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一個畢業(yè)于北京大學數學力學系，在中國科學院計算所、計算中心和網絡中心工作過，在澳大利亞科工組織DMS、香港浸會學院數學系和中國21世紀議程管理中心等處工作過，多次獲國家和中科院科技獎并享受政府特殊津貼的退休老頭?，F(xiàn)在在【中國科普博覽】網“科學新語林”欄目里開設一個《數學與計算機》的個人專欄，愿和愛好數學與計算機的各界網友和青少年朋友，談談對數學與計算機的看法、想法。
數學建模是怎么回事兒？
張建中
2015年11月02日數學技術之模型篇（2）
4. 數學建模概述
隨著科學技術的迅速發(fā)展，數學己經滲透到從自然科學、工程技術、工農業(yè)生產，到社會科學、經濟活動等社會生活的各個領域。一般說來，當實際問題需要我們對所研究的現(xiàn)實對象提供分析、預報、決策、控制等方面的定量結果時，往往都離不開數學技術及為此建立的各種各樣的數學模型，這構成數學應用中的一個關鍵環(huán)節(jié)。數學模型是一種模擬，是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際問題本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃，或用于解釋某些客觀現(xiàn)象，或用于預測未來的發(fā)展規(guī)律，或用于控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。數學模型一般并非現(xiàn)實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數學知識和相關的經驗及學科知識。這種應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型及其分析、對比、驗證和應用等的過全程就稱為數學建模（Mathematical Modeling）。
數學模型是對各種實際問題嚴密化、精確化、科學化的途徑，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索真理的工具。數學模型的應用，因社會生活的各個方面正在日益數量化，人們對各種問題的要求愈來愈精確而被廣泛采用；計算機的迅速發(fā)展和普及，為精確化提供了條件；很多無法實驗或費用很高的實驗問題，用數學模型進行研究是一個有效的途徑；因而使數學模型在各個領域的應用會愈來愈廣泛，愈來愈深入，使人們過去廣泛認為的理論數學，經過數學模型變成了使用廣泛并為大家普遍認可的數學技術。
數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并求解實際問題的一種強有力的數學手段。
數學建模，就是把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題的應用過程。數學建模和其它數學分支相比，具有難度大、涉及面廣、形式靈活、要求較高等特點。但如何建立和解決豐富多彩、極其復雜的實際問題的數學模型及其建模，很難給出一個普遍的原則。
在建模過程中，不得不把那些對問題影響甚微的因素忽略掉，不然所得的模型因數學結構太復雜、變量過多而失去數學上的可解性；但也不能把比較重要的相關因素忽略掉，否則所得的模型因為不能足夠反映實際情況而失去可靠性?？山庑院涂煽啃酝瑫r具佳的數學模型是罕見的，一般我們總是在可解性的前提下，力爭滿意度較高的、可靠性較強的數學模型。
數學建模的過程，也是培養(yǎng)和提高我們工作能力的過程。通過數學建模，可以提高我們對問題的洞察能力，數學語言的解釋能力，綜合應用的分析能力和各種當代科技最新成果的使用能力。
同一個實際問題，可以建立多個不同的數學模型。事實上，被我們研究的實際問題好比是一個“黑匣子”，要用到各種方法、從各種不同的角度去觀察、探討它的秘密。有時，建模就像摸著石頭過河一樣，邊干邊學、邊驗證邊修改，邊改進邊完善。數學模型的建立需要有創(chuàng)造性、想象力甚至一定的藝術修養(yǎng)，必須接受實踐的檢驗，有時需要多次反復修正，才能得到一個可用的、達到精度要求的模型。
5. 建模的要求和原則
建模的基本要求有：1、真實完整。
1）具真實性，即模型能真實的、系統(tǒng)的、完整的反映所研究的客觀事物；
2）具代表性，即在一定領域內可代表其中的很大的一類問題；
3）具完整性，即模型必須完整反映所研究的客觀事物，與實際情況基本吻合；
4）具外推性，即能得到原型事物向前發(fā)展時所表現(xiàn)的一些新情況。
2、簡明實用。
在建模過程中，要把本質的東西及其關系反映進去，把非本質的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉，使模型在保證一定精確度的條件下，盡可能的簡單和可操作，所用數據易于采集和匯總。
3、適應變化。
隨著有關條件的變化和人們認識的發(fā)展，模型應能通過相關變量及參數的調整，能很好的適應新情況。
建模的基本原則有：
1、簡化性原則？？ 現(xiàn)實世界的原型都是多因素、多變量、多層次和非線性的比較復雜的系統(tǒng)，建模中既要抓住原型的主要矛盾，又能對原型進行一定的簡化。數學模型應比原型簡化，自身應是“最簡單”的。
2、可推導原則？？ 通過數學模型的研究和計算可以推導出一些確定的結果。如果建立的數學模型在數學上是不可推導的或不可計算的，得不到確定的可以應用于原型的結果，這個數學模型是無意義的。
3、反映性原則？？ 數學模型實際上是人對現(xiàn)實世界的一種反映形式，因此數學模型和現(xiàn)實世界的原型就應有一定的“相似性”，抓住與原型相似的數學表達式或數學理論是建立數學模型的關鍵性技巧。
4、漸進性原則？？ 稍微復雜的一些實際問題的建模通常不可能一次成功，往往要反復多次修改、完善，才能得到可用的模型。
5、方法的不統(tǒng)一性原則？？？ 對同一問題，因建模個人的特長和偏好等方面的差別，所采取的方法可以不同，使用近代數學方法建立的模型不一定就比采用初等數學方法建立的模型好，因為我們建模的目的是為了解決實際問題。
6、結果的不唯一性原則？？？ 數學建模的結果無所謂“對”與“錯”，但卻有“優(yōu)”與“劣”的區(qū)別，因而并不唯一。評價一個模型優(yōu)劣的唯一標準就是通過實踐檢驗，是否有助于實際問題的解決。
建?？煽闯梢婚T藝術。藝術在某種意義下是無法歸納出幾條基本要求、幾個基本原則或幾種方法的。一名出色的藝術家需要大量的觀摩和前輩的指教，更需要親身的實踐。類似地，掌握建模這門藝術、培養(yǎng)想象力和洞察力，一要大量閱讀、思考別人做過的模型，二要親自動手，認真多做幾個實際項目以積累知識和經驗。
6. 三類數學建模方法
世界事物千變萬化，其數學模型和建模方法自然也是豐富多彩、千變萬化。這里只能掛一漏萬，給出幾個有一定代表性建模方法。一、機理分析法
從基本物理定律以及系統(tǒng)的結構數據導出數學模型。
1. 比例分析法——建立變量之間函數關系，是建模中最基本最常用的方法；
2. 代數方法——求解離散問題（離散的數據、符號、圖形）的主要方法；
3. 邏輯方法——用數學理論研究的重要方法，對社會學和經濟學等領域的實際問題，在決策、對策等學科中得到廣泛應用；
4. 常微分方程方法——解決兩個變量之間的變化規(guī)律，建立“瞬時變化率”的表達式；
5. 偏微分方程方法——解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規(guī)律。
二、數據分析法
從海量觀測數據中利用數據處理、統(tǒng)計分析方法建立數學模型，其中常用的方法有：
1. 回歸分析法——用于對函數y = f（x1, x2,…,xm）的一組觀測值（xi1, xi2，…，xim；yi）（i=1，2，…，n>m），確定函數的表達式，又稱曲線或曲面擬合法；
2. 數據分類法——對海量已分類數據或未分類數據，構造判別模型或聚類模型進行分類的問題；
3. 時序分析法——處理動態(tài)相關數據，又稱過程統(tǒng)計方法。
三、模擬和其他方法
1. 計算機模擬——對所研究的對象構造隨機模型，進行統(tǒng)計模擬實驗，以求得研究對象所需的結果；
2. 因子試驗法——在系統(tǒng)上作局部試驗，再根據試驗結果進行不斷分析修改，求得所需的模型結構；
3. 人工現(xiàn)實法——基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達到的目標，并考慮到系統(tǒng)有關因素的可能變化，人為地組成一個系統(tǒng)。