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數(shù)學(xué)技術(shù)之模型篇（3）

7. 數(shù)學(xué)建模的過程

數(shù)學(xué)建模要經(jīng)過哪些步驟、怎樣的過程，并沒有一個確定不變的模式，通常與實(shí)際問題的性質(zhì)、建模的目的及如何使用等有關(guān)。在多數(shù)情況下，當(dāng)一個實(shí)際問題提出之后，對其進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的一般過程可分如下幾步并可用下面的實(shí)際問題建模示意圖表示。

從上面的示意圖中不難看出，計算機(jī)是數(shù)學(xué)建模中的一個重要工具，可以模擬出建模所需要的“理想狀態(tài)”，為模型求解提供直觀的背景。此外，還可以通過計算機(jī)編程，在計算機(jī)上調(diào)整模型參數(shù)，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)建模更加適用和豐富多彩。
下面，對其中的有些過程做進(jìn)一步的說明：
問題調(diào)研？ 了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的，搜集建模必需的各種信息，如現(xiàn)象、各種關(guān)系和相關(guān)數(shù)據(jù)等。
模型準(zhǔn)備？ 分析、掌握系統(tǒng)的各種信息，弄清楚問題的特征，用數(shù)學(xué)語言描述問題，由此初步確定用哪一類模型，做好建模的準(zhǔn)備工作。
模型假設(shè)？ 根據(jù)對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設(shè)，可以說是建模的關(guān)鍵一步。一般來說，一個實(shí)際問題不經(jīng)過簡化假設(shè)就很難翻譯成數(shù)學(xué)問題，即使可能，也很難求解。不同的簡化假設(shè)會得到不同的模型。做的假設(shè)不合理或過分簡單，會導(dǎo)致模型失真或部分失敗，于是應(yīng)該修改和補(bǔ)充假設(shè)；假設(shè)做得過細(xì)，試圖把復(fù)雜對象的各方面因素都考慮進(jìn)去，主次不分，可能很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作。做假設(shè)時要善于抓住主要因素，舍棄次要因素。寫出假設(shè)時，語言要精煉，就像做數(shù)學(xué)習(xí)題時那樣，寫出已知條件。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)工具刻畫變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系。
模型建立？ 根據(jù)所作的假設(shè)，分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個常量和變量之間的等式及不等式的關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建立模型。這里除需要一些相關(guān)學(xué)科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科方面的知識，以開闊思路。建模時還應(yīng)注意，盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，以便能讓更多的人了解和使用。
模型求解？ 可以采用解方程、劃圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計算機(jī)技術(shù)，選用算法研制程序，對模型進(jìn)行計算，以求得到可用的數(shù)值結(jié)果。這是建模中最困難、最重要的一步。
模型分析？ 對模型解答進(jìn)行分析，對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)驗(yàn)證和數(shù)據(jù)對比。有時要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時根據(jù)所得的結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報，有時則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制。不論哪一種情況，常常需要進(jìn)行誤差分析，模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和靈敏性分析等處理。
模型檢驗(yàn)？ 把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果返回到實(shí)際問題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、量測數(shù)據(jù)與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)果如果不符合或者部分不符合實(shí)際，問題常常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充，重新建模。有些模型要經(jīng)過數(shù)次反復(fù)修改、不斷完善，直到檢驗(yàn)結(jié)果獲得某種程度上的滿意為止。
模型應(yīng)用？ 把所建模型用于實(shí)際問題，其方式、方法自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的及其應(yīng)用。如果模型與實(shí)際問題的吻合度較差，不能滿足實(shí)際問題的要求，或修改假設(shè)，重新建模；或經(jīng)論證認(rèn)為建模不可行，停止建模，另選它法。

應(yīng)當(dāng)指出，并不是所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那么分明，順序也不是不可改變。建模時不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班，而應(yīng)采取了靈活多變的方式方法，以求得到最佳的結(jié)果。

另外還需要說明的是，解數(shù)學(xué)問題往往會有一個惟一正確的答案，但數(shù)學(xué)建模可沒有惟一正確的答案，因?yàn)閿?shù)學(xué)建模只是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的一種重要手段，對同一個實(shí)際問題可能由于考慮的因素不同，所使用的數(shù)學(xué)知識和方法不同，就會建立起若干個不同的模型，這就會有好幾個近而不同的“答案”，因此模型無“對、錯”之分，但卻有“優(yōu)、劣”之別。

8. 數(shù)學(xué)建模的意義

數(shù)學(xué)模型一般是實(shí)際事物的一種數(shù)學(xué)簡化，常常是以某種意義上接近實(shí)際事物的抽象形式出現(xiàn)的，但它和真實(shí)的事物還是有著本質(zhì)的不同。為了使描述更具科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言來描述各種現(xiàn)象。有時候我們需要做一些實(shí)驗(yàn)，但這些實(shí)驗(yàn)往往用抽象出來了的數(shù)學(xué)模型作為實(shí)際物體的代替而進(jìn)行的相應(yīng)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)本身也是實(shí)際操作的一種理論替代。
用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際問題時，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法及計算機(jī)上的數(shù)值計算去分析和解決問題。這就需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。所以，可以這樣直觀地理解數(shù)學(xué)建模的意義：數(shù)學(xué)建模是讓只知道研究數(shù)學(xué)而不管數(shù)學(xué)應(yīng)用的理論數(shù)學(xué)家變成物理學(xué)家，生物學(xué)家，經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至心理學(xué)家等等的過程。
數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)理論轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)技術(shù)的主要途徑，通過數(shù)學(xué)建模把數(shù)學(xué)理論發(fā)展成為數(shù)學(xué)技術(shù)。所以，數(shù)學(xué)建模在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的重要作用越來越受到數(shù)學(xué)界和工程界的普遍重視，它已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之一。
數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并"解決"實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。這里的實(shí)際現(xiàn)象既包涵具體的自然現(xiàn)象比如自由落體，也包括抽象的現(xiàn)象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài)，內(nèi)在機(jī)制的描述，也包括預(yù)測、試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容。
數(shù)學(xué)建模需要多種能力，其中重要的包括：1、數(shù)學(xué)思維的能力；2、分析問題本質(zhì)的能力；3、資料檢索和快速獲取信息的能力；4、計算機(jī)上的編程能力和常用數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用能力等。數(shù)學(xué)建模帶給我的是現(xiàn)況的指示，發(fā)散性思維，各種研究方法和手段。
進(jìn)入21世紀(jì)以來，隨著數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透，以及巨型計算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模越來越受到人們的重視，可以從以下幾方面來看數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際意義。
（1）在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍大有用武之地
在以聲、光、熱、力、電等物理學(xué)科為基礎(chǔ)的諸如機(jī)械、電子、土木、水利等工程技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模的普遍性和重要性不言而喻，雖然這里的基本模型是已有的，但是由于新技術(shù)、新工藝的不斷涌現(xiàn)，問題規(guī)模擴(kuò)大、精度提高，提出了許多需要用數(shù)學(xué)方法解決的新問題；高速、大型計算機(jī)的飛速發(fā)展，使得過去即便有了數(shù)學(xué)模型也無法求解的課題，如大型水壩的應(yīng)力計算，大型飛機(jī)研制、中長期天氣預(yù)報等，迎刃而解；建立在數(shù)學(xué)模型、計算機(jī)模擬和大數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的諸多高新技術(shù)，以其快速、經(jīng)濟(jì)、方便等優(yōu)勢，大量地替代了傳統(tǒng)工程設(shè)計中的現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)、物理模擬等手段。
(2）在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具
無論是發(fā)展通訊、航天、微電子、自動化等高新技術(shù)本身，還是將高新技術(shù)用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開發(fā)新產(chǎn)品，計算機(jī)技術(shù)支持下的建模和模擬都是經(jīng)常使用的有效手段。數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計算和計算機(jī)圖形學(xué)等相結(jié)合形成的計算機(jī)軟件，已經(jīng)固化于產(chǎn)品中，在許多高新技術(shù)領(lǐng)域起著核心作用，被認(rèn)為是高新技術(shù)的特征之一。在這個意義上，數(shù)學(xué)不再僅僅作為一門科學(xué)，也是許多高新技術(shù)的基礎(chǔ)，而且從后臺直接走到了技術(shù)的前臺。多數(shù)高新技術(shù)產(chǎn)品、特別是軍工產(chǎn)品的保密或禁運(yùn)，多不在硬件，而是含有數(shù)學(xué)技術(shù)的軟件支持系統(tǒng)。
（3）數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地
隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟(jì)、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透，一些交叉學(xué)科如計量經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等應(yīng)運(yùn)而生。對一些不存在作為支配關(guān)系的物理定律學(xué)科，當(dāng)用數(shù)學(xué)方法研究這些領(lǐng)域中的定量關(guān)系時，數(shù)學(xué)建模就成為首要的、關(guān)鍵的步驟和這些學(xué)科發(fā)展與應(yīng)用的基礎(chǔ)。在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當(dāng)大，為數(shù)學(xué)建模提供了廣闊的新天地。展望未來，數(shù)學(xué)必將大踏步地進(jìn)入所有學(xué)科，數(shù)學(xué)建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時期。
（4）數(shù)學(xué)建模的過程，是培養(yǎng)和提高我們工作能力的過程，改善產(chǎn)品質(zhì)量和提高產(chǎn)品精度的過程
通過數(shù)學(xué)建模，可以提高我們對問題的洞察能力，數(shù)學(xué)語言的解釋能力，綜合應(yīng)用的分析能力和各種當(dāng)代科技最新成果的使用能力；數(shù)學(xué)模型和客觀現(xiàn)象相比，通過修改細(xì)節(jié)、改變參數(shù)，更便于解決進(jìn)行實(shí)際試驗(yàn)時的困難，且容易操作，節(jié)約成本；通過模型參數(shù)的調(diào)整和變化，可進(jìn)一步揭示客觀對象本質(zhì)，改善產(chǎn)品的質(zhì)量和提高產(chǎn)品的精度。
隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，人們越來越認(rèn)識到數(shù)學(xué)科學(xué)的重要性；數(shù)學(xué)思考方式具有根本的重要性，數(shù)學(xué)為組織和構(gòu)造知識提供了方法，將它用于技術(shù)時能使科學(xué)家和工程師生產(chǎn)出系統(tǒng)的、能復(fù)制的、且可以傳播的知識；數(shù)學(xué)科學(xué)對于經(jīng)濟(jì)競爭是必不可少的，是一種關(guān)鍵性的、普遍的、可實(shí)行的技術(shù)。