本。記得當(dāng)年學(xué)生中有一位來自香港的優(yōu)秀青年名叫陳國才，他的習(xí)題做得特別好，可以預(yù)見他是最有前途的。后來，他果然成為海外華裔的杰出數(shù)學(xué)家，但不幸英年早逝了。多年前香港數(shù)學(xué)會(huì)通訊上還有專門文章紀(jì)念他。
記得當(dāng)年華先生講課的主要特點(diǎn)是，他總是盡力把題材化繁為簡，化難為易。有時(shí)也對(duì)一些數(shù)學(xué)定理及其證法的妙處，贊嘆幾句。他曾不只一次地對(duì)我說：“高水平的教師總能把復(fù)雜的東西講簡單，把難的東西講容易。反之，如果把簡單的東西講復(fù)雜了，把容易的東西講難了，那就是低水平的表現(xiàn)�！边@些話是使我終生難忘的。
還有一次在講近世代數(shù)課時(shí)，他對(duì)大家說，他在步行來校的路上才真正想通了“許耳引理”（Schur’s lemma）的妙處。一位著名的數(shù)學(xué)教授，竟能在學(xué)生們面前毫無保留地表白對(duì)一個(gè)著名定理的體會(huì)過程，真使大家更加敬重他的坦誠性格和求實(shí)精神。
二、華先生的治學(xué)經(jīng)驗(yàn)及名言
華先生很重視做學(xué)問需要有“看家工夫”。所謂看家工夫指的是作科研時(shí)必不可少的最基本而有用的本事。據(jù)他所說，他的扎實(shí)的看家工夫主要來源于三部經(jīng)典著作。一是克里斯托爾（G.Chrystal）的《代數(shù)學(xué)》，二是蘭道（E.Landau）的《數(shù)論教程》（三大卷），三是特恩波爾（W.H.Turnbull）與愛德肯（A.C.Aitken）合著的《標(biāo)準(zhǔn)矩陣論》。他說，《代數(shù)學(xué)》使他學(xué)會(huì)了計(jì)算技巧，《數(shù)論教程》使他獲得了從事數(shù)學(xué)研究的分析功底，而《標(biāo)準(zhǔn)矩陣論》雖是一本薄薄的書，卻是幫助他后來完成“矩陣幾何”和“復(fù)分析”巨大研究成果的基本工具。
記得北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前系主任段學(xué)復(fù)教授，50年代在清華大學(xué)任教時(shí)期曾對(duì)我說過，據(jù)他所知華先生在青年時(shí)代即精讀蘭道的三卷巨著，共作了6大本筆記，可見其功夫之深�！稑�(biāo)準(zhǔn)矩陣論》這本老書，曾由華先生傳給了閔嗣鶴先生，后來又由閔先生傳給了我。至今保存在我家已有50余年了。從這本老書中還可以看到當(dāng)年身為名教授的華先生曾作過書中習(xí)題的痕跡。
19世紀(jì)初葉的杰出數(shù)學(xué)家阿貝爾（N.H.Abel）曾有這樣的經(jīng)驗(yàn)和見解：“只有直接面向名家的原著才能最有效地取得寶貴的知識(shí)和智慧�！憋@然華先生成功的經(jīng)歷與阿貝爾的成才經(jīng)驗(yàn)及見解是完全一致的。
讀到讀書的方法問題，華先生自有一套深刻的獨(dú)到見解。我們?cè)啻温犓f過“讀書要從薄到厚，再從厚到薄”的道理。當(dāng)然這也是他自己讀書成功的經(jīng)驗(yàn)之談。
他的經(jīng)驗(yàn)是，首先要作好讀書筆記，筆記中要補(bǔ)充書中的不足之處，包括補(bǔ)足定理證明的缺陷等等。還要選作書中的習(xí)題。這樣就好象是把薄書讀成厚書了。他還說過：“讀數(shù)學(xué)書而不作習(xí)題，真好象是入寶山而空返�！边M(jìn)一步是要努力提煉出書中題材的基本要點(diǎn)和核心內(nèi)容以及論證方法的關(guān)鍵所在。因?yàn)橐c(diǎn)、核心和關(guān)鍵經(jīng)過分析、概括和徹底理解后也就會(huì)變成直觀上一目了然的東西，顯然只須用極小的篇幅即可記錄下來，所以厚書也就變成薄書了。
對(duì)待探索性科學(xué)研究，華先生認(rèn)為在工作過程中出現(xiàn)些差錯(cuò)是常有的事。他說：“只有廟宇里的菩薩才不會(huì)出錯(cuò)誤，凡是研究工作做得越多的人，出現(xiàn)差錯(cuò)的機(jī)會(huì)也就會(huì)越多�！边@和法國已故分析學(xué)大師阿達(dá)瑪（J.Hadamard）的觀點(diǎn)正好是不謀而合的，真是英雄所見略同。阿達(dá)瑪曾在他的著作《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》一書中說過，“在數(shù)學(xué)中我們不怕出錯(cuò)誤，實(shí)際上錯(cuò)誤是經(jīng)常發(fā)生的。”他還說：“就他自己（阿達(dá)瑪）而言，所發(fā)生的錯(cuò)誤往往比他的學(xué)生所發(fā)生的錯(cuò)誤還多。但由于他總是不斷地加以改正，故在最后的結(jié)果中，就不會(huì)再留有這些錯(cuò)誤的痕跡。”
事實(shí)上，從事數(shù)學(xué)創(chuàng)造性研究工作，一般都免不了要經(jīng)歷“猜測—不斷試證—不斷糾錯(cuò)—確證真理”等步驟，所以杰出的數(shù)學(xué)家們都會(huì)有雷同的經(jīng)驗(yàn)和觀點(diǎn)也就不足為奇了。
數(shù)十年前當(dāng)華先生在數(shù)學(xué)上取得卓越的重大成就而享有盛譽(yù)之后，一般人常把華先生稱贊成“天才”。實(shí)際上他個(gè)人并不認(rèn)可“天才”的說法。記得有兩次他曾和我談?wù)摰接嘘P(guān)人類智力的看法。他認(rèn)為一般正常人的天賦智能其實(shí)是差別很小的。但由于人們實(shí)際生活環(huán)境與條件的不同，智能被開發(fā)的程度不同，才使人們的智能在表現(xiàn)上有所差別。他常說他自己的科學(xué)工作成就主要靠勤奮，還常用“勤能補(bǔ)拙”的成語來勉勵(lì)我們。
往年，在昆明西南聯(lián)大時(shí)代，每次我去華先生家拜訪求教時(shí)，總是看到他安然自若地坐在一個(gè)吃飯用的大方桌邊作研究。我的印象是，他喜歡在飯桌上寫作，而并沒有固定的書房和寫字臺(tái)，也沒有象樣的沙發(fā)椅。
我做他的助教時(shí)，他曾問我：每天工作幾小時(shí)？我回答說“大概每天搞數(shù)學(xué)三至四小時(shí)吧。”他說：“這么少時(shí)間搞數(shù)學(xué)怎么夠！工人每天還要工作八小時(shí)呢�！甭犓@么一說，我真是很感慚愧，心想：做老師的每天工作時(shí)間比我的兩倍還多。
三、華先生的工作特色與價(jià)值觀
華先生在數(shù)論、代數(shù)、幾何與復(fù)分析等領(lǐng)域的卓越成就及貢獻(xiàn)，已在王元的《華羅庚》傳中作了很好的介紹。這里我只想從宏觀的角度談一些華先生工作的主要特色與有關(guān)的價(jià)值觀念。這對(duì)繼續(xù)發(fā)展我國的數(shù)學(xué)教育來說，應(yīng)該會(huì)有相當(dāng)?shù)膮⒖純r(jià)值。
從華先生的許多著作可以看出，他豐碩的數(shù)學(xué)工作成果所反映的“價(jià)值觀”主要表現(xiàn)為：追求簡易、重視技巧、尋求顯式、堅(jiān)持構(gòu)造和看重應(yīng)用。所以在一定程度上，華先生和著名的德國數(shù)學(xué)家雅可比（C.G.J.Jacobi）、克羅內(nèi)克（L.Kronecker）以及蘭道頗有類似的工作特色。就善于用初等方法處理艱難問題的這種本事來看，他又和杰出的已故匈牙利數(shù)學(xué)家愛爾特施（P.Erdos）十分相似。
大家知道，杰出的分析家蘭道的寫作風(fēng)格是：簡潔、精巧和嚴(yán)謹(jǐn)。華先生對(duì)此極為贊賞。事實(shí)上，華先生的著述和作文也很象蘭道的風(fēng)格。然而，又因?yàn)槿A先生還有很好的文學(xué)底子，所以他的那些表現(xiàn)在科普作品的寫作技藝方面，卻不是蘭道可比的。
在科研工作中，為獲取創(chuàng)新成果，華先生很象歐拉和高斯那樣，十分重視計(jì)算、觀察、歸納和分析。他曾對(duì)我說過，如果想了解他的研究工作全過程，那就最好從他桌旁的紙簍里去找出他的大量草稿紙來看。當(dāng)年我雖然沒有那樣去做，但我從華先生的言談中，以及后來讀了歐拉和高斯的傳記之后，就逐漸領(lǐng)悟到他們的科研工作方法實(shí)際上是極為相似的。我并未問過華先生是否讀過高斯傳記，但平時(shí)聽他的言談，確切得知他對(duì)高斯的“從歸納到論證”的思想方法是極為通曉而崇敬的。
在看待數(shù)學(xué)工作成果的價(jià)值時(shí)，華先生對(duì)“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)技巧”兩個(gè)方面是并重的。有時(shí)甚至把數(shù)學(xué)思想放到更高地位。例如，他曾不只一次地對(duì)我談到了“數(shù)學(xué)家”與“數(shù)學(xué)匠”的兩個(gè)不同概念。他的意思是說，數(shù)學(xué)家應(yīng)該是既有高明的創(chuàng)新思想，又有高明的方法技巧。如果只重視技巧而缺乏高明思想那就至多只能成為數(shù)學(xué)匠了。當(dāng)然，為了解決大量有一定應(yīng)用價(jià)值的理論與實(shí)際問題，能精心細(xì)作的數(shù)學(xué)匠隊(duì)伍也是非常需要的。
此外，華先生還很強(qiáng)調(diào)“聯(lián)想”在數(shù)學(xué)創(chuàng)造性研究過程中的作用。這里我想起了半個(gè)世紀(jì)前的一個(gè)真實(shí)故事。記得1946年春云南省發(fā)生“昆明事變”之后不久，我去昆明郊外華家看望華先生時(shí)，他告訴我說，城里響了幾天槍炮聲，他是閉院不出，天天在院子里躺在帆布床上仰觀天空中的白云變幻，忽然有一次由聯(lián)想使他得到了一個(gè)美妙的數(shù)學(xué)新思想。他沒有談?wù)摷?xì)節(jié)，但我知道那個(gè)時(shí)期正是他科研的高產(chǎn)時(shí)期，每年都有不少佳作寄往美國發(fā)表。例如，那時(shí)期他在美國的好友徐賢修先生曾在一次來信中告訴他，他在美國一年內(nèi)發(fā)表的多篇論文的總頁數(shù)多達(dá)一百數(shù)十頁。
上述真實(shí)故事也正好說明了，華先生的一個(gè)數(shù)學(xué)新思想（或數(shù)學(xué)靈感）產(chǎn)生的機(jī)遇和宋代大文豪歐陽修所說的“三上文章”的經(jīng)驗(yàn)是非常相似的。歐陽修曾說過，他的佳作都是“三上文章”，那就是在“馬上”、“廁上”和“枕上”形成文思后產(chǎn)生的文章。如此看來，產(chǎn)生文學(xué)靈感和數(shù)學(xué)靈感的心理機(jī)制及情境條件可能是一模一樣的。
正如國內(nèi)外一些數(shù)學(xué)家所評(píng)述，華先生和印度天才數(shù)學(xué)家拉馬努金（S.Ramanujan, 1887-1920）頗有不尋常的相似之處：（i）他們都出生于東方文明古國的清貧家庭。（ii）他們都是自學(xué)成才的數(shù)學(xué)人物。（iii）他們都是精于演算技巧并且對(duì)于“數(shù)學(xué)的形式結(jié)構(gòu)”都具有特別悟性的計(jì)算大師。例如，拉馬努力金特別擅長于無窮連分式與無窮乘積等解析式子的算法技巧，并有一種獨(dú)特的直覺力使他能猜到或驗(yàn)證許多精美奇妙的公式，而為世人所贊嘆。相似地，華先生操作矩陣運(yùn)算就象是擺弄普通數(shù)字那樣得心應(yīng)手，因而能順捷地得到了“矩陣幾何”等方面的一系列極為優(yōu)美的構(gòu)造性成果，而為數(shù)學(xué)界所稱道。
然而，拉馬努金由于長期食物營養(yǎng)不良而英年早逝。他的工作成果始終保持著某種原創(chuàng)性的獨(dú)特個(gè)性，而他未能發(fā)展成為一個(gè)完全成熟了的能進(jìn)入數(shù)學(xué)主流中去的數(shù)學(xué)家。華先生的情況則有所不同。他一生中雖然遭受過王元著作中所說的“三大劫難”，但總算具有較強(qiáng)的環(huán)境適應(yīng)能力，以致能活到75歲。他的博學(xué)多聞、勤奮努力加悟性，還使他的工作活動(dòng)能融合到世界數(shù)學(xué)主流中去，所以終于成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)事業(yè)的奠基者和領(lǐng)航人。
一般理論數(shù)學(xué)家往往只顧研究，不愿多談應(yīng)用。華先生與眾不同，他一貫強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并且身體力行，為推廣數(shù)學(xué)應(yīng)用而效力。例如，70年代前后他帶領(lǐng)工作組不知疲勞地在國內(nèi)各地大力推行簡易實(shí)用的“優(yōu)選法”，為生產(chǎn)實(shí)際部門創(chuàng)造了很可觀的經(jīng)濟(jì)效益，那確實(shí)是十分感人的事績。作為華先生多年助手的國家計(jì)量學(xué)院前院長謝庭藩教授，在金壇市的紀(jì)念活動(dòng)中，還專門介紹了華先生及其弟子們?cè)诮y(tǒng)籌與優(yōu)選法方面的理論貢獻(xiàn)。足見華先生對(duì)貌不驚人的應(yīng)用課題也同樣是懷有巨大熱忱的。
四、后記
我有幸從青年時(shí)代起就從華先生那里獲得了終生難忘的教益：一是向他學(xué)到了不怕計(jì)算和樂于計(jì)算的精神。正是這種精神幫助我培育了一些“硬分析”工夫。二是在他的教學(xué)與科研風(fēng)格影響下，使我較早地形成了“追求簡易”和“重視顯式結(jié)構(gòu)”的觀點(diǎn)。這些觀點(diǎn)對(duì)我后來研究函數(shù)逼近論與計(jì)算數(shù)學(xué)以及組合數(shù)學(xué)都是大有幫助的。三是華先生的興趣廣泛性格以及對(duì)治學(xué)方法的見解，啟發(fā)我養(yǎng)成了愛讀數(shù)學(xué)發(fā)展史和科學(xué)方法論的習(xí)慣。這樣，終于使我有機(jī)會(huì)能在1980年左右開始在國內(nèi)三所大學(xué)講授“數(shù)學(xué)方法論”課程，并于1983年出版了一本頗為暢銷的《數(shù)學(xué)方法論選講》�，F(xiàn)今此書已有第三版問世。
記得抗日戰(zhàn)爭勝利前一年，華先生曾應(yīng)邀出差去重慶（抗戰(zhàn)時(shí)期的陪都）為當(dāng)時(shí)的國防部門解決一個(gè)關(guān)于日軍軍用密碼的破譯問題。華先生以其卓越的慧眼很快識(shí)破日軍密碼的轉(zhuǎn)換工具即數(shù)論中的麥比烏斯（Mobius）公式。這一令人驚喜的信息，曾鼓舞了我與當(dāng)年的概率論課程老師鐘開萊先生（現(xiàn)為美國斯坦福大學(xué)終身教授）合作寫成一篇用麥比烏斯反演公式求解一類組合概率計(jì)算問題的文章（發(fā)表于1945年美國統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)年刊）。后來我自己以及與我的年青合作者又一起在海內(nèi)外發(fā)表了數(shù)篇有關(guān)廣義麥比烏斯反演公式及其應(yīng)用的論文。飲水思源，這一切都要感謝當(dāng)年華先生的知識(shí)傳授與啟示。
最后要說的是，在我大學(xué)畢業(yè)時(shí)，正是由華先生的推薦和當(dāng)年數(shù)學(xué)系主任楊武之先生的首肯，才使我有機(jī)會(huì)留校從事數(shù)學(xué)工作。實(shí)際上這也是使我后來能享有漫長的“數(shù)學(xué)生涯”并能得到順利發(fā)展機(jī)會(huì)的人生關(guān)鍵一步。所以今天來紀(jì)念我的已故老師時(shí)，很自然地懷有一種深深的崇敬和銘感之情！
我衷心祝愿有志于數(shù)學(xué)科學(xué)事業(yè)的年青一代繼承和發(fā)揚(yáng)華老艱苦奮斗、刻苦鉆研、無私奉獻(xiàn)的精神，將為我國的科技與科教事業(yè)作出更大貢獻(xiàn)。
大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究所
我這篇報(bào)告的主要內(nèi)容，已以“回憶我的老師華羅庚”為題刊載在由中國數(shù)學(xué)會(huì)普委會(huì)、北京數(shù)學(xué)會(huì)與首都師大主辦的《中學(xué)生數(shù)學(xué)》雜志上[見2000，11月上期]。現(xiàn)今我又作了一些修改和補(bǔ)充，由《數(shù)學(xué)通報(bào)》和《數(shù)理天地》發(fā)表。
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