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一個畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系，在中國科學(xué)院計算所、計算中心和網(wǎng)絡(luò)中心工作過，在澳大利亞科工組織DMS、香港浸會學(xué)院數(shù)學(xué)系和中國21世紀(jì)議程管理中心等處工作過，多次獲國家和中科院科技獎并享受政府特殊津貼的退休老頭?，F(xiàn)在在【中國科普博覽】網(wǎng)“科學(xué)新語林”欄目里開設(shè)一個《數(shù)學(xué)與計算機(jī)》的個人專欄，愿和愛好數(shù)學(xué)與計算機(jī)的各界網(wǎng)友和青少年朋友，談?wù)剬?shù)學(xué)與計算機(jī)的看法、想法。
《常用算法之智能計算 (五) 》：模糊計算
張建中
2018年12月06日
人們常用“模糊計算”（Fuzzy？Computing）籠統(tǒng)地代表諸如模糊系統(tǒng)、模糊語言、模糊推理、模糊邏輯、模糊控制、模糊遺傳和模糊聚類等模糊應(yīng)用領(lǐng)域中所用到的諸多算法及其理論。在這些應(yīng)用系統(tǒng)中，廣泛地應(yīng)用了模糊集理論，并揉和了人工智能的其他手段，因此模糊計算也常常與人工智能相聯(lián)系。由于模糊計算可以表現(xiàn)事物本身性質(zhì)的內(nèi)在不確定性，因此它可以模擬人腦認(rèn)識客觀世界的非精確、非線性的信息處理能力和亦此亦彼的模糊概念和模糊邏輯。
概念是人類思維的基本形式之一，它反映了客觀事物的本質(zhì)特征。一個概念有它的內(nèi)涵和外延，內(nèi)涵是指該概念所反映的事物本質(zhì)屬性的總和，也就是概念的內(nèi)容；外延是指一個概念所確指的對象的范圍。例如“人”這個概念的內(nèi)涵是指能制造工具，并使用工具進(jìn)行勞動的動物，外延是指古今中外一切的人。在生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)驗(yàn)以及日常生活中，人們經(jīng)常會遇到諸多模糊概念，如大與小、輕與重、快與慢、動與靜、深與淺、美與丑等都包含著一些模糊概念。
美國數(shù)學(xué)家、控制論專家L.A.Zadeh博士于1965年發(fā)表了關(guān)于模糊集的論文，首次提出了表達(dá)事物模糊性的重要概念——隸屬函數(shù)(Membership Function)。這篇論文把元素對集的隸屬度從原來的非0即1推廣到可以取區(qū)間[0，1]的任何值，這樣用隸屬度定量的描述論域中元素符合論域概念的程度，實(shí)現(xiàn)了對普通集合的擴(kuò)展，從而可以用隸屬函數(shù)表示模糊集。模糊集理論構(gòu)成了模糊計算系統(tǒng)的基礎(chǔ)，人們在此基礎(chǔ)上把人工智能中關(guān)于知識表示和推理的方法引入進(jìn)來，或者說把模糊集理論用到知識工程中去就形成了模糊邏輯和模糊推理。為了克服這些模糊系統(tǒng)知識獲取的不足及學(xué)習(xí)能力低下的缺點(diǎn)，又把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算加入到這些模糊系統(tǒng)中，形成了模糊神經(jīng)系統(tǒng)。這些研究都成為人工智能研究的熱點(diǎn)，因?yàn)樗鼈儽憩F(xiàn)出了許多領(lǐng)域?qū)＜也啪哂械哪芰?。同時，這些模糊系統(tǒng)在計算形式上一般多以數(shù)值計算為主，也通常被人們歸為軟計算、智能計算的范疇。
模糊計算在應(yīng)用上可一點(diǎn)都不模糊，其應(yīng)用范圍非常廣泛，它在家電產(chǎn)品中的應(yīng)用已被人們所接受，如模糊洗衣機(jī)、模糊冰箱、模糊相機(jī)等。另外，在專家系統(tǒng)、智能控制等許多系統(tǒng)中，模糊計算也都能大顯身手，其原因就在于它的工作方式與人類的認(rèn)知過程有著極大的相似性。
模糊數(shù)學(xué)（Fuzzy Mathematics），研究現(xiàn)實(shí)中許多界限不分明問題的一種數(shù)學(xué)工具，已廣泛應(yīng)用于模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統(tǒng)理論、信息檢索、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等各個方面。然而模糊數(shù)學(xué)最重要的應(yīng)用領(lǐng)域是計算機(jī)智能，不少人認(rèn)為它與新一代計算機(jī)的研發(fā)有著極其密切的聯(lián)系。模糊數(shù)學(xué)基本概念之一是模糊集合，利用模糊集合、模糊矩陣、模糊運(yùn)算和模糊邏輯等，能很好地處理各個不同領(lǐng)域應(yīng)用中的模糊問題。
按照經(jīng)典集合的理論，每一個集合必須由確定的元素構(gòu)成，元素之于集合的隸屬關(guān)系是明確的，這一性質(zhì)可以用特征函數(shù) A(x)來表示，即有：
模糊數(shù)學(xué)把特征函數(shù)改寫成所謂的“隸屬函數(shù) A(x)：0≤ A(x)≤1”，在這里A被稱為模糊集合， A(x)為隸屬度。經(jīng)典集合論要求 A(x)取0或1兩個值，模糊集合則突破了這一限制， A(x)=1表示百分之百隸屬于模糊集合A， A(x)=0表示完全不屬于模糊集合A，還可以有20%隸屬于模糊集合A，80%隸屬于模糊集合A，等等，即可取[0，1]區(qū)間內(nèi)的任意值。由于人腦的思維包括精確的和模糊的兩個方面，因此模糊數(shù)學(xué)在人工智能系統(tǒng)模擬人類思維的過程中起到了重要作用，它與新型的計算機(jī)設(shè)計和許多模糊計算密切相關(guān)。
模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬度，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。如何確定一個模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未得到很好解決的問題。常用的確定隸屬函數(shù)的方法有模糊統(tǒng)計法、指派法、專家經(jīng)驗(yàn)法、二元對比排序法及根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定的方法等。模糊統(tǒng)計方法是一種客觀方法，主要是在模糊統(tǒng)計試驗(yàn)的基礎(chǔ)上根據(jù)隸屬度的客觀存在性來確定的；指派方法主要依據(jù)人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來確定某些模糊集隸屬函數(shù)的一種方法；在實(shí)際應(yīng)用中，用來確定模糊集的隸屬函數(shù)的方法是多種多樣的，主要根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定。譬如，在經(jīng)濟(jì)管理、社會管理中，可以借助于已有的“客觀尺度”作為模糊集的隸屬度。
由于模糊性概念已經(jīng)找到了模糊集的描述方式，人們運(yùn)用概念進(jìn)行判斷、評價、推理、決策和控制的過程也可以用模糊性數(shù)學(xué)的方法來描述。這些方法構(gòu)成了一種模糊性系統(tǒng)理論，構(gòu)成了一種思辨數(shù)學(xué)的雛形，已經(jīng)在醫(yī)學(xué)、氣象、心理、經(jīng)濟(jì)管理、石油、地質(zhì)、環(huán)境、生物、農(nóng)業(yè)、林業(yè)、化工、語言、控制、遙感、教育、體育等方面取得多方面具體的研究和應(yīng)用成果。
模糊理論（Fuzzy Theory）是指用到了模糊集合的基本概念或連續(xù)隸屬度函數(shù)的理論，可分為模糊數(shù)學(xué)，模糊系統(tǒng)，不確定性和信息，模糊決策，模糊邏輯與人工智能眾多分支，它們并不是完全獨(dú)立的，之間存在著緊密的聯(lián)系，例如，模糊控制就會用到模糊數(shù)學(xué)和模糊邏輯中的概念。從實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)來看，模糊理論的應(yīng)用大部分集中在模糊系統(tǒng)上，尤其集中在模糊控制上，也有一些模糊專家系統(tǒng)應(yīng)用于醫(yī)療診斷和決策支持。
模糊概念(Fuzzy Concept)是指這個概念的外延具有不確定性，或者說它的外延是不清晰的，是模糊的。例如“青年”這個概念，它的內(nèi)涵我們是清楚的，但是它的外延，即什么樣的年齡階段內(nèi)的人是青年，恐怕就很難說情楚，因?yàn)樵凇澳贻p”和“不年輕”之間沒有一個確定的邊界，這就是一個模糊概念。需要注意的幾點(diǎn)：首先，人們在認(rèn)識模糊性時，是允許有主觀性的，也就是說每個人對模糊事物的界限不完全一樣，承認(rèn)一定的主觀性是認(rèn)識模糊性的一個特點(diǎn)。例如，我們讓100個人說出“年輕人”的年齡范圍，那么我們將會得到數(shù)十個不同的答案。盡管如此，當(dāng)我們用模糊統(tǒng)計的方法進(jìn)行分析時，年輕人的年齡界限分布又具有一定的規(guī)律性；其次，模糊性是精確性的對立面，但不能消極地理解模糊性代表的是落后的事物，恰恰相反，我們在處理客觀事物時，經(jīng)常借助于模糊性。例如，在一個有許多人的房間里，找一位“年老的高個子男人”，這是不難辦到的。這里所說的“年老”、“高個子”都是模糊概念，然而我們只要將這些模糊概念經(jīng)過頭腦的分析判斷，很快就可以在人群中找到此人。如果我們要求用計算機(jī)查詢，那么就要把所有人的年齡，身高的具體數(shù)據(jù)輸入計算機(jī)，然后我們才可以從人群中找這樣的人。最后，人們對模糊性的認(rèn)識往往同隨機(jī)性混淆起來，其實(shí)它們之間有著根本的區(qū)別。隨機(jī)性是其本身具有明確的含義，只是由于發(fā)生的條件不充分，而使得在條件與事件之間不能出現(xiàn)確定的因果關(guān)系，從而事件的出現(xiàn)與否表現(xiàn)出一種隨機(jī)性。而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模糊的，即一個對象是否符合這個概念難以確定，也就是由于概念外延模糊而帶來的不確定性。
模糊邏輯(Fuzzy Logic)不是二元邏輯——非此即彼的推理，也不是傳統(tǒng)意義的多值邏輯，而是在承認(rèn)事物隸屬真值中間過渡性的同時，還認(rèn)為事物在形態(tài)和類屬方面具有亦此亦彼性、模棱兩可性——模糊性。模糊邏輯善于表達(dá)界限不清晰的定性知識與經(jīng)驗(yàn)，它借助于隸屬度函數(shù)概念，區(qū)分模糊集合，處理模糊關(guān)系，模擬人腦實(shí)施規(guī)則型推理，解決因“排中律”的邏輯破缺產(chǎn)生的種種不確定問題。模糊邏輯模仿人腦的不確定性概念判斷、推理思維方式，對于模型未知或不能確定的描述系統(tǒng)，以及強(qiáng)非線性、大滯后的控制對象，應(yīng)用模糊集合和模糊規(guī)則進(jìn)行推理，表達(dá)過渡性界限或定性知識經(jīng)驗(yàn)，模擬人腦方式，實(shí)行模糊綜合判斷，推理解決常規(guī)方法難于對付的規(guī)則型模糊信息問題。
模糊系統(tǒng)(Fuzzy System)基于模糊數(shù)學(xué)理論,能夠?qū)κ挛镞M(jìn)行模糊處理。在模糊系統(tǒng)中,元素與模糊集合之間的關(guān)系是不確定的,即在傳統(tǒng)集合論中元素與集合“非此即彼”的關(guān)系不適合模糊邏輯。元素與模糊集合的隸屬關(guān)系是通過隸屬度函數(shù)來度量的。當(dāng)一個元素確定屬于某個模糊集合,則這個元素對該模糊集合的隸屬度為1;當(dāng)這個元素確定不屬于該模糊集合時,則此時的隸屬度值為0;當(dāng)無法確定該元素是否屬于該模糊集合時,隸屬度值為一個屬于0到1之間的連續(xù)數(shù)值。模糊系統(tǒng)能夠很好處理人們生活中的模糊概念,清晰地表達(dá)知識,而且善于利用學(xué)科領(lǐng)域的知識,具有很強(qiáng)的推理能力。模糊系統(tǒng)主要應(yīng)用在自動控制、模式識別和故障診斷等領(lǐng)域并且取得了令人振奮的成果,但是大多數(shù)模糊系統(tǒng)都是利用已有的專家知識,缺乏自學(xué)習(xí)能力,無法對自動提取模糊規(guī)則和生成隸屬度函數(shù)。針對這一問題,可以通過與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法等自學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的算法融合來解決。目前,很多學(xué)者正在研究模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和神經(jīng)模糊系統(tǒng),這是對傳統(tǒng)算法研究和應(yīng)用的創(chuàng)新。
把模糊概念和一些傳統(tǒng)算法及智能算法結(jié)合起來，形成了一大批的模糊算法，下面簡舉幾例。
模糊遺傳算法(Fuzzy？Genetic Algorithm)是指基于模糊邏輯的遺傳算法，是當(dāng)前遺傳算法發(fā)展的一個新方向。它充分利用了人們對遺傳算法已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，并且修正和完善了這些經(jīng)驗(yàn)，有助于對遺傳算法的遺傳算子及參數(shù)設(shè)置與遺傳算法性能關(guān)系的理解；同時在遺傳算法運(yùn)行過程中，實(shí)現(xiàn)了對遺傳算法參數(shù)或算子的動態(tài)調(diào)整，保證了整個遺傳算法搜索過程中合理的利用性和探索性關(guān)系。把模糊邏輯用于遺傳算法，是從兩個方面著手的：一方面，把已有的關(guān)于遺傳算法的知識和經(jīng)驗(yàn)用模糊語言來描述，并用于在線控制遺傳操作和參數(shù)設(shè)置，形成動態(tài)遺傳算法；另一方面，借鑒模糊邏輯及模糊集合運(yùn)算的思想，得到模糊編碼和相應(yīng)模糊遺傳操作，以改進(jìn)遺傳算法的性能。
模糊聚類算法(Fuzzy Cluster Algorithm)是一種采用模糊數(shù)學(xué)語言對事物按一定的要求進(jìn)行描述和分類的數(shù)學(xué)方法，一般是指根據(jù)研究對象本身的屬性來構(gòu)造模糊矩陣，并在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來確定聚類關(guān)系，即用模糊數(shù)學(xué)的方法把樣本之間的模糊關(guān)系定量的確定，從而客觀且準(zhǔn)確地進(jìn)行聚類。聚類就是將數(shù)據(jù)集分成多個類或簇，使得各個類之間的數(shù)據(jù)差別應(yīng)盡可能大，類內(nèi)之間的數(shù)據(jù)差別應(yīng)盡可能小，即為“最小化類間相似性，最大化類內(nèi)相似性”原則。聚類分析是數(shù)理統(tǒng)計中的一種多元分析方法，它是用數(shù)學(xué)方法定量地確定樣本的親疏關(guān)系，從而客觀地劃分類型。事物之間的界限，有些是確切的，有些則是模糊的。例人群中的面貌相像程度之間的界限是模糊的，天氣陰、晴之間的界限也是模糊的。當(dāng)聚類涉及事物之間的模糊界限時，需運(yùn)用模糊聚類分析方法。模糊聚類分析廣泛應(yīng)用在氣象預(yù)報、地質(zhì)、農(nóng)業(yè)、林業(yè)等方面。通常把被聚類的事物稱為樣本，將被聚類的一組事物稱為樣本集。模糊聚類分析有兩種基本方法：系統(tǒng)聚類法和逐步聚類法。
模糊數(shù)學(xué)及其計算的產(chǎn)生不僅拓廣了經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且也是計算機(jī)科學(xué)向人們的自然機(jī)理方面發(fā)展的重大突破。它在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會學(xué)等問題的廣泛應(yīng)用領(lǐng)域中顯示了巨大的力量，雖然發(fā)展的歷史并不很長，但已被國內(nèi)外數(shù)學(xué)界以及信息、系統(tǒng)、計算機(jī)和自動控制科技界人員的普遍關(guān)注，具有極其廣闊應(yīng)用前景。
概念是人類思維的基本形式之一，它反映了客觀事物的本質(zhì)特征。一個概念有它的內(nèi)涵和外延，內(nèi)涵是指該概念所反映的事物本質(zhì)屬性的總和，也就是概念的內(nèi)容；外延是指一個概念所確指的對象的范圍。例如“人”這個概念的內(nèi)涵是指能制造工具，并使用工具進(jìn)行勞動的動物，外延是指古今中外一切的人。在生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)驗(yàn)以及日常生活中，人們經(jīng)常會遇到諸多模糊概念，如大與小、輕與重、快與慢、動與靜、深與淺、美與丑等都包含著一些模糊概念。
美國數(shù)學(xué)家、控制論專家L.A.Zadeh博士于1965年發(fā)表了關(guān)于模糊集的論文，首次提出了表達(dá)事物模糊性的重要概念——隸屬函數(shù)(Membership Function)。這篇論文把元素對集的隸屬度從原來的非0即1推廣到可以取區(qū)間[0，1]的任何值，這樣用隸屬度定量的描述論域中元素符合論域概念的程度，實(shí)現(xiàn)了對普通集合的擴(kuò)展，從而可以用隸屬函數(shù)表示模糊集。模糊集理論構(gòu)成了模糊計算系統(tǒng)的基礎(chǔ)，人們在此基礎(chǔ)上把人工智能中關(guān)于知識表示和推理的方法引入進(jìn)來，或者說把模糊集理論用到知識工程中去就形成了模糊邏輯和模糊推理。為了克服這些模糊系統(tǒng)知識獲取的不足及學(xué)習(xí)能力低下的缺點(diǎn)，又把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算加入到這些模糊系統(tǒng)中，形成了模糊神經(jīng)系統(tǒng)。這些研究都成為人工智能研究的熱點(diǎn)，因?yàn)樗鼈儽憩F(xiàn)出了許多領(lǐng)域?qū)＜也啪哂械哪芰?。同時，這些模糊系統(tǒng)在計算形式上一般多以數(shù)值計算為主，也通常被人們歸為軟計算、智能計算的范疇。
模糊計算在應(yīng)用上可一點(diǎn)都不模糊，其應(yīng)用范圍非常廣泛，它在家電產(chǎn)品中的應(yīng)用已被人們所接受，如模糊洗衣機(jī)、模糊冰箱、模糊相機(jī)等。另外，在專家系統(tǒng)、智能控制等許多系統(tǒng)中，模糊計算也都能大顯身手，其原因就在于它的工作方式與人類的認(rèn)知過程有著極大的相似性。
模糊數(shù)學(xué)（Fuzzy Mathematics），研究現(xiàn)實(shí)中許多界限不分明問題的一種數(shù)學(xué)工具，已廣泛應(yīng)用于模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統(tǒng)理論、信息檢索、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等各個方面。然而模糊數(shù)學(xué)最重要的應(yīng)用領(lǐng)域是計算機(jī)智能，不少人認(rèn)為它與新一代計算機(jī)的研發(fā)有著極其密切的聯(lián)系。模糊數(shù)學(xué)基本概念之一是模糊集合，利用模糊集合、模糊矩陣、模糊運(yùn)算和模糊邏輯等，能很好地處理各個不同領(lǐng)域應(yīng)用中的模糊問題。
按照經(jīng)典集合的理論，每一個集合必須由確定的元素構(gòu)成，元素之于集合的隸屬關(guān)系是明確的，這一性質(zhì)可以用特征函數(shù) A(x)來表示，即有：
模糊數(shù)學(xué)把特征函數(shù)改寫成所謂的“隸屬函數(shù) A(x)：0≤ A(x)≤1”，在這里A被稱為模糊集合， A(x)為隸屬度。經(jīng)典集合論要求 A(x)取0或1兩個值，模糊集合則突破了這一限制， A(x)=1表示百分之百隸屬于模糊集合A， A(x)=0表示完全不屬于模糊集合A，還可以有20%隸屬于模糊集合A，80%隸屬于模糊集合A，等等，即可取[0，1]區(qū)間內(nèi)的任意值。由于人腦的思維包括精確的和模糊的兩個方面，因此模糊數(shù)學(xué)在人工智能系統(tǒng)模擬人類思維的過程中起到了重要作用，它與新型的計算機(jī)設(shè)計和許多模糊計算密切相關(guān)。
模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬度，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。如何確定一個模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未得到很好解決的問題。常用的確定隸屬函數(shù)的方法有模糊統(tǒng)計法、指派法、專家經(jīng)驗(yàn)法、二元對比排序法及根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定的方法等。模糊統(tǒng)計方法是一種客觀方法，主要是在模糊統(tǒng)計試驗(yàn)的基礎(chǔ)上根據(jù)隸屬度的客觀存在性來確定的；指派方法主要依據(jù)人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來確定某些模糊集隸屬函數(shù)的一種方法；在實(shí)際應(yīng)用中，用來確定模糊集的隸屬函數(shù)的方法是多種多樣的，主要根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定。譬如，在經(jīng)濟(jì)管理、社會管理中，可以借助于已有的“客觀尺度”作為模糊集的隸屬度。
由于模糊性概念已經(jīng)找到了模糊集的描述方式，人們運(yùn)用概念進(jìn)行判斷、評價、推理、決策和控制的過程也可以用模糊性數(shù)學(xué)的方法來描述。這些方法構(gòu)成了一種模糊性系統(tǒng)理論，構(gòu)成了一種思辨數(shù)學(xué)的雛形，已經(jīng)在醫(yī)學(xué)、氣象、心理、經(jīng)濟(jì)管理、石油、地質(zhì)、環(huán)境、生物、農(nóng)業(yè)、林業(yè)、化工、語言、控制、遙感、教育、體育等方面取得多方面具體的研究和應(yīng)用成果。
模糊理論（Fuzzy Theory）是指用到了模糊集合的基本概念或連續(xù)隸屬度函數(shù)的理論，可分為模糊數(shù)學(xué)，模糊系統(tǒng)，不確定性和信息，模糊決策，模糊邏輯與人工智能眾多分支，它們并不是完全獨(dú)立的，之間存在著緊密的聯(lián)系，例如，模糊控制就會用到模糊數(shù)學(xué)和模糊邏輯中的概念。從實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)來看，模糊理論的應(yīng)用大部分集中在模糊系統(tǒng)上，尤其集中在模糊控制上，也有一些模糊專家系統(tǒng)應(yīng)用于醫(yī)療診斷和決策支持。
模糊概念(Fuzzy Concept)是指這個概念的外延具有不確定性，或者說它的外延是不清晰的，是模糊的。例如“青年”這個概念，它的內(nèi)涵我們是清楚的，但是它的外延，即什么樣的年齡階段內(nèi)的人是青年，恐怕就很難說情楚，因?yàn)樵凇澳贻p”和“不年輕”之間沒有一個確定的邊界，這就是一個模糊概念。需要注意的幾點(diǎn)：首先，人們在認(rèn)識模糊性時，是允許有主觀性的，也就是說每個人對模糊事物的界限不完全一樣，承認(rèn)一定的主觀性是認(rèn)識模糊性的一個特點(diǎn)。例如，我們讓100個人說出“年輕人”的年齡范圍，那么我們將會得到數(shù)十個不同的答案。盡管如此，當(dāng)我們用模糊統(tǒng)計的方法進(jìn)行分析時，年輕人的年齡界限分布又具有一定的規(guī)律性；其次，模糊性是精確性的對立面，但不能消極地理解模糊性代表的是落后的事物，恰恰相反，我們在處理客觀事物時，經(jīng)常借助于模糊性。例如，在一個有許多人的房間里，找一位“年老的高個子男人”，這是不難辦到的。這里所說的“年老”、“高個子”都是模糊概念，然而我們只要將這些模糊概念經(jīng)過頭腦的分析判斷，很快就可以在人群中找到此人。如果我們要求用計算機(jī)查詢，那么就要把所有人的年齡，身高的具體數(shù)據(jù)輸入計算機(jī)，然后我們才可以從人群中找這樣的人。最后，人們對模糊性的認(rèn)識往往同隨機(jī)性混淆起來，其實(shí)它們之間有著根本的區(qū)別。隨機(jī)性是其本身具有明確的含義，只是由于發(fā)生的條件不充分，而使得在條件與事件之間不能出現(xiàn)確定的因果關(guān)系，從而事件的出現(xiàn)與否表現(xiàn)出一種隨機(jī)性。而事物的模糊性是指我們要處理的事物的概念本身就是模糊的，即一個對象是否符合這個概念難以確定，也就是由于概念外延模糊而帶來的不確定性。
模糊邏輯(Fuzzy Logic)不是二元邏輯——非此即彼的推理，也不是傳統(tǒng)意義的多值邏輯，而是在承認(rèn)事物隸屬真值中間過渡性的同時，還認(rèn)為事物在形態(tài)和類屬方面具有亦此亦彼性、模棱兩可性——模糊性。模糊邏輯善于表達(dá)界限不清晰的定性知識與經(jīng)驗(yàn)，它借助于隸屬度函數(shù)概念，區(qū)分模糊集合，處理模糊關(guān)系，模擬人腦實(shí)施規(guī)則型推理，解決因“排中律”的邏輯破缺產(chǎn)生的種種不確定問題。模糊邏輯模仿人腦的不確定性概念判斷、推理思維方式，對于模型未知或不能確定的描述系統(tǒng)，以及強(qiáng)非線性、大滯后的控制對象，應(yīng)用模糊集合和模糊規(guī)則進(jìn)行推理，表達(dá)過渡性界限或定性知識經(jīng)驗(yàn)，模擬人腦方式，實(shí)行模糊綜合判斷，推理解決常規(guī)方法難于對付的規(guī)則型模糊信息問題。
模糊系統(tǒng)(Fuzzy System)基于模糊數(shù)學(xué)理論,能夠?qū)κ挛镞M(jìn)行模糊處理。在模糊系統(tǒng)中,元素與模糊集合之間的關(guān)系是不確定的,即在傳統(tǒng)集合論中元素與集合“非此即彼”的關(guān)系不適合模糊邏輯。元素與模糊集合的隸屬關(guān)系是通過隸屬度函數(shù)來度量的。當(dāng)一個元素確定屬于某個模糊集合,則這個元素對該模糊集合的隸屬度為1;當(dāng)這個元素確定不屬于該模糊集合時,則此時的隸屬度值為0;當(dāng)無法確定該元素是否屬于該模糊集合時,隸屬度值為一個屬于0到1之間的連續(xù)數(shù)值。模糊系統(tǒng)能夠很好處理人們生活中的模糊概念,清晰地表達(dá)知識,而且善于利用學(xué)科領(lǐng)域的知識,具有很強(qiáng)的推理能力。模糊系統(tǒng)主要應(yīng)用在自動控制、模式識別和故障診斷等領(lǐng)域并且取得了令人振奮的成果,但是大多數(shù)模糊系統(tǒng)都是利用已有的專家知識,缺乏自學(xué)習(xí)能力,無法對自動提取模糊規(guī)則和生成隸屬度函數(shù)。針對這一問題,可以通過與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法等自學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的算法融合來解決。目前,很多學(xué)者正在研究模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和神經(jīng)模糊系統(tǒng),這是對傳統(tǒng)算法研究和應(yīng)用的創(chuàng)新。
把模糊概念和一些傳統(tǒng)算法及智能算法結(jié)合起來，形成了一大批的模糊算法，下面簡舉幾例。
模糊遺傳算法(Fuzzy？Genetic Algorithm)是指基于模糊邏輯的遺傳算法，是當(dāng)前遺傳算法發(fā)展的一個新方向。它充分利用了人們對遺傳算法已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，并且修正和完善了這些經(jīng)驗(yàn)，有助于對遺傳算法的遺傳算子及參數(shù)設(shè)置與遺傳算法性能關(guān)系的理解；同時在遺傳算法運(yùn)行過程中，實(shí)現(xiàn)了對遺傳算法參數(shù)或算子的動態(tài)調(diào)整，保證了整個遺傳算法搜索過程中合理的利用性和探索性關(guān)系。把模糊邏輯用于遺傳算法，是從兩個方面著手的：一方面，把已有的關(guān)于遺傳算法的知識和經(jīng)驗(yàn)用模糊語言來描述，并用于在線控制遺傳操作和參數(shù)設(shè)置，形成動態(tài)遺傳算法；另一方面，借鑒模糊邏輯及模糊集合運(yùn)算的思想，得到模糊編碼和相應(yīng)模糊遺傳操作，以改進(jìn)遺傳算法的性能。
模糊聚類算法(Fuzzy Cluster Algorithm)是一種采用模糊數(shù)學(xué)語言對事物按一定的要求進(jìn)行描述和分類的數(shù)學(xué)方法，一般是指根據(jù)研究對象本身的屬性來構(gòu)造模糊矩陣，并在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來確定聚類關(guān)系，即用模糊數(shù)學(xué)的方法把樣本之間的模糊關(guān)系定量的確定，從而客觀且準(zhǔn)確地進(jìn)行聚類。聚類就是將數(shù)據(jù)集分成多個類或簇，使得各個類之間的數(shù)據(jù)差別應(yīng)盡可能大，類內(nèi)之間的數(shù)據(jù)差別應(yīng)盡可能小，即為“最小化類間相似性，最大化類內(nèi)相似性”原則。聚類分析是數(shù)理統(tǒng)計中的一種多元分析方法，它是用數(shù)學(xué)方法定量地確定樣本的親疏關(guān)系，從而客觀地劃分類型。事物之間的界限，有些是確切的，有些則是模糊的。例人群中的面貌相像程度之間的界限是模糊的，天氣陰、晴之間的界限也是模糊的。當(dāng)聚類涉及事物之間的模糊界限時，需運(yùn)用模糊聚類分析方法。模糊聚類分析廣泛應(yīng)用在氣象預(yù)報、地質(zhì)、農(nóng)業(yè)、林業(yè)等方面。通常把被聚類的事物稱為樣本，將被聚類的一組事物稱為樣本集。模糊聚類分析有兩種基本方法：系統(tǒng)聚類法和逐步聚類法。
模糊數(shù)學(xué)及其計算的產(chǎn)生不僅拓廣了經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且也是計算機(jī)科學(xué)向人們的自然機(jī)理方面發(fā)展的重大突破。它在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會學(xué)等問題的廣泛應(yīng)用領(lǐng)域中顯示了巨大的力量，雖然發(fā)展的歷史并不很長，但已被國內(nèi)外數(shù)學(xué)界以及信息、系統(tǒng)、計算機(jī)和自動控制科技界人員的普遍關(guān)注，具有極其廣闊應(yīng)用前景。