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數(shù)學(xué)技術(shù)在現(xiàn)實(shí)中怎么用？
張建中
2015年10月19日數(shù)學(xué)技術(shù)之模型篇（1）
1.？數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)模型
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中不涉及具體物性的數(shù)與形、結(jié)構(gòu)的模式和體系的科學(xué)，在它產(chǎn)生和發(fā)展的過程中，一直是和各種各樣的應(yīng)用問題緊密相聯(lián)的；數(shù)學(xué)的特點(diǎn)不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性、結(jié)論的明確性和體系的完整性，而最重要的是它應(yīng)用的廣泛性。自20世紀(jì)四十年代以來，隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和計(jì)算機(jī)的日益普及，人們對(duì)各種問題的要求越來越精確，使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛和深入，特別是在21世紀(jì)這個(gè)數(shù)字信息時(shí)代、知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，數(shù)學(xué)科學(xué)的地位發(fā)生了巨大的變化，它正在從國(guó)家經(jīng)濟(jì)和科技的后備走到了前沿。經(jīng)濟(jì)發(fā)展的全球化、計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展、數(shù)學(xué)理論與方法的不斷擴(kuò)充，使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)代高科技的一個(gè)重要組成部分和思想庫(kù)，已經(jīng)成為一種能夠普遍實(shí)施的技術(shù)。高技術(shù)實(shí)質(zhì)上變?yōu)橐环N數(shù)學(xué)技術(shù)。
所謂數(shù)學(xué)技術(shù)，是指把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并用計(jì)算機(jī)加以解決或用數(shù)學(xué)理論定性、定量地加以研究，得出現(xiàn)實(shí)問題的定量結(jié)論或重要性質(zhì)。數(shù)學(xué)應(yīng)用不僅在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、經(jīng)濟(jì)、管理、金融、人口、交通等諸多新領(lǐng)域滲透，所以數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為當(dāng)代高新技術(shù)的重要組成部分。
當(dāng)人們需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，這就是數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）。
數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)表述；具體一點(diǎn)說，數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為某種目的的一個(gè)抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；更確切地一點(diǎn)說，數(shù)學(xué)模型就是對(duì)于一個(gè)特定的對(duì)象，為了一個(gè)特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式，算法、表格、圖示和計(jì)算機(jī)軟件等。
數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象的概括性的產(chǎn)物，其原型可以是具體的事物、研討的對(duì)象及其性質(zhì)、關(guān)系，也可以是數(shù)學(xué)對(duì)象及其性質(zhì)、關(guān)系。數(shù)學(xué)模型有廣義和狹義兩種解釋。廣義地說，數(shù)學(xué)概念，如數(shù)、集合、向量、方程都可稱為數(shù)學(xué)模型；狹義地說，只有反映特定問題和特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)方能稱為數(shù)學(xué)模型。
數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中某一類特殊的運(yùn)動(dòng)變化過程、關(guān)系的一種抽象性、模擬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是現(xiàn)實(shí)模型理想化的一種科學(xué)的抽象過程。建立數(shù)學(xué)模型的過程，就是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。通過調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)資料，觀察和分析實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)理論和計(jì)算機(jī)上的數(shù)學(xué)方法去計(jì)算、分折和解決。這需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對(duì)實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博的知識(shí)。數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的主要途徑。數(shù)學(xué)建模在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的重要作用越來越受到數(shù)學(xué)界和工程界的廣泛重視，建模已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之—。不論是用數(shù)學(xué)方法在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域解決哪類實(shí)際問題，還是與其它學(xué)科相結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步是建立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，并加以計(jì)算求解。數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)技術(shù)在知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的作用愈來愈重要，如虎添翼，甚至能起到關(guān)鍵的、決定性的作用。
2.？數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)
眾所周知，數(shù)學(xué)模型是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的一種重要手段，有許多優(yōu)點(diǎn)，但也有不少不盡人意的地方。建模需要相當(dāng)深厚的知識(shí)、豐富的經(jīng)驗(yàn)和諸多方面的技能，同時(shí)還應(yīng)能掌握分寸和一定的變通能力，采取多方面的折衷和選擇。下面歸納出數(shù)學(xué)模型的若干特點(diǎn)，以期在建模實(shí)踐過程中逐步加深領(lǐng)會(huì)與融匯貫通，從學(xué)會(huì)建模到善于建模。
模型的逼真性和可行性 ？一般說來總是希望研制出的數(shù)學(xué)模型盡可能逼近研究的對(duì)象，但是一個(gè)非常逼真的模型在數(shù)學(xué)上常常是難于處理的，因而不容易達(dá)到通過建模對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象進(jìn)行分析、預(yù)報(bào)、決策或者控制的目的，即實(shí)用上不可行，缺乏可用性。另一方面，越逼真的模型常常越復(fù)雜，即使數(shù)學(xué)上能處理，這樣的模型應(yīng)用時(shí)所需要的“費(fèi)用”也相當(dāng)高，而高“費(fèi)用”不一定與復(fù)雜模型取得的“效益”相匹配。所以建模時(shí)往往需要在模型的逼真性與可行性，“費(fèi)用”與“效益”之間做出適當(dāng)折衷和舍選。
模型的漸進(jìn)性？ 稍微復(fù)雜一些的實(shí)際問題的建模通常不可能一次成功，要經(jīng)過建模過程的反復(fù)和多次迭代。這里既包括由簡(jiǎn)到繁，也包括刪繁就簡(jiǎn)，以獲得越來越滿意的可用模型。
模型的健壯性 ？模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)常常是由對(duì)象的信息如觀測(cè)數(shù)據(jù)等確定的，而觀測(cè)數(shù)據(jù)是有誤差的。一個(gè)好的模型應(yīng)具有健壯性：當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)(或其他相關(guān)信息)有微小變動(dòng)時(shí)，模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)只能相應(yīng)有些微小變化，并導(dǎo)致模型求解的結(jié)果也只能有相應(yīng)的微小變化。
模型的條理性？ 從建模的角度考慮問題可以促使人們對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的分析更全面、更深入、更具條理性，這樣即使建立的模型由于種種原因雖尚未達(dá)到實(shí)用的程度，但對(duì)問題的研究既有補(bǔ)充又有效益。
模型的技藝性？ 建模的方法與其他一些數(shù)學(xué)方法如方程解法、規(guī)劃解法等是根本不同的，無法歸納出若干條普遍適用的建模準(zhǔn)則和技巧。有人說。建模與其說是一門技術(shù)、不如說是一種藝術(shù)，具有很強(qiáng)的技藝性及技巧。經(jīng)驗(yàn)、想象力、洞察力、判斷力以及直覺、靈感等在建模過程中起的作用往往比一些具體的數(shù)學(xué)知識(shí)更大。
模型的非預(yù)制性？ 雖然已經(jīng)發(fā)展了許多應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)模型，但是實(shí)際問題是各種各樣、千變?nèi)f化的，不可能要求把各種模型做成預(yù)制品供你在建模時(shí)使用。模型的這種非預(yù)制性使得建模本身常常是事先沒有答案的問題，在建立新的模型的過程中甚至?xí)殡S著新的數(shù)學(xué)方法或概念的產(chǎn)生。
模型的可轉(zhuǎn)移性？ 模型是現(xiàn)實(shí)對(duì)象抽象化、理想化的產(chǎn)物，它不為對(duì)象的所屬領(lǐng)域所獨(dú)有，可以轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域。在生態(tài)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等領(lǐng)域內(nèi)建模就常常借用物理領(lǐng)域中的模型。模型的這種性質(zhì)顯示了它的應(yīng)用廣泛性。
模型的局限性？ 這有幾方面的含義：① 由數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)論雖然具有通用性和精確性，但是因?yàn)槟Ｐ褪乾F(xiàn)實(shí)對(duì)象簡(jiǎn)化、理想化的產(chǎn)物，所以一旦將模型的結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際問題，就回到了現(xiàn)實(shí)世界，那些被忽視、簡(jiǎn)化的因素必須考慮，于是結(jié)論的通用性和精確性只是相對(duì)的和近似的；② 由于人們認(rèn)識(shí)能力和科學(xué)技術(shù)包括數(shù)學(xué)本身發(fā)展水平的限制，還有不少實(shí)際問題很難得到有著實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型，如一些內(nèi)部機(jī)理復(fù)雜、影響因素眾多、測(cè)量手段不夠完善、技藝性較強(qiáng)的生產(chǎn)過程；③ 還有些領(lǐng)域中的問題今天尚未發(fā)展到用建模方法尋求數(shù)量規(guī)律的階段，如中醫(yī)診斷過程、人腦的思維過程等。
建模過程是一種創(chuàng)造性思維過程，除了想象、洞察、判斷這些屬于形象思維、邏輯思維范疇的能力之外，直覺和靈感往往也起著不可忽視的作用。當(dāng)由于各種限制利用已有知識(shí)難以對(duì)研究對(duì)象做出有效的推理和判斷時(shí)，憑借相似、類比、猜測(cè)、外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、不嚴(yán)密的、帶啟發(fā)性的直覺和靈感，去戰(zhàn)略性地認(rèn)識(shí)對(duì)象，是人類創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)之一，也是人腦比按程序邏輯工作的計(jì)算機(jī)、機(jī)器人的高明之處。歷史上不乏在科學(xué)家的直覺和靈感的火花中誕生的假說、論證和定律。當(dāng)然，直覺和靈感不是憑空產(chǎn)生的，它要求人們具有豐富的背景知識(shí)，對(duì)問題進(jìn)行反復(fù)思考和艱苦探索，對(duì)各種思維方法嫻熟運(yùn)用。
建?？煽闯梢婚T藝術(shù)。藝術(shù)在某種意義下是無法歸納出幾條準(zhǔn)則或方法的。一位出色的藝術(shù)家需要大量的觀摩和前輩的指教，更需要親身的實(shí)踐。類似地，掌握建模這門藝術(shù)培養(yǎng)想象力和洞察力，一要大量閱讀、思考別人做過的模型，二要親自動(dòng)手，認(rèn)真多做幾個(gè)實(shí)際項(xiàng)目以積累知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。
？3.？數(shù)學(xué)模型的分類
利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題時(shí)，首先要把實(shí)際事物之間的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)形式，就是所謂建立數(shù)學(xué)模型。對(duì)建成的數(shù)學(xué)模型，可以根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)和需要進(jìn)行分類，以便研究和應(yīng)用。下面給出一些根據(jù)不同領(lǐng)域、標(biāo)準(zhǔn)和方法對(duì)模型進(jìn)行分類。按模型應(yīng)用的技術(shù)領(lǐng)域分類，有工業(yè)數(shù)學(xué)模型，農(nóng)業(yè)數(shù)學(xué)模型，氣象數(shù)學(xué)模型，海洋數(shù)學(xué)模型和經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型等。
按模型應(yīng)用的學(xué)科領(lǐng)域分類，有生物數(shù)學(xué)模型，醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型，地質(zhì)數(shù)學(xué)模型，數(shù)量經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型等。
按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類，有代數(shù)模型、幾何模型，微分方程模型，圖論模型，規(guī)劃模型，隨機(jī)過程模型等。
按是否考慮模型的時(shí)態(tài)變化分類，有靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型。
按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法分類，有離散模型和連續(xù)模型。
按是否考慮隨機(jī)因素分類，有確定性數(shù)學(xué)模型和隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型。
按模型中參數(shù)的性質(zhì)分類，有參數(shù)與非參數(shù)模型。
按模型中變量間的關(guān)系分類，有線性和非線性模型。
按人們對(duì)事物發(fā)展過程的認(rèn)識(shí)和了解的程度分類，有白箱模型，灰箱模型和黑箱模型：白箱模型：指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型，如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問題的數(shù)學(xué)模型；
灰箱模型：指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面還在不同程度上有許多工作要做的問題，如氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型；
黑箱模型：指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等方面的問題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡(jiǎn)化為灰箱模型來研究。
顯然，對(duì)不同類型的問題，根據(jù)要求，需要構(gòu)造不同類型的模型。對(duì)同一個(gè)問題，還可構(gòu)造多個(gè)不同的模型，經(jīng)過分析、對(duì)比和取舍及計(jì)算機(jī)上的模擬計(jì)算試驗(yàn)，才能找到真正可用和滿足要求的數(shù)學(xué)模型。