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數(shù)學(xué)技術(shù)之模型篇（4）

9.數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)例

計(jì)算機(jī)上的數(shù)學(xué)建模，應(yīng)用范圍極廣。有人說(shuō)，世界是上帝按照數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的，所以才如此美麗、和諧與廣受人愛(ài)。鬼才知道有沒(méi)有上帝、世界是不是上帝構(gòu)建的，但世界處處可用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述和研發(fā)，確實(shí)毫無(wú)疑問(wèn)。下面介紹一些特別領(lǐng)域的數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)例，雖掛一漏萬(wàn)，也足見(jiàn)數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的廣泛及建模方法的靈活，并能對(duì)建模的全過(guò)程及其分類有進(jìn)一步的了解和認(rèn)識(shí)。

一、社會(huì)科學(xué)中的幸福和愛(ài)情模型

眾所周知，自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)是現(xiàn)有科學(xué)研究體系中的兩大類，它們的研究對(duì)象和研究方法有著很大區(qū)別。首先，自然科學(xué)研究的是客觀的物質(zhì)世界，是沒(méi)有思維、沒(méi)有主觀能動(dòng)性的物質(zhì)；而社會(huì)科學(xué)研究對(duì)象是人，人的思想和行為既受外部環(huán)境和社會(huì)的影響，同時(shí)又受內(nèi)在主觀能動(dòng)性的作用。其次，自然科學(xué)中物質(zhì)變化的決定因素往往比較簡(jiǎn)單，如物質(zhì)間的引力主要是由質(zhì)量和距離兩大因素決定的；而社會(huì)科學(xué)中，影響人的行為和社會(huì)特征變化的決定性因素相當(dāng)復(fù)雜，研究者很難把所有的因素以及它們之間的關(guān)系都考慮到研究中去，難免有掛一漏萬(wàn)的情況出現(xiàn)。最后，自然科學(xué)研究的物質(zhì)世界變化多數(shù)是確定的，可以用確定性的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述；而社會(huì)科學(xué)所涉及的變量大多是非確定性的，要用非確定性研究方法去解釋，結(jié)論通常多以概率的形式給出。正是由于社會(huì)科學(xué)研究對(duì)象以人為中心，以及它的復(fù)雜性和不確定性，導(dǎo)致社會(huì)科學(xué)研究從本質(zhì)上說(shuō)比自然科學(xué)更困難，在科學(xué)性的把握上比自然科學(xué)更困難，很難進(jìn)行定量研究。但隨著數(shù)學(xué)技術(shù)和計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，在不少社會(huì)科學(xué)問(wèn)題的研究中也應(yīng)用到數(shù)學(xué)建模，以推進(jìn)定量研究。
實(shí)際上，現(xiàn)在許多社會(huì)科學(xué)研究已經(jīng)采用了更嚴(yán)謹(jǐn)、更規(guī)范的研究程序：在確定了要研究的題目以后，首先對(duì)以往的有關(guān)理論和研究進(jìn)行回顧和描述，從而明確所研究問(wèn)題的性質(zhì)和規(guī)律，哪些問(wèn)題和結(jié)論已經(jīng)被前人證明過(guò)，哪些還沒(méi)有被證明或需要重新進(jìn)行證明；其次要在理論的指導(dǎo)下，在以往研究的基礎(chǔ)上提出自己擬證明、研究的假設(shè)和框架：你要做什么、怎么去做；為了證明自己的假說(shuō)，研究者還必須有實(shí)證數(shù)據(jù)，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)卷，組織調(diào)查，取得所需的原始數(shù)據(jù)，也有些學(xué)者利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析；研究中還必須對(duì)數(shù)據(jù)的收集方式和質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估，在利用頻率表對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行描述和統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，還必須對(duì)總體的推斷和顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，以證明該數(shù)據(jù)所顯示的結(jié)論是有意義的；再下來(lái)要做的工作是建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步描述和解釋變量之間的相互關(guān)系；最后，在模型分析的基礎(chǔ)上得出結(jié)論，證明自己的假說(shuō)成立，并做進(jìn)一步的理論解釋和定性分析。這些研究，因采用了實(shí)證數(shù)據(jù)、讓事實(shí)來(lái)說(shuō)話，并通過(guò)數(shù)學(xué)模型描述或證明所得的結(jié)論，因而使社會(huì)科學(xué)的研究和得到的結(jié)論更為充分、更加可信。
下面，以“人是否幸?！焙汀皭?ài)情向何方向發(fā)展”為例，說(shuō)明社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)建模及其過(guò)程。
千百年來(lái)，時(shí)代變遷，地域各異，但人類對(duì)幸福的向往和追求始終如一，變化并不很大。由于人們的世界觀、人生觀不同，經(jīng)歷不同，工作和生活環(huán)境不同，理想抱負(fù)不同，對(duì)幸福的認(rèn)識(shí)和理解也就不盡相同。其實(shí)，幸福是一種感受，是一個(gè)很模糊的概念，是一個(gè)仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智的事兒。對(duì)幸福，每個(gè)人的心目中都有一個(gè)衡量尺度，實(shí)際生活中應(yīng)該用一把什么樣尺子來(lái)衡量幸福呢？有人說(shuō)勞動(dòng)最幸福，有人說(shuō)健康最幸福，有人說(shuō)平安最幸福，有人說(shuō)悠閑最幸福，有人說(shuō)家庭和睦最幸福，有人說(shuō)有錢最幸福，但也有錢多的商人說(shuō)：我現(xiàn)在很窮，除了錢，什么都沒(méi)有了。還有人說(shuō)，幸福不在于擁有財(cái)富，而在于獲得成就時(shí)的喜悅以及產(chǎn)生創(chuàng)造力的激情，更有人說(shuō)幸福是一種心情，和財(cái)富、年齡及環(huán)境無(wú)關(guān)。有人還說(shuō)，幸福有三個(gè)境界或者也可說(shuō)是三個(gè)指標(biāo)：第一境界是沒(méi)有痛苦；第二境界是平靜，心如止水；第三境界是喜樂(lè)，能夠有精神愉悅的感覺(jué)。有人總結(jié)說(shuō)，良心無(wú)愧，身體無(wú)病，胸中無(wú)累，肩上無(wú)債，是最大的幸福?？梢?jiàn)，對(duì)于幸福的理解因人而異，因時(shí)而異，也因地而異。
人人都在追求幸福，對(duì)幸福的理解又可以折射出一個(gè)人的精神境界、文明修養(yǎng)和道德情操。歷史和現(xiàn)實(shí)都表明，一個(gè)沒(méi)有正確的和高尚的幸福觀的人，難以追求到真正的幸福，更體會(huì)不到真正的幸福；一個(gè)沒(méi)有成人之美、助人為樂(lè)氛圍的社會(huì)，是難以發(fā)展、無(wú)法進(jìn)步的；立足崗位，恪盡職守，努力工作，奮發(fā)有為，是追求幸福的必由之路。但面對(duì)千姿百態(tài)的世界，什么是幸福？幸福有沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)? 幸福猶如市場(chǎng)上商品一樣也有真有假。真幸福讓人留戀忘懷，假幸福卻讓人遺憾痛苦。幸福，那是一種時(shí)代的理解和知識(shí)的積累，是一個(gè)自我認(rèn)識(shí)自我的鏡子，是社會(huì)形態(tài)的縮影。幸福能用一個(gè)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述嗎？
英國(guó)研究人員多年前提出“幸?！笨梢杂靡粋€(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)概括，即：

？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？ 幸福 ＝ P ＋ 5*E ＋ 3*H？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？ (1)

其中P代表個(gè)性，包括世界觀、適應(yīng)能力和應(yīng)變能力；E代表生存，包括健康、財(cái)力和交友等，5為其加權(quán)系數(shù)；H代表更高層的需要，包括自尊心、期望、雄心和幽默感等，3為其加權(quán)系數(shù)；得分越高人越幸福。這個(gè)模型是研究人員訪問(wèn)了1000多人之后，把得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后給出的。你能接受這個(gè)幸福數(shù)學(xué)模型嗎？當(dāng)然，套用這個(gè)幸福公式能否算出一個(gè)人是否幸福，恐怕有一定的模糊度, 會(huì)因人而異，也還需要時(shí)間進(jìn)行考驗(yàn)，甚至幸福公式里三個(gè)變量P、E、H如何給分就是一個(gè)難解的問(wèn)題。至于其中如何對(duì)得到這一模型的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的方法，將在下面“回歸模型和逐步回歸計(jì)算”中給以簡(jiǎn)單介紹。
無(wú)獨(dú)有偶，英國(guó)心理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和人際關(guān)系專家還提出了一個(gè)終極戀愛(ài)數(shù)學(xué)模型，讓男女推算自己和心儀的對(duì)象是否能讓愛(ài)情開花并結(jié)出幸福之果。
這個(gè)由專家推導(dǎo)的愛(ài)情模型是：

？？？？？？？？？？？？？？？？ 愛(ài)情 = [(F+Ch+P)/2+ 3(C+I)/10]/[(5-SI)2+2]？？？？？？？？？？？？？？？？？ (2)

模型中，F(xiàn)代表自己對(duì)對(duì)方的好感，Ch代表對(duì)方的魅力，P代表體內(nèi)分泌吸引異性的化學(xué)物質(zhì)，C代表自己的信心，I代表親密程度，SI代表自我形象。
戀情測(cè)試者可對(duì)每個(gè)指標(biāo)分別評(píng)分，自我形象SI評(píng)分為1至5，其它評(píng)分為1至10。將所有評(píng)分代人方程式后，可得出一個(gè)總分。若總分介于8至10分之間，即代表測(cè)試者跟戀愛(ài)對(duì)象可發(fā)展出一段浪漫的熱戀；6至7分代表兩人感覺(jué)溫馨；4至5分代表感情冷淡；低于4分則代表這段感情不會(huì)開花結(jié)果。
專家指出，只約會(huì)了幾次初相識(shí)的男女測(cè)試有較高評(píng)分時(shí)，雙方才會(huì)有發(fā)展一段戀情的機(jī)會(huì)。當(dāng)然，測(cè)試結(jié)果是否可信，戀情如何發(fā)展下去，能否會(huì)開花結(jié)果，可能還是一個(gè)未知數(shù)。
對(duì)幸福模型（1）和愛(ài)情模型（2）做進(jìn)一步分析，可得到如下幾個(gè)結(jié)論：
1. 模型（1）是線性的，而模型（2）是非線性的，它們的數(shù)據(jù)處理方法差異甚大；
2. 模型（1）和（2）有點(diǎn)過(guò)于規(guī)矩，它們的加權(quán)系數(shù)皆為整數(shù)，且近乎相互獨(dú)立的因子F、Ch、P和C、I有相同的權(quán)重，人為痕跡過(guò)重；
3. 模型（2）中，自我形象SI很重要，如其它都取高分10，SI取5、4、3時(shí)，得分分別為10.5、5.25和3.5，SI只有取最高分5、其他各項(xiàng)也多取高分時(shí)，才有發(fā)展一段浪漫戀情的機(jī)會(huì)。這樣的話，據(jù)此模型SI取不成5的多數(shù)人，都談不成戀愛(ài)，難道都會(huì)成為孤男寡女？對(duì)“問(wèn)世間，情是何物，直教生死相許？”的愛(ài)情，千百年來(lái)是說(shuō)不清、道不明，實(shí)難用一個(gè)簡(jiǎn)單的模型去說(shuō)清楚的。
幸福模型（1）和愛(ài)情模型（2）取自互聯(lián)網(wǎng)，真實(shí)性和可靠性可能并不很高，大家只應(yīng)把它們視為建模一例，千萬(wàn)別認(rèn)真地把自己裝進(jìn)去，特別是青年男女，別對(duì)號(hào)入座，把自己變成一個(gè)不敢談戀愛(ài)的“孤男寡女”。

二、股市交易中的數(shù)學(xué)模型

股市波動(dòng)是股市發(fā)展過(guò)程中的常態(tài)。對(duì)股市波動(dòng)的解釋，傳統(tǒng)理論認(rèn)為，股市是現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)的晴雨表，很大程度上與宏觀經(jīng)濟(jì)變化有關(guān)。但現(xiàn)在不少經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為，股市經(jīng)常的波動(dòng)在很大程度上是與人的非理性因素有關(guān)，股市價(jià)格重挫并不一定表明實(shí)體經(jīng)濟(jì)一定衰退，更多的在于人們的感情作用。因?yàn)楣墒刑焐褪且粋€(gè)波動(dòng)較大的市場(chǎng)，非理性的樂(lè)觀會(huì)導(dǎo)致股市暴漲，而莫名其妙的悲觀會(huì)造成股市暴跌。因?yàn)楣墒械耐顿Y者往往會(huì)依靠幻念、感情及運(yùn)氣行事，從而頻繁出現(xiàn)股市波動(dòng)。
現(xiàn)代發(fā)達(dá)的歐美股市，其股市交易規(guī)則、交易方式、交易程式、交易理念等方面都發(fā)生了很多根本性的變化。目前在歐美股市，根據(jù)數(shù)學(xué)模型制定的程式化交易方式極為流行。這種程式化交易占據(jù)美國(guó)股票市場(chǎng)超過(guò)70%的成交量，歐洲股票市場(chǎng)超過(guò)40%的成交量。
所謂程序化交易一般是指根據(jù)一定的交易數(shù)學(xué)模型生成買賣信號(hào)，并由計(jì)算機(jī)自動(dòng)執(zhí)行交易的過(guò)程，包括算法交易、量化交易、高頻交易等多種交易形式。優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)在順勢(shì)操作，賺取波段利潤(rùn)；指令簡(jiǎn)單、策略明確，排除人為貪婪；提高交易效率，豐富市場(chǎng)流動(dòng)性等?，F(xiàn)在看來(lái)，程式化交易至少有以下幾個(gè)方面的特點(diǎn)。
一是把傳統(tǒng)股市交易決策非理性的感情因素完全摒除掉，完全按照交易數(shù)學(xué)模型由已經(jīng)設(shè)計(jì)好的計(jì)算機(jī)程序的理性邏輯推演來(lái)完成；
二是這種程式化交易不僅運(yùn)算速度快，還能輕易地把更多可能影響股市波動(dòng)的因素以大數(shù)據(jù)的形式納入到計(jì)算模型中；
三是這種程式化交易能夠以光速進(jìn)行，完全可以超越人類的極限，他們的算法通過(guò)股票市場(chǎng)中大數(shù)據(jù)不斷地自動(dòng)搜索交易機(jī)會(huì)，在幾毫秒內(nèi)捕獲交易利潤(rùn)，在操縱市場(chǎng)的同時(shí)還能逍遙法外。
從現(xiàn)代程式化交易的特點(diǎn)來(lái)看，任何新的市場(chǎng)信息都能成為改變交易價(jià)格、交易方式、交易策略的因素，而這些改變都可以在瞬間或人沒(méi)有感覺(jué)到情況下完成。比如，人民幣貶值這種信息，在程式化交易模型中理解為中國(guó)經(jīng)濟(jì)負(fù)面因素，而中國(guó)政府推出寬松貨幣政策又理解為市場(chǎng)正面因素。如此反復(fù)，全球股票市場(chǎng)豈能不波動(dòng)？這就是當(dāng)前全球股票市場(chǎng)波動(dòng)的根本原因，也正是股票市場(chǎng)的波動(dòng)為這些程式化交易創(chuàng)造的最好的獲利條件。
自然有人會(huì)問(wèn)，用計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)模型、進(jìn)行程式化交易方式炒股，太復(fù)雜，只有機(jī)構(gòu)或超大型投資客戶才能用，散戶無(wú)法掌握、使用和控制，有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型可用于散戶炒股呢？據(jù)說(shuō)有人利用斐波拉契數(shù)列作為炒股的數(shù)學(xué)模型，不僅躲過(guò)股市的幾次大跌，還在股市爆漲時(shí)取得了較高的股市收益，得到了很好的股市回報(bào)。
下面，我們先來(lái)看看什么是斐波拉契數(shù)列，再看看怎么用斐波拉契數(shù)列數(shù)學(xué)模型進(jìn)行炒股操作。
斐波拉契數(shù)列是一個(gè)非常美麗、和諧的數(shù)列。寫出該數(shù)列為1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、……直至無(wú)窮。這些數(shù)字從第三個(gè)開始，每一個(gè)數(shù)都等于前面兩個(gè)數(shù)之和，同時(shí)前一個(gè)數(shù)字和后一個(gè)數(shù)字之比，無(wú)限接近于黃金分割數(shù)0.618。
將斐波拉契數(shù)列用于炒股投資法則，稱其為炒股的“斐波拉契周期”。從重要的市場(chǎng)頂部或底部計(jì)算未來(lái)，按照中位數(shù)市盈率判斷出股市是牛市還是熊市，標(biāo)志出未來(lái)第3、第8、第13、第21、第34、第55及第89等等幾個(gè)可能股市交易日的日期。這些日子可能意味著股市的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)。
當(dāng)遇到股市大跌的時(shí)候，在看好的股票池里選一支跌得最多的買入?；旧系?天以20%的倉(cāng)位進(jìn)入；如果之后股市還沒(méi)漲，跌到第8天再追加3成進(jìn)去，這時(shí)候的反彈概率有50%；到第13天還在跌，就全倉(cāng)進(jìn)去?；旧戏磸椀臅r(shí)候，不幾天時(shí)間可以賺到15-20%的收益；股市漲的時(shí)候同樣操作，漲3天的時(shí)候出一半，到第8天的時(shí)候再出一半。
當(dāng)然，股市行情變化極其復(fù)雜，漲落難定，利用斐波拉契數(shù)列模型操作能否取得炒股成功真的很難說(shuō)。一次成功，不等于次次成功；同樣，一次失敗，也不等于次次失??；但你一定要牢記“炒股有風(fēng)險(xiǎn)，投資需謹(jǐn)慎”。