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我的想法是，在重復(fù)博弈的角度，參與者對他們之中的“代理關(guān)系”或“代理人”的選擇具有投票權(quán)。
這樣，在博弈的第一階段，參與者（比如，參與者A）可以選擇是否接受參與者B作為他的代理人。其結(jié)果可能導(dǎo)致聯(lián)盟（A，B）的形成（就象一個B作主席的委員會）， 并且形成中不需要A與B之間的任何言語的過程。進(jìn)一步，這個過程也適用于下一階段聯(lián)盟的形成。因為如果進(jìn)行下一階段的選舉，參與者B可以作為聯(lián)盟（A，B）的代理人接受參與者C的代理關(guān)系，從而C就成為代表聯(lián)盟（A，B，C）的代理人。
通過這種方式，如果廣義的“代理關(guān)系”可以由選舉產(chǎn)生，“大聯(lián)盟”總可以形成（對于有限參與者的博弈）；這樣的結(jié)果是，“ Pareto效率”的必要條件將得到滿足。
代理關(guān)系進(jìn)一步討論聯(lián)盟形成、解散以及重新形成的方式不是無限的，我們必須制定一個特定的選舉程序，以構(gòu)成由被轉(zhuǎn)化的最初博弈的參與者參與的非合作形式博弈的基礎(chǔ)。對重復(fù)博弈的研究，我們能夠制定一個選舉過程，使得選舉出的代理人可以完全獨立決策，并且在每個特定的博弈中，代理人一經(jīng)選舉不得改變。（當(dāng)然，因為博弈是重復(fù)的，選舉結(jié)果會發(fā)生變化）。我們需要設(shè)定一套規(guī)則，以便使在每一選舉階段中仍保持獨立的參與者（沒有接受其他參與者作為自己的代理人）均可以選擇其他參與者作為可接受的代理人。這些規(guī)則產(chǎn)生的結(jié)果理應(yīng)是收斂的，則n個參與者的博弈最多需要
( n-1)階段的選舉。
選舉規(guī)則需要解決選舉中可能出現(xiàn)的“僵局”問題，即在A選擇B作為代理人的同時，B也選擇A作為代理人。對于哪些選舉規(guī)則能夠以最優(yōu)的方式處理此類情形，我們事先并不是非常清晰。我們已經(jīng)研究過多種情況。近來我們在應(yīng)用特定博弈模型進(jìn)行計算中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選舉不能形成任何的代理權(quán)，允許重新進(jìn)行選舉可能是一個解決的方法。這個發(fā)現(xiàn)使我們認(rèn)識到，在任何選舉階段中，能夠使至多一個代理人被選中的選舉規(guī)則是最適宜的（另外，計算的實際結(jié)果似
乎暗示：這種選舉規(guī)則是“漸進(jìn)無偏見的”。因為“成功選舉”的概率趨向于1時，“同時選舉”的概率趨向于0）。
對于一般的CF博弈，如果博弈要求所有聯(lián)盟的收益必須通過其代理人的行為決策來實現(xiàn)，該代理人有權(quán)代表聯(lián)盟的所有成員，那么由此形成的“代理博弈”仍然同最初的博弈具有同樣的可導(dǎo)出的特征函數(shù)。本質(zhì)上說，聯(lián)盟具有同以前一樣的潛能，然而，在規(guī)范的意義上，要挖掘這些潛能，聯(lián)盟的成員需要共同策劃一個可操作程序，用以成功選舉出代理人，并且最終選出的能夠代表聯(lián)盟全體成員的代理人的行動是聯(lián)盟最終的有效行動。
模型的目前形式
我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在兩人或者三人的博弈中應(yīng)用此類模型，有可能找到“討價還價均衡”。出現(xiàn)的一些問題和復(fù)雜的細(xì)節(jié)使我們關(guān)注模型的精煉。理想的情況是，能夠開發(fā)一個類似于應(yīng)用在天氣預(yù)報中的數(shù)學(xué)方法（用偏微分方程描述氣流的研究等）。在注重物質(zhì)利益商業(yè)層面，這種模型可以自然地應(yīng)用于公司合并的具體交易細(xì)節(jié)（就象最近的Pfizer公司和 Pharmacia公司的合并）�；蛘撸覀兿Ｍ軌蛴纱烁顚哟蔚恼J(rèn)識已經(jīng)存在的價值與價值評估概念，例如，Shapley值、核。
聯(lián)系應(yīng)用代理模型研究聯(lián)盟和合作的方法，本研究將涉及以下內(nèi)容：關(guān)于重復(fù)博弈中的參與者如何對自己喜愛和不喜愛的、其他參與者的行為出“反應(yīng)”的各種模型；研究關(guān)于參與者如何選擇能夠規(guī)范他們反應(yīng)行為的“需求”的各種概念。例如，一個類似的研究領(lǐng)域是，理論生物學(xué)家在PD類型的重復(fù)博弈下研究合作進(jìn)化的可能性。該研究發(fā)現(xiàn)了不同類型的有利于形成合作的“反應(yīng)本能”。除了最簡單“針鋒相對”的本能反應(yīng)之外，還存在更復(fù)雜的變型。這些變型需要更多的記憶（關(guān)于最近一系列重復(fù)博弈的經(jīng)驗）。代理選舉模型的一個類似的情形是，參與者被允許做出的“需求”可能或多或少地被精巧構(gòu)造。
因為去年的簡單模型中用以減少方程個數(shù)和變量個數(shù)的做法似乎產(chǎn)生了一些問題，我現(xiàn)在正在考慮一個更為復(fù)雜的模型（三個參與者的博弈模型）。
去年模型和當(dāng)前工作的公共特征
這些模型均有一個產(chǎn)生代理權(quán)的選舉程序。較早的模型中，在第一階段選舉生效之后，采用一個簡單的程序?qū)⑹Ｓ嗟幕钴S參與者數(shù)量減少至2個。我們使用了一類簡單自然的討價還價機(jī)制，通過這個機(jī)制，剩余參與者競爭選擇的效用配置是合理的。然而，這種簡化方法并不是直接遵循象博弈開始時所有參與者進(jìn)行同一類的相互博弈產(chǎn)生代理關(guān)系的那些基本概念。兩個版本的模型均從第一階段的選舉開始，在第一階段的選舉中，三個參與者都可以投票（或者選擇）其他任一個參與者作為自己的代理人。兩個版本中的投票或選擇行為（象在重復(fù)博弈中反復(fù)采用的）均用數(shù)字來描述。這些數(shù)字能有效表示所涉及的行為或者機(jī)會出現(xiàn)時采取行動的概率。
這樣我們就有一個包含六個數(shù)字的矩陣（和三個“隱含數(shù)字”），描述為：
參與者1 參與者2 參與者3
a1f2＆ a1f3 a2f1＆ a2f3 a3f1＆ a3f2
這些數(shù)字描述了每一個特定投票的概率。例如，a2f1是參與者2（在第一階段博弈中）選擇參與者1作為自己授權(quán)代理人（就像“代理權(quán)”）的概率，也就是“ P2接受 P1的比率”。
其他aifj形式的變量具有類似的含義。有時可以利用另一類方便的符號，例如，n3=1-a3f1-a3f2表示參與者3既沒有接受參與者1也沒有接受參與者2作為其代理的概率；或者表示參與者3沒有投票或投票給自己的概率。
既然三個參與者同時作出他們的第一次投票，就可能產(chǎn)生不同的結(jié)果。我們制定一個簡化過程的規(guī)則，使投票產(chǎn)生一個合適的結(jié)果。如果在第一次投票機(jī)會中可接受的投票數(shù)目超過1個，我們從中隨機(jī)的選擇一個作為結(jié)果。
那么，選舉只有兩種結(jié)果：（1）其中一個參與者選擇其他參與者作為自己的代理人；（2）沒有任何一個參與者選擇其他參與者作為代理人代表他的利益。我們又引入一個約定，如果參與者沒有達(dá)成一致以至于沒有選出任何代理關(guān)系，第一階段選舉在某一概率下可以重復(fù)進(jìn)行。在前一個模型中也用到了這個思想。參與者被賦予再次投票的概率設(shè)為(1-e4)或(1-E4)， 我們希望研究的是當(dāng)e4趨向于0的計算結(jié)果。（我們發(fā)現(xiàn)，在較早的模型中，當(dāng)?shù)内呄蛴?時，象a1f2所表示概率也趨向于0，但是這樣代理人產(chǎn)生的概率將增大。因為不斷地給聯(lián)盟的基本行動（選舉代理）提供“第二次機(jī)會”）。
代理選舉的第二個階段
在我們以前的模型中，一個代理關(guān)系選出之后，只有兩個參與者保持活躍，根據(jù)剩下的這兩個參與者的指定效用的損益，已經(jīng)選為代理人的參與者選擇兩個數(shù)，而余下的單個人選擇一個數(shù)字。
當(dāng)前模型的研究方法是，在某種意義上，更多的關(guān)于代理關(guān)系思想的“傳統(tǒng)”和所有一般合作的可能性簡化為最終選舉一個“一般性的代理人”。這樣當(dāng)一個參與者已經(jīng)接受另一個參與者作為他的代理人，那么剩下兩個自由行動的參與者，而適合“大聯(lián)盟”的合作層次沒有實現(xiàn)直至他們中的一個被另一個選為代理人。
但是如果最后的代理關(guān)系選舉失敗，那我們可以允許現(xiàn)有的代理關(guān)系去使用由兩個參與者形成的2人聯(lián)盟的資源。（在一個簡單的情形，正如我們所考慮的，這會導(dǎo)致簡單的使用由一對參與者形成的聯(lián)盟的特征函數(shù)決定的資源）。
類似的想法適用于選舉的第一階段，我們允許第二階段可以重復(fù)，其概率為(1-e5)，如果沒有一方推舉另一方有代理資格，我們的思路是要研究當(dāng)e5漸進(jìn)趨近于0時極限形式的結(jié)果。
一旦一個“一般性代理”選出來，那么他／她有特權(quán)能夠分配收益，將所有可獲得的收益效用資源分配給包括他自己在內(nèi)的所有參與者。我們的模型將整個可獲得的資源簡化為1，這也對應(yīng)于博弈的Pareto邊界。
每一個參與者有四種可能的方式被選為最終的代理人。兩個參與者之一可能一開始就選舉他，這有兩種情形；或者其他兩個參與者有兩種方式產(chǎn)生最初聯(lián)盟，任一種方式接下來都是他被選為兩人聯(lián)盟的代理人。作為最終的代理人他要在一個2維空間中選擇一個點來決定他的可達(dá)的Pareto效用配置。
這樣每個參與者有8個維度，共3個參與者，當(dāng)他們在被選為“最終代理人”之后，指定的效用配置就總共有24個選擇維度。在39個“策略變量”中24個選擇變量被看作個人的目標(biāo)和參與者個人最優(yōu)選擇。
其他15個參與者的策略選擇的維度對應(yīng)于他們與反應(yīng)性行為（在重復(fù)博弈中）相關(guān)聯(lián)的選項。參與者由他們反應(yīng)性策略選擇所影響或控制的行為一般是他們的“接受行為”。
博弈的第三步：效用的配置
當(dāng)代理選舉的前兩步完成之后，最初的參與者之一已經(jīng)成為所有人的代理，并由他“配置”收益。假定配置是Pareto有效的，由此我們假設(shè)他／她指定三個特定的非負(fù)數(shù)，其和為 1。這是由對其他參與者（目前是兩個人）的分配數(shù)量決定的。這樣對所有的參與者總共就有24種可選的策略。
例如，在UjBijRk型的情形，數(shù)字i是固定的，即參與者 i首先由參與者j選舉，然后由參與者k選舉；參與者i選擇分配ujbijrk給j（分配ukbijrk給參與者k，但是這是另外一種配置策略的情形)。例如，u1b3r21 是由參與者3決定分配給參與者1的數(shù)量，參與者3由參與者2選出，而參與者2在第一輪由參與者1選出。而u2b3r21 是分配給參與者2的（他在選舉的過程中處于一個不同的地位）。參與者3將u3b3r21 分配給自己，但是這在我們 42個變量和42個方程的系統(tǒng)中被化簡，因為其他兩個參與者的配置與參與者3的配置之間有個簡單的關(guān)系。這樣就有了24個“效用配置”的變量（分別對應(yīng)著參與者選擇的策略人并且分為4類：UjBijRk，UkBijRk，UjBiRjk和 UkBiRjk。
博弈第二階段的“需求”與行為當(dāng)“第二階段”到來的時候，一個參與者成為了代理，另一個參與者根據(jù)這種代理關(guān)系被代表，而第三個參與者仍然單獨的。
假設(shè)現(xiàn)在參與者1代表參與者2，而參與者3是單獨的。我們簡單的將 a12f3記為a12，也就是現(xiàn)在參與者1選擇投票給3作為最終代理人的概率。（這在一個可重復(fù)的博弈中是一個可以觀察到的行為。）并且我們用af12表示參與者3愿意投票接受參與者1（他已經(jīng)代表參與者2了）作為最后的代理人。這種分類導(dǎo)致12個數(shù)，每種6個。然而這12個數(shù)不是所有涉及的參與者的“策略”選擇，而是我們設(shè)定的他們由需求規(guī)范的“反應(yīng)行為”所決定的，這是參與者真正的策略選擇。例如，a12（或 a12f3）指定為 A 12/(1+A12)，其中A12是一個正數(shù)。
這使得a12是一個小于1的正數(shù)。而控制a12的A12是由A12=Exp[(u1b3r12-d12)/e3]得到。這里e3，或者“E3”，它在我們研究模型的均衡最終變得非常小。由于非常小，使得A12在d12和u1b3r12相對變化時變化劇烈。這里的數(shù)字“ d12”是參與者1根據(jù)環(huán)境作出的“策略性”“需求”選擇，他可以投票接受參與者3作為一般性（最終）的代理人和等著希望參與者3會接受他作為最終代理人（！）。 這個公式所要考慮的僅僅是當(dāng)參與者1已經(jīng)被選出代表參與者2，即 ul1b3r12的情形下，參與者3成為一般性代理時，參與者1的預(yù)期收益或支付。
這里有6個如 d12（它控制著a12）需求策略數(shù)字。同樣，這里也有6個非常類似的策略選擇，如df23控制著af3（或a1f23）。所以“df23”是參與者1的一種選擇，因為他控制a1f23也即接受在博弈的第二階段作為獨立人的參與者1作為參與者2的代理人的概率，在參與者2已經(jīng)代表參與者3前提下。這樣我們有af23=AF23/(1+AF23)或a1f23=AIF23/(1+A1F23)其中AF23=Exp[(u1b23r1-df23)/e3]被指定用于控制（策略性）需求選擇的可接受行為�；蛘哂靡粋�更長的記號：A1F23=Exp[(u1b23r1-d1f23)/e3] 。
第一階段的需求和可接受的行為
在選舉的第一個階段，即三個參與者都是獨立的時候，我們通常已經(jīng)做了一個選擇，即如何將選舉行為和“需求”聯(lián)系起來。作出的選擇并不是絕對自由隨意的，有時還更加復(fù)雜，也需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)目紤]。每一個參與者的投票都有選擇，例如參與者2，可以選擇投票給參與者1（行為的概率為a2fl），也可以選擇投票給參與者3（行為的概率為a2f3），或者票都不投給他們（描述為n2=1-a2f1-a2f3）。這個模型，和以前研究的模型一樣，將這些行為描述的數(shù)字（或概率）與一個單獨的需求參數(shù)相聯(lián)系，即d2，這涉及參與者2在博弈的第一階段所有的策略選擇。我們在模型中假定正數(shù)A2f1和 A2f3都是給定的（有d2控制）并且a2fj=A2fj/(1+A2f1+A2f3)，其中j為1或3。A2fj假定為 Exp[(q2j－d2)/e3]，其中 q2j 為參與者在假定博弈進(jìn)行到第二階段，且他成為參與者j的代理人的前提下計算的期望收益。這樣參與者2策略性選擇需求 d2，無論在第二階段是（q21），即參與者1成為代表他的代理人，還是（q23），即參與者3成為代表他的代理人，d2 都可以解釋為參與者2他／她應(yīng)該對期望收益的要求。
那么，三個策略變量 d1，d2和 d3控制 6個行為的概率a1f2，a1f3，a2f1，a2f3，a3f1以及a3f2，它們完整的描述了真實的（可觀察到的）第一階段參與者的行為。
模型中的變量 在模型中我們總共有39個“策略”變量，15個“需求”變量和24個“效用配置”的選擇。但是我們可以通過相關(guān)的控制行為概率，如 a23或a1f2和 a1f3，替換所有的需求變量，如 d23或d1。這樣我們可以得到簡化的方程組，絕大部分指數(shù)類函數(shù)都消除了。實際中必須考慮的一個問題是如何找到這些方程的真實數(shù)值解。這是在以前簡單模型中就遇到的問題，然而在目前的模型中，工作還遠(yuǎn)未完成。不過，在NSF項目資助（AK）的幫助下，模型已經(jīng)到了一個推導(dǎo)出可以解的實際方程的程度（即處于一種好的形式，可以應(yīng)用計算機(jī)軟件進(jìn)行研究）。進(jìn)一步，首先對完全對稱博弈然后對一般性的非對稱博弈進(jìn)行的一些數(shù)值計算表明，該模型如預(yù)期的那樣。至少對2個參與者的聯(lián)盟這樣的小數(shù)據(jù)是這樣的。但是，目前還不能對解的漸進(jìn)形式或?qū)τ嬎愕慕Y(jié)果妄加評論，這一切都還為時尚早。 當(dāng)對各種形式的非對稱博弈進(jìn)行了足夠的計算，那么通過計算出的收益，推斷出的隱含值可以給出與很多相關(guān)概念，如核等，相提并論的數(shù)字。剩下來的挑戰(zhàn)是如何真正地發(fā)現(xiàn)足夠多的、由均衡模型的數(shù)值解揭示的、有指導(dǎo)意義的結(jié)果。結(jié)果比較模型的設(shè)計使得博弈可以分類，其中Shapley值和核給出博弈不同的“評估”。這些評估，例如“仲裁程序”中所用的指南，是好是壞（如果這些比較從任何角度都是有效的）？當(dāng)然，任何其他可以用于“評價”的規(guī)則，都能成為對這些或其他評價方法的進(jìn)行比較的一個基礎(chǔ)。 如同以前的模型一樣，我們的建模也有三個參數(shù)描述兩個參與者聯(lián)盟可獲取的資源。如果它們是小的正數(shù)，例如小于1/3，盡管Shapley值在對博弈評價時給予它們適度的權(quán)重，但標(biāo)準(zhǔn)的核估計容易忽視它們。我們以前的模型對這些情形給出了數(shù)值結(jié)果：根據(jù)兩個“E”的比率(相比前面描述的“e3”）這種評價可以是“上 Shapley 式”（與處于{1/3，1/3，1/3}的核相比）或者是“下Shapley式”。
最后，我做個總結(jié)，對于“需求”選擇效果的不規(guī)則平滑化中用到的“模糊性”需要一個更加一致的概念。否則，如同2人模型早期研究所證實的，如果一個參與者有“精明”的需求，而另一個可能有“遲鈍”的需求，這樣有精明需求的參與者會變成一個“精明”的討價還價者并會在計算出的博弈結(jié)果中占據(jù)優(yōu)勢！
模糊性的引入是出于數(shù)學(xué)上的考慮，可使得光滑函數(shù)的推導(dǎo)能夠計算。但是，在一定的環(huán)境下，“不平衡”的模糊性會“損害”博拜評價的客觀性。相關(guān)的研究這個項目的工作，主要是尋求利用“代理”的概念，通過簡化為非合作博弈均衡的考慮，從而成功的研究合作博弈，這已經(jīng)引導(dǎo)我對其他一些問題進(jìn)行研究。
其中之一是核的可計算性，因為如果研究各種各樣的博弈例子，并且如果它們都定義了古典的核和Shapley值，那么僅對于數(shù)值結(jié)果的比較，最好有一種快速的方法找到形成核向量的數(shù)字。對我來說，可能通過蒙特卡羅類型的程序方法，在一個高度近似的水平，利用隨機(jī)干擾發(fā)現(xiàn)核分量的數(shù)值。我曾試著用MATHEMATICA編程，發(fā)現(xiàn)博弈經(jīng)�？梢杂煤侠淼臄�(shù)字來定義，而一個對真實核的高度近似可以導(dǎo)致通過找到用于近似的這些簡單的合理數(shù)字來發(fā)現(xiàn)真實的答案。
在逐次逼進(jìn)的方法中，核的確切定義是比較生成近似向量的各種隨機(jī)擾動優(yōu)劣的評判標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)。后來，我從Sven Klauke在Bielefeld的工作，了解到這一類的方法已經(jīng)是有效C＋十編程的基礎(chǔ)，并且已經(jīng)開發(fā)出一套有效的程序，它采用的方法就是將問題簡化為“線性規(guī)劃”問題。
在出席去年的 Stony Brook大會之后，我考慮一個Harsanyi（在1960年左右）計算的一個與發(fā)展合作博奕中的一般解概念有關(guān)的特征函數(shù)。當(dāng)時，我認(rèn)識到如果這個方法用于改變?nèi)瞬┌莸慕忉�，并且如果對（常�?shù)和）博弈計算出核，那么這將導(dǎo)致與博弈的Shapley值相同的向量（而它本身不會由于“ Harsanyi特征函數(shù)”而改變）。
另一方面，如果我們考慮類似的四人博弈，在通過Harsanyi特征函數(shù)轉(zhuǎn)變聯(lián)盟值的信息之后核計算一般不會與Shapley值向量相一致。
對我而言，目前恰巧遇到和1928年馮·諾伊曼相類似的情形3人合作博率在一定程度上可以評價，但4人博拜從評估的角度看，其困難程度不是一個級別。 |
