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古代中國(guó)數(shù)學(xué)史

數(shù)學(xué)是中國(guó)古代科學(xué)中一門(mén)重要的學(xué)科，根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，可以分為五個(gè)時(shí)期：萌芽；體系的形成；發(fā)展；繁榮和中西方數(shù)學(xué)的融合。

一、中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽

原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展，仰韶文化時(shí)期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號(hào)。到原始公社末期，已開(kāi)始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了。

西安半坡出土的陶器有用1～8個(gè)圓點(diǎn)組成的等邊三角形和分正方形為100個(gè)小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫(huà)圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測(cè)量工具。據(jù)《史記·夏本紀(jì)》記載，夏禹治水時(shí)已使用了這些工具。

商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬(wàn)；與此同時(shí)，殷人用十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個(gè)名稱(chēng)來(lái)記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽(yáng)符號(hào)構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。

公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測(cè)量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法，并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子。《禮記·內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從九歲開(kāi)始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記數(shù)方法，他們要受禮、樂(lè)、射、馭、書(shū)、數(shù)的訓(xùn)練，作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開(kāi)始成為專(zhuān)門(mén)的課程。

春秋戰(zhàn)國(guó)之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制，這種記數(shù)法對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時(shí)代意義的。這個(gè)時(shí)期的測(cè)量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。

戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對(duì)于正名和一些命題的爭(zhēng)論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。名家認(rèn)為經(jīng)過(guò)抽象以后的名詞概念與它們?cè)瓉?lái)的實(shí)體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無(wú)窮大)定義為“至大無(wú)外”，“小一”(無(wú)窮小)定義為“至小無(wú)內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”等命題。

而墨家則認(rèn)為名來(lái)源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點(diǎn))等等。

 墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個(gè)“非半”的命題來(lái)進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的“非半”，這個(gè)“非半”就是點(diǎn)。

名家的命題論述了有限長(zhǎng)度可分割成一個(gè)無(wú)窮序列，墨家的命題則指出了這種無(wú)限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。

二、中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成

 秦漢是封建社會(huì)的上升時(shí)期，經(jīng)濟(jì)和文化均得到迅速發(fā)展。中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個(gè)時(shí)期，它的主要標(biāo)志是算術(shù)已成為一個(gè)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科，以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn)。

《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來(lái)說(shuō)，堪稱(chēng)是世界數(shù)學(xué)名著。例如分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、今有術(shù)(西方稱(chēng)三率法)、開(kāi)平方與開(kāi)立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱(chēng)雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它形成了一個(gè)以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系。

《九章算術(shù)》有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：采用按類(lèi)分章的數(shù)學(xué)問(wèn)題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來(lái)的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏理論闡述等。

這些特點(diǎn)是同當(dāng)時(shí)社會(huì)條件與學(xué)術(shù)思想密切相關(guān)的。秦漢時(shí)期，一切科學(xué)技術(shù)都要為當(dāng)時(shí)確立和鞏固封建制度，以及發(fā)展社會(huì)生產(chǎn)服務(wù)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。最后成書(shū)于東漢初年的《九章算術(shù)》，排除了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期在百家爭(zhēng)鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當(dāng)時(shí)生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解法，這與當(dāng)時(shí)社會(huì)的發(fā)展情況是完全一致的。

《九章算術(shù)》在隋唐時(shí)期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國(guó)家當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教科書(shū)。它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過(guò)印度、阿拉伯傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。

三、中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展

 魏、晉時(shí)期出現(xiàn)的玄學(xué)，不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運(yùn)用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國(guó)趙爽注《周髀算經(jīng)》，漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個(gè)時(shí)期。趙爽與劉徽的工作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。

 趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在《周髀算經(jīng)》書(shū)中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個(gè)公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是帶有開(kāi)創(chuàng)性的，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。

 劉徽約與趙爽同時(shí)，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家和墨家的思想，主張對(duì)一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義，認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須進(jìn)行“析理”，才能使數(shù)學(xué)著作簡(jiǎn)明嚴(yán)密，利于讀者。他的《九章算術(shù)》注不僅是對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過(guò)程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250。

劉徽用無(wú)窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問(wèn)題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。

東晉以后，中國(guó)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟(jì)文化南移以后，南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作，他們?cè)趧⒒兆ⅰ毒耪滤阈g(shù)》的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。他們的數(shù)學(xué)工作主要有：計(jì)算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖暅原理；提出二次與三次方程的解法等。

據(jù)推測(cè)，祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個(gè)結(jié)果。他又用新的方法得到圓周率兩個(gè)分?jǐn)?shù)值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國(guó)在圓周率計(jì)算方面，比西方領(lǐng)先約一千年之久。

祖沖之之子祖暅總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應(yīng)用這個(gè)公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。

隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》，主要討論土木工程中計(jì)算土方、工程分工、驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題，反映了這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號(hào)的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當(dāng)時(shí)社會(huì)的需要，也為后來(lái)天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。此外，對(duì)傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。

唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，學(xué)生30人。由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋《算經(jīng)十書(shū)》，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本，明算科考試亦以這些算書(shū)為準(zhǔn)。李淳風(fēng)等編纂的《算經(jīng)十書(shū)》，對(duì)保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解，對(duì)讀者是有幫助的。隋唐時(shí)期，由于歷法的需要，天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。

算籌是中國(guó)古代的主要計(jì)算工具，它具有簡(jiǎn)單、形象、具體等優(yōu)點(diǎn)，但也存在布籌占用面積大，運(yùn)籌速度加快時(shí)容易擺弄不正而造成錯(cuò)誤等缺點(diǎn)，因此很早就開(kāi)始進(jìn)行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤(pán)，在技術(shù)上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五升十進(jìn)與位值制的優(yōu)點(diǎn)，又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點(diǎn)，優(yōu)越性十分明顯。但由于當(dāng)時(shí)乘除算法仍然不能在一個(gè)橫列中進(jìn)行。算珠還沒(méi)有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒(méi)有普遍應(yīng)用。

唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計(jì)算增多，迫切要求改革計(jì)算方法，從《新唐書(shū)》等文獻(xiàn)留下來(lái)的算書(shū)書(shū)目，可以看出這次算法改革主要是簡(jiǎn)化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個(gè)橫列中進(jìn)行運(yùn)算，它既適用于籌算，也適用于珠算。

四、中國(guó)古代數(shù)學(xué)的繁榮

960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國(guó)割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用。1084年秘書(shū)省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書(shū)》，1213年鮑搟之又進(jìn)行翻刻。這些都為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。

 從11～14世紀(jì)約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，如賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》，李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰，其中一些成就也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的高峰。

 從開(kāi)平方、開(kāi)立方到四次以上的開(kāi)方，在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍，實(shí)現(xiàn)這個(gè)飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章算法纂類(lèi)》中載有賈憲“增乘開(kāi)平方法”、“增乘開(kāi)立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開(kāi)方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開(kāi)方法開(kāi)四次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開(kāi)方法。這兩項(xiàng)成就對(duì)整個(gè)宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。

 把增乘開(kāi)方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負(fù)的情形)解法的是劉益�！稐钶x算法》中“田畝比類(lèi)乘除捷法”卷，介紹了原書(shū)中22個(gè)二次方程和 1個(gè)四次方程，后者是用增乘開(kāi)方法解三次以上的高次方程的最早例子。

 秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數(shù)書(shū)九章》中收集了21個(gè)用增乘開(kāi)方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問(wèn)題。為了適應(yīng)增乘開(kāi)方法的計(jì)算程序，奏九韶把常數(shù)項(xiàng)規(guī)定為負(fù)數(shù)，把高次方程解法分成各種類(lèi)型。當(dāng)方程的根為非整數(shù)時(shí)，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母，常數(shù)為分子來(lái)表示根的非整數(shù)部分，這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無(wú)理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第二位數(shù)時(shí)，秦九韶還提出以一次項(xiàng)系數(shù)除常數(shù)項(xiàng)為根的第二位數(shù)的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。

元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在《授時(shí)歷》中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問(wèn)題。秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法(他們稱(chēng)為招差術(shù))，朱世杰得到一個(gè)四次函數(shù)的內(nèi)插公式。

用天元（相當(dāng)于x）作為未知數(shù)符號(hào)，立出高次方程，古代稱(chēng)為天元術(shù)，這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào)，并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決建立高次方程的問(wèn)題�，F(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測(cè)圓海鏡》。

 從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造。留傳至今，并對(duì)這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。

 朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，他把常數(shù)放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個(gè)方向上，其他各項(xiàng)放在四個(gè)象限中。朱世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項(xiàng)式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個(gè)一元高次方程式，然后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù)，最后用增乘開(kāi)方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展，比西方同類(lèi)方法早400多年。

勾股形解法在宋元時(shí)期有新的發(fā)展，朱世杰在《算學(xué)啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補(bǔ)充了《九章算術(shù)》的不足。李冶在《測(cè)圓海鏡》對(duì)勾股容圓問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的研究，得到九個(gè)容圓公式，大大豐富了中國(guó)古代幾何學(xué)的內(nèi)容。

 已知黃道與赤道的夾角和太陽(yáng)從冬至點(diǎn)向春分點(diǎn)運(yùn)行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個(gè)解球面直角三角形的問(wèn)題，傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進(jìn)行計(jì)算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會(huì)圓術(shù)和天元術(shù)解決了這個(gè)問(wèn)題。不過(guò)他們得到的是一個(gè)近似公式，結(jié)果不夠精確。但他們的整個(gè)推算步驟是正確無(wú)誤的，從數(shù)學(xué)意義上講，這個(gè)方法開(kāi)辟了通往球面三角法的途徑。

中國(guó)古代計(jì)算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時(shí)期。宋元明的歷史文獻(xiàn)中載有大量這個(gè)時(shí)期的實(shí)用算術(shù)書(shū)目，其數(shù)量遠(yuǎn)比唐代為多，改革的主要內(nèi)容仍是乘除法。與算法改革的同時(shí)，穿珠算盤(pán)在北宋可能已出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤(pán)，又有一套完善的算法和口訣，那么應(yīng)該說(shuō)它最后完成于元代。

宋元數(shù)學(xué)的繁榮，是社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果，是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果。此外，數(shù)學(xué)家們的科學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想也是十分重要的。宋元數(shù)學(xué)家都在不同程度上反對(duì)理學(xué)家的象數(shù)神秘主義。秦九韶雖曾主張數(shù)學(xué)與道學(xué)同出一源，但他后來(lái)認(rèn)識(shí)到，“通神明”的數(shù)學(xué)是不存在的，只有“經(jīng)世務(wù)類(lèi)萬(wàn)物”的數(shù)學(xué)；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的“用假象真，以虛問(wèn)實(shí)”則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對(duì)縱橫圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，揭示出洛書(shū)的本質(zhì)，有力地批判了象數(shù)神秘主義。所有這些，無(wú)疑是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素。

中西方數(shù)學(xué)的融合

中國(guó)從明代開(kāi)始進(jìn)入了封建社會(huì)的晚期，封建統(tǒng)治者實(shí)行極權(quán)統(tǒng)治，宣傳唯心主義哲學(xué)，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數(shù)學(xué)發(fā)展逐漸衰落。

16世紀(jì)末以后，西方初等數(shù)學(xué)陸續(xù)傳入中國(guó)，使中國(guó)數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)一個(gè)中西融合貫通的局面；鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)以后，近代數(shù)學(xué)開(kāi)始傳入中國(guó)，中國(guó)數(shù)學(xué)便轉(zhuǎn)入一個(gè)以學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)為主的時(shí)期；到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，近代數(shù)學(xué)研究才真正開(kāi)始。

從明初到明中葉，商品經(jīng)濟(jì)有所發(fā)展，和這種商業(yè)發(fā)展相適應(yīng)的是珠算的普及。明初《魁本對(duì)相四言雜字》和《魯班木經(jīng)》的出現(xiàn)，說(shuō)明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識(shí)字的課本，后者把算盤(pán)作為家庭必需用品列入一般的木器家具手冊(cè)中。   

 隨著珠算的普及，珠算算法和口訣也逐漸趨于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣并在除法中廣泛應(yīng)用歸除，從而實(shí)現(xiàn)了珠算四則運(yùn)算的全部口訣化；朱載墑和程大位把籌算開(kāi)平方和開(kāi)立方的方法應(yīng)用到珠算，程大位用珠算解數(shù)字二次、三次方程等等。程大位的著作在國(guó)內(nèi)外流傳很廣，影響很大。

1582年，意大利傳教士利瑪竇到中國(guó)，1607年以后，他先后與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《測(cè)量法義》一卷，與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在他主持下，編譯《崇禎歷書(shū)》137卷�！冻绲潥v書(shū)》主要是介紹歐洲天文學(xué)家第谷的地心學(xué)說(shuō)。作為這一學(xué)說(shuō)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，希臘的幾何學(xué)，歐洲玉山若干的三角學(xué)，以及納皮爾算籌、伽利略比例規(guī)等計(jì)算工具也同時(shí)介紹進(jìn)來(lái)。

 在傳入的數(shù)學(xué)中，影響最大的是《幾何原本》�！稁缀卧�本》是中國(guó)第一部數(shù)學(xué)翻譯著作，絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞都是首創(chuàng)，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認(rèn)為對(duì)它“不必疑”、“不必改”，“舉世無(wú)一人不當(dāng)學(xué)”�！稁缀卧�本》是明清兩代數(shù)學(xué)家必讀的數(shù)學(xué)書(shū)，對(duì)他們的研究工作頗有影響。

其次應(yīng)用最廣的是三角學(xué)，介紹西方三角學(xué)的著作有《大測(cè)》《割圓八線表》和《測(cè)量全義》�！洞鬁y(cè)》主要說(shuō)明三角八線(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性質(zhì)，造表方法和用表方法�！稖y(cè)量全義》除增加一些《大測(cè)》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角。所有這些，在當(dāng)時(shí)歷法工作中都是隨譯隨用的。

1646年，波蘭傳教士穆尼閣來(lái)華，跟隨他學(xué)習(xí)西方科學(xué)的有薛鳳柞、方中通等。穆尼閣去世后，薛鳳柞據(jù)其所學(xué)，編成《歷學(xué)會(huì)通》，想把中法西法融會(huì)貫通起來(lái)�！稓v學(xué)會(huì)通》中的數(shù)學(xué)內(nèi)容主要有比例對(duì)數(shù)表》《比例四線新表》和《三角算法》。前兩書(shū)是介紹英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾和布里格斯發(fā)明增修的對(duì)數(shù)。后一書(shū)除《崇禎歷書(shū)》介紹的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。方中通所著《數(shù)度衍》對(duì)對(duì)數(shù)理論進(jìn)行解釋。對(duì)數(shù)的傳入是十分重要，它在歷法計(jì)算中立即就得到應(yīng)用。

  清初學(xué)者研究中西數(shù)學(xué)有心得而著書(shū)傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》、梅文鼎《梅氏叢書(shū)輯要》(其中數(shù)學(xué)著作13種共40卷)、年希堯《視學(xué)》等。梅文鼎是集中西數(shù)學(xué)之大成者。他對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進(jìn)行整理和研究，使瀕于枯萎的明代數(shù)學(xué)出現(xiàn)了生機(jī)。年希堯的《視學(xué)》是中國(guó)第一部介紹西方透視學(xué)的著作。

 清康熙皇帝十分重視西方科學(xué)，他除了親自學(xué)習(xí)天文數(shù)學(xué)外，還培養(yǎng)了一些人才和翻譯了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙養(yǎng)齋匯編官，會(huì)同陳厚耀、何國(guó)宗、明安圖、楊道聲等編纂天文算法書(shū)。1721年完成《律歷淵源》100卷，以康熙“御定”的名義于1723年出版。其中《數(shù)理精蘊(yùn)》主要由梅彀成負(fù)責(zé)，分上下兩編，上編包括《幾何原本》、《算法原本》，均譯自法文著作；下編包括算術(shù)、代數(shù)、平面幾何平面三角、立體幾何等初等數(shù)學(xué)，附有素?cái)?shù)表、對(duì)數(shù)表和三角函數(shù)表。由于它是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)百科全書(shū)，并有康熙“御定”的名義，因此對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究有一定影響。

 綜上述可以看到，清代數(shù)學(xué)家對(duì)西方數(shù)學(xué)做了大量的會(huì)通工作，并取得許多獨(dú)創(chuàng)性的成果。這些成果，如和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)比較，是有進(jìn)步的，但和同時(shí)代的西方比較則明顯落后了。

雍正即位以后，對(duì)外閉關(guān)自守，導(dǎo)致西方科學(xué)停止輸入中國(guó)，對(duì)內(nèi)實(shí)行高壓政策，致使一般學(xué)者既不能接觸西方數(shù)學(xué)，又不敢過(guò)問(wèn)經(jīng)世致用之學(xué)，因而埋頭于究治古籍。乾嘉年間逐漸形成一個(gè)以考據(jù)學(xué)為主的乾嘉學(xué)派。

隨著《算經(jīng)十書(shū)》與宋元數(shù)學(xué)著作的收集與注釋?zhuān)�出現(xiàn)了一個(gè)研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的高潮。其中能突破舊有框框并有發(fā)明創(chuàng)造的有焦循、汪萊、李銳、李善蘭等。他們的工作，和宋元時(shí)代的代數(shù)學(xué)比較是青出于藍(lán)而勝于藍(lán)的；和西方代數(shù)學(xué)比較，在時(shí)間上晚了一些，但這些成果是在沒(méi)有受到西方近代數(shù)學(xué)的影響下獨(dú)立得到的。

與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)高潮的同時(shí)，阮元與李銳等編寫(xiě)了一部天文數(shù)學(xué)家傳記—《疇人傳》，收集了從黃帝時(shí)期到嘉慶四年已故的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家270余人(其中有數(shù)學(xué)著作傳世的不足50人)，和明末以來(lái)介紹西方天文數(shù)學(xué)的傳教士41人。這部著作全由“掇拾史書(shū)，荃萃群籍，甄而錄之”而成，收集的完全是第一手的原始資料，在學(xué)術(shù)界頗有影響。

1840年鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)以后，西方近代數(shù)學(xué)開(kāi)始傳入中國(guó)。首先是英人在上海設(shè)立墨海書(shū)館，介紹西方數(shù)學(xué)。第二次鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)后，曾國(guó)藩、李鴻章等官僚集團(tuán)開(kāi)展“洋務(wù)運(yùn)動(dòng)”，也主張介紹和學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)，組織翻譯了一批近代數(shù)學(xué)著作。

 其中較重要的有李善蘭與偉烈亞力翻譯的《代數(shù)學(xué)》《代微積拾級(jí)》；華蘅芳與英人傅蘭雅合譯的《代數(shù)術(shù)》《微積溯源》《決疑數(shù)學(xué)》；鄒立文與狄考文編譯的《形學(xué)備旨》《代數(shù)備旨》《筆算數(shù)學(xué)》；謝洪賚與潘慎文合譯的《代形合參》《八線備旨》等等。

 《代微積拾級(jí)》是中國(guó)第一部微積分學(xué)譯本；《代數(shù)學(xué)》是英國(guó)數(shù)學(xué)家德·摩根所著的符號(hào)代數(shù)學(xué)譯本；《決疑數(shù)學(xué)》是第一部概率論譯本。在這些譯著中，創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語(yǔ)，至今還在應(yīng)用，但所用數(shù)學(xué)符號(hào)一般已被淘汰了。戊戌變法以后，各地興辦新法學(xué)校，上述一些著作便成為主要教科書(shū)。

在翻譯西方數(shù)學(xué)著作的同時(shí)，中國(guó)學(xué)者也進(jìn)行一些研究，寫(xiě)出一些著作，較重要的有李善蘭的《尖錐變法解》《考數(shù)根法》；夏彎翔的《洞方術(shù)圖解》《致曲術(shù)》《致曲圖解》等等，都是會(huì)通中西學(xué)術(shù)思想的研究成果。

由于輸入的近代數(shù)學(xué)需要一個(gè)消化吸收的過(guò)程，加上清末統(tǒng)治者十分腐敗，在太平天國(guó)運(yùn)動(dòng)的沖擊下，在帝國(guó)主義列強(qiáng)的掠奪下，焦頭爛額，無(wú)暇顧及數(shù)學(xué)研究。直到1919年五四運(yùn)動(dòng)以后，中國(guó)近代數(shù)學(xué)的研究才真正開(kāi)始。