關于作者
一個畢業(yè)于北京大學數學力學系，在中國科學院計算所、計算中心和網絡中心工作過，在澳大利亞科工組織DMS、香港浸會學院數學系和中國21世紀議程管理中心等處工作過，多次獲國家和中科院科技獎并享受政府特殊津貼的退休老頭?，F在在【中國科普博覽】網“科學新語林”欄目里開設一個《數學與計算機》的個人專欄，愿和愛好數學與計算機的各界網友和青少年朋友，談談對數學與計算機的看法、想法。
計算機證明（4）
張建中
2013年05月22日
7. 費馬大定理的計算機證明及其啟示
1994年10月，美國普林斯頓大學數學教授安德魯 懷爾斯，證明了費馬大定理（Fermat's Last Theorem）。他的論文發(fā)表在1995年5月的《數學年刊》上。
費馬大定理看起來很簡單，容易理解，但要證明它卻難住了300多年來一代代杰出的數學家。
起初，數學家想重新找到費馬沒有寫出來的那個“美妙證法”，但是誰也沒有成功。著名數學家歐拉用無限下推法證明了方程 x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有正整數解。
因為任何一個大于2的整數，如果不是4的倍數，就一定是某一奇素數或它的倍數。因此，只要能證明n＝4以及n是任一奇素數時，方程都沒有正整數解，費馬大定理就完全證明了。n＝4的情形已經證明過，所以，問題就集中在證明n等于奇素數的情形了。
在歐拉證明了 n＝ 3， n＝ 4以后，1823年和1826年勒讓德和狄利克雷各自獨立證明了 n＝ 5的情形，1839年拉梅證明了 n＝ 7的情形。就這樣，一個一個奇素數證下去的長征便開始了。
其中，德國數學家?guī)炷瑺栕鞒隽酥匾暙I。他用近世代數的方法，引入了自己發(fā)明的“理想數”和“分圓數”的概念，指出費馬大定理只可能在n等于某些叫非正則素數值時，才有可能不正確，所以只需對這些數進行研究。這樣的數，在100以內，只有37、59、67三個。他還具體證明了當 n＝ 37、59、67時，方程Xn＋Yn＝Zn是不可能有正整數解的。這就把費馬大定理一下推進到n在100以內都是成立的。庫默爾“成批地”證明了定理的成立，人們視之為一次重大突破。1857年，他獲得巴黎科學院的金質獎章。
這一“長征”式的證法，雖然不斷地刷新著記錄，如 1992年更進到n＝1000000，但這不等于定理被證明?？磥?，需要另辟蹊徑。
經過前人的努力，證明費馬大定理取得了許多成果，但離定理的證明無疑還有遙遠的距離。怎么辦？看來必須要用一種新的方法，有的數學家用起了傳統(tǒng)的辦法——轉化問題。
人們把丟番圖方程的解與代數曲線上的某種點聯(lián)系起來，進行代數幾何問題間的轉化，而費馬問題不過是丟番圖方程的一個特例。在黎曼工作基礎上，1922年，英國數學家莫德爾提出一個重要的猜想：“設F（x，y）是兩個變數x、y的有理系數多項式，那么當曲線F（x，y）= 0的虧格大于1時，方程F（x，y）＝0至多只有有限組有理數”。1983年，德國29歲的數學家法爾廷斯運用蘇聯(lián)沙法拉維奇在代數幾何上的一系列結果證明了莫德爾猜想。這是費馬大定理證明中的又一次重大突破。法爾廷斯獲得了1986年的菲爾茲獎。
懷爾斯仍采用代數幾何的方法去攀登，他把別人的成果奇妙地聯(lián)系起來，并且吸取了走過這條道路攻克者的經驗教訓，注意到一條嶄新迂回的路徑：如果谷山——志村猜想成立，那么費馬大定理一定成立。這是1988年德國數學家費雷在研究日本數學家谷山——志村于1955年關于橢圓函數的一個猜想時發(fā)現的。
懷爾斯出生于英國牛津一個神學家庭，從小對費馬猜想十分好奇、感興趣，這條美妙的猜想導致他進入了數學的殿堂。大學畢業(yè)以后，他開始了幼年的幻想，決心去圓童年的夢。他極其秘密地進行費馬猜想的研究，守口如瓶，不透半點風聲。
窮七年的鍥而不舍，直到1993年6月23日。這天，英國劍橋大學牛頓數學研究所的大廳里正在進行例行的學術報告會。報告人懷爾斯將他的研究成果作了長達兩個半小時的發(fā)言。10點30分，在他結束報告時平靜地宣布：“因此，我證明了費馬大定理”。這句話像一聲驚雷，把許多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大廳時鴉雀無聲。半分鐘后，雷鳴般的掌聲似乎要掀翻大廳的屋頂。英國學者顧不得他們優(yōu)雅的紳士風度，忘情地歡騰著。
消息很快轟動了全世界。各種大眾傳媒紛紛報道，并稱之為“世紀性的成就”。人們認為，懷爾斯最終證明了費馬大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。可不久，傳媒又迅速地報出了一個“爆炸性”新聞：懷爾斯的長達200頁的論文送交審查時，卻被發(fā)現證明有漏洞。
懷爾斯在挫折面前沒有止步，他用一年多時間修改論文，補正漏洞。這時他已是“為伊消得人憔悴”，但他“衣帶漸寬終不悔”。1994年9月，他重新寫出一篇108頁的論文，寄往美國。論文順利通過審查，美國的《數學年刊》雜志于1995年5月發(fā)表了他的這一篇論文。懷爾斯因此獲得了1995～1996年度的沃爾夫數學獎。
經過 300多年的不斷奮戰(zhàn)，數學家們世代的努力，圍繞費馬大定理作出了許多重大的發(fā)現，并促進了一些數學分支的發(fā)展，尤其是代數數論的進展?，F代代數數論中的核心概念“理想數”，正是為了解決費馬大定理而提出的。難怪大數學家希爾伯特稱贊費馬大定理是“一只會下金蛋的母雞”。
安德魯 懷爾斯出生于英國劍橋，1963年他10歲。有一天他從學校漫步回家時，走進了路上的一家圖書館，被埃里克 坦普爾 貝爾寫的《大問題》一書吸引住了。這是懷爾斯第一次接觸到費馬猜想，他心中產生了征服這個數學難題的強烈愿望。
在以后的歲月中，他一直在為實現這個目的做準備。他修完了數學學士和博士學業(yè)，成為數學教授，加入職業(yè)數學家的行列。他廣泛吸收和潛心研究各種新的數學理論和方法，并綜合應用它們，克服一個又一個的挫折和困難，并最終戰(zhàn)勝了300多年來的挑戰(zhàn)，把費馬大定理的證明劃上了圓滿的句號，并由此推動了有關數學分支的發(fā)展。
從上面安德魯 懷爾斯證明費馬大定理的簡短敘述中，可以得到以下幾點啟示：
1、優(yōu)秀的科普書籍對人民群眾、特別是青少年有著巨大的影響。如果安德魯 懷爾斯沒有看到有關的科學著作，如果這些科學著作沒有以生動形象的手法通俗地介紹科學問題，則很難有安德魯 懷爾斯的成功。
2、要實現自己的理想，必須要腳踏實地地去學習，去奮斗。解決困擾世人幾百年的數學難題，沒有扎實的數學基礎，不了解所研究問題的來龍去脈，不掌握幾百年來人們對它研究取得的成功經驗和失敗教訓，不融匯貫通地應用各種數學理論和方法，是不可能取得成功的。安德魯 懷爾斯為實現自己10歲時的夢想，學習、奮斗了30多年，才最終得到成功。
3、研究和解決一些數學難題，會推動某些數學分支、甚至整個數學學科的發(fā)展。
1994年10月，美國普林斯頓大學數學教授安德魯 懷爾斯，證明了費馬大定理（Fermat's Last Theorem）。他的論文發(fā)表在1995年5月的《數學年刊》上。
英國數學家安德魯 懷爾斯（Andrew John Wiles）
費馬大定理源自法國人皮埃爾 德 費馬，是法國地方政府系統(tǒng)中的文職官員，又是業(yè)余數學愛好者。從職業(yè)上說，他是業(yè)余數學家；而從數學成就上說，他足以躋身于偉大專業(yè)數學家之列。
法國業(yè)余大數學家費馬（1601-1665）
費馬大定理，或稱費馬猜想（在未證明之前，通常稱之為猜想），得從直角三角形的勾股定理說起。學過平面幾何和三角的人都知道，直角三角形兩直角邊X、Y的平方之和等于其斜邊Z的平方，用代數式可表示為X2＋Y2＝Z2。勾股定理中的X、Y和Z有整數解，如32＋42＝52，并可證明這種X、Y和Z的組合有無限多個。但是，如果把上述公式中的指數2改為3，或更一般地，改為大于2的整數n，即Xn＋Yn＝Zn（ n>2 )，則不存在整數解X、Y和Z。這就是費馬大定理。1637年前后，費馬在他保存的《算術》一書的頁邊處寫道：“不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之和；總的來說，不可能將一個高于兩次的冪寫成兩個同樣次冪的和”。他又寫了一個附加評注：“我有一個對這命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下?！?費馬大定理看起來很簡單，容易理解，但要證明它卻難住了300多年來一代代杰出的數學家。
起初，數學家想重新找到費馬沒有寫出來的那個“美妙證法”，但是誰也沒有成功。著名數學家歐拉用無限下推法證明了方程 x3+y3=z3和x4+y4=z4不可能有正整數解。
因為任何一個大于2的整數，如果不是4的倍數，就一定是某一奇素數或它的倍數。因此，只要能證明n＝4以及n是任一奇素數時，方程都沒有正整數解，費馬大定理就完全證明了。n＝4的情形已經證明過，所以，問題就集中在證明n等于奇素數的情形了。
在歐拉證明了 n＝ 3， n＝ 4以后，1823年和1826年勒讓德和狄利克雷各自獨立證明了 n＝ 5的情形，1839年拉梅證明了 n＝ 7的情形。就這樣，一個一個奇素數證下去的長征便開始了。
其中，德國數學家?guī)炷瑺栕鞒隽酥匾暙I。他用近世代數的方法，引入了自己發(fā)明的“理想數”和“分圓數”的概念，指出費馬大定理只可能在n等于某些叫非正則素數值時，才有可能不正確，所以只需對這些數進行研究。這樣的數，在100以內，只有37、59、67三個。他還具體證明了當 n＝ 37、59、67時，方程Xn＋Yn＝Zn是不可能有正整數解的。這就把費馬大定理一下推進到n在100以內都是成立的。庫默爾“成批地”證明了定理的成立，人們視之為一次重大突破。1857年，他獲得巴黎科學院的金質獎章。
這一“長征”式的證法，雖然不斷地刷新著記錄，如 1992年更進到n＝1000000，但這不等于定理被證明?？磥?，需要另辟蹊徑。
經過前人的努力，證明費馬大定理取得了許多成果，但離定理的證明無疑還有遙遠的距離。怎么辦？看來必須要用一種新的方法，有的數學家用起了傳統(tǒng)的辦法——轉化問題。
人們把丟番圖方程的解與代數曲線上的某種點聯(lián)系起來，進行代數幾何問題間的轉化，而費馬問題不過是丟番圖方程的一個特例。在黎曼工作基礎上，1922年，英國數學家莫德爾提出一個重要的猜想：“設F（x，y）是兩個變數x、y的有理系數多項式，那么當曲線F（x，y）= 0的虧格大于1時，方程F（x，y）＝0至多只有有限組有理數”。1983年，德國29歲的數學家法爾廷斯運用蘇聯(lián)沙法拉維奇在代數幾何上的一系列結果證明了莫德爾猜想。這是費馬大定理證明中的又一次重大突破。法爾廷斯獲得了1986年的菲爾茲獎。
懷爾斯仍采用代數幾何的方法去攀登，他把別人的成果奇妙地聯(lián)系起來，并且吸取了走過這條道路攻克者的經驗教訓，注意到一條嶄新迂回的路徑：如果谷山——志村猜想成立，那么費馬大定理一定成立。這是1988年德國數學家費雷在研究日本數學家谷山——志村于1955年關于橢圓函數的一個猜想時發(fā)現的。
懷爾斯出生于英國牛津一個神學家庭，從小對費馬猜想十分好奇、感興趣，這條美妙的猜想導致他進入了數學的殿堂。大學畢業(yè)以后，他開始了幼年的幻想，決心去圓童年的夢。他極其秘密地進行費馬猜想的研究，守口如瓶，不透半點風聲。
窮七年的鍥而不舍，直到1993年6月23日。這天，英國劍橋大學牛頓數學研究所的大廳里正在進行例行的學術報告會。報告人懷爾斯將他的研究成果作了長達兩個半小時的發(fā)言。10點30分，在他結束報告時平靜地宣布：“因此，我證明了費馬大定理”。這句話像一聲驚雷，把許多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大廳時鴉雀無聲。半分鐘后，雷鳴般的掌聲似乎要掀翻大廳的屋頂。英國學者顧不得他們優(yōu)雅的紳士風度，忘情地歡騰著。
消息很快轟動了全世界。各種大眾傳媒紛紛報道，并稱之為“世紀性的成就”。人們認為，懷爾斯最終證明了費馬大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。可不久，傳媒又迅速地報出了一個“爆炸性”新聞：懷爾斯的長達200頁的論文送交審查時，卻被發(fā)現證明有漏洞。
懷爾斯在挫折面前沒有止步，他用一年多時間修改論文，補正漏洞。這時他已是“為伊消得人憔悴”，但他“衣帶漸寬終不悔”。1994年9月，他重新寫出一篇108頁的論文，寄往美國。論文順利通過審查，美國的《數學年刊》雜志于1995年5月發(fā)表了他的這一篇論文。懷爾斯因此獲得了1995～1996年度的沃爾夫數學獎。
經過 300多年的不斷奮戰(zhàn)，數學家們世代的努力，圍繞費馬大定理作出了許多重大的發(fā)現，并促進了一些數學分支的發(fā)展，尤其是代數數論的進展?，F代代數數論中的核心概念“理想數”，正是為了解決費馬大定理而提出的。難怪大數學家希爾伯特稱贊費馬大定理是“一只會下金蛋的母雞”。
安德魯 懷爾斯出生于英國劍橋，1963年他10歲。有一天他從學校漫步回家時，走進了路上的一家圖書館，被埃里克 坦普爾 貝爾寫的《大問題》一書吸引住了。這是懷爾斯第一次接觸到費馬猜想，他心中產生了征服這個數學難題的強烈愿望。
在以后的歲月中，他一直在為實現這個目的做準備。他修完了數學學士和博士學業(yè)，成為數學教授，加入職業(yè)數學家的行列。他廣泛吸收和潛心研究各種新的數學理論和方法，并綜合應用它們，克服一個又一個的挫折和困難，并最終戰(zhàn)勝了300多年來的挑戰(zhàn)，把費馬大定理的證明劃上了圓滿的句號，并由此推動了有關數學分支的發(fā)展。
從上面安德魯 懷爾斯證明費馬大定理的簡短敘述中，可以得到以下幾點啟示：
1、優(yōu)秀的科普書籍對人民群眾、特別是青少年有著巨大的影響。如果安德魯 懷爾斯沒有看到有關的科學著作，如果這些科學著作沒有以生動形象的手法通俗地介紹科學問題，則很難有安德魯 懷爾斯的成功。
2、要實現自己的理想，必須要腳踏實地地去學習，去奮斗。解決困擾世人幾百年的數學難題，沒有扎實的數學基礎，不了解所研究問題的來龍去脈，不掌握幾百年來人們對它研究取得的成功經驗和失敗教訓，不融匯貫通地應用各種數學理論和方法，是不可能取得成功的。安德魯 懷爾斯為實現自己10歲時的夢想，學習、奮斗了30多年，才最終得到成功。
3、研究和解決一些數學難題，會推動某些數學分支、甚至整個數學學科的發(fā)展。