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中科院力學所
骨頭、牙齒為什么會有超高的斷裂強度？——微觀世界中的缺陷不敏感現(xiàn)象
力學園地
2013年12月17日
骨頭、牙齒、貝殼等一類生物材料在長期的演化歷程中形成了跨越宏觀、微觀與納觀的多分級結(jié)構(gòu)，其中的微結(jié)構(gòu)尺度只有微米或納米量級(所以科學家們稱之“微觀”或“納觀”結(jié)構(gòu))，因而呈現(xiàn)了許多令人驚奇的功能。圖1所示的便是骨頭中的多分級結(jié)構(gòu)，可以看到這里將骨頭從最小結(jié)構(gòu)開始劃分為七個級別：第1級(Level 1)是主要分子級組分(Major Components)，第2級(Level 2)是膠原蛋白纖維(Mineralized Collagen Fibril)，第3級(Level 3)是纖維簇(Fibril Array)，第4級(Level 4)是纖維簇堆垛(Fibril Array Patterns)，第5級(Level 5)是基本骨單元(Osteons)，第6級(Level 6)是骨松質(zhì)與骨密質(zhì)(Spongy vs Compact bone)，第7級(Level 7)是整骨(Whole Bone)。大家千萬不要以為大自然造化過于繁瑣，正是這種多分級結(jié)構(gòu)才確保了骨頭、牙齒具有了極高的斷裂強度，得以完成它們支撐龐大身體、咀嚼堅硬食物等等的生物功能。
眾所周知，骨頭中含有難以計數(shù)的空隙(采用力學術語，即是“小缺陷”或“小裂紋”)，這顯然是避免骨架過重的要求。然而，骨頭同時又體現(xiàn)出非常高的斷裂強度，這是確保生物功能的需求。表面上看來，這個現(xiàn)象與傳統(tǒng)斷裂力學的理論相矛盾。通常的工業(yè)生產(chǎn)中，按照傳統(tǒng)斷裂力學理論，人們都是力求減少產(chǎn)品的缺陷以期望提高產(chǎn)品的強度。那么，為什么骨頭里有如此多的缺陷卻具有如此高的強度呢？這里面包含著哪些深刻的自然規(guī)律呢？科學家們發(fā)現(xiàn)，當微結(jié)構(gòu)的特征尺度足夠小的時候(通常是幾十納米到幾百納米)，材料會出現(xiàn)一種“缺陷不敏感”的現(xiàn)象，這一概念最早是由高華健教授等人在2003年提出的(細節(jié)可參閱文獻1，2)。所謂缺陷不敏感現(xiàn)象，就是指當含有缺陷的物體(即裂紋體)的特征尺寸(比如圖2、圖3中的條帶寬度2H)小到一定量級的時候，不管裂紋有多長，不管外載荷有多大，即使載荷水平達到材料的極限強度，含有缺陷的物體也不會發(fā)生裂紋擴展破壞，而是發(fā)生整體破壞。也許大家不太清楚什么是“整體破壞”，它和“裂紋擴展破壞”的不同在哪里呢？對于宏觀尺寸的物體，“裂紋擴展破壞”的過程是裂紋由小到大、一步一步地增殖與發(fā)展，就比如推倒多米諾骨牌，骨牌環(huán)環(huán)相扣地倒下。這樣，人們只需輕輕推倒一張骨牌即可，不需要很大的能量。而“整體破壞”則相當于整個多米諾骨牌的所有單元同時倒下，它需要消耗的能量顯然要大得多。那么，微結(jié)構(gòu)發(fā)生整體破壞的條件是什么呢？僅僅是含有缺陷的物體的尺寸足夠小!人們之所以把這種現(xiàn)象稱作“缺陷不敏感”現(xiàn)象，意思就是說物體沒有“感覺”到其中有缺陷存在。開始討論這種現(xiàn)象時，不少力學工作者也不盡然相信，因而存在著爭議，直到2009年和2011年，庫馬(Kumar)等人給出了實驗驗證，這個概念才普遍地被人們所接受(下面還會介紹他們的工作)。我們可以這樣來解釋這一現(xiàn)象：當含有缺陷的物體足夠小時，裂紋周圍存儲的能量始終達不到裂紋擴展所需要的能量，所以裂紋無論如何也不會發(fā)生擴展。如果仍用前面的多米諾骨牌來做比方的話，那么就是因為空間太小，所有的多米諾骨牌緊緊地連在一起變成了一道長城，這就必須把長城整體推倒才行。這種缺陷不敏感特性極大地提高了多分級結(jié)構(gòu)的強度，它使得每一個結(jié)構(gòu)微元都能發(fā)揮其最大的作用，即使結(jié)構(gòu)存在一些缺陷，也對整體強度影響甚微。這是因為，結(jié)構(gòu)缺陷對整體強度的影響主要來自缺陷周圍的應力奇異性(所謂“應力奇異性”，就是指裂紋體中小缺陷周圍的應力水平遠高于其他區(qū)域)，從斷裂力學的角度來看，這種缺陷不敏感狀態(tài)減弱(甚至消除)了應力奇異性。再具體一點，我們可以這樣來解釋：因為應力奇異性來源于裂紋體的變形不協(xié)調(diào)，當裂紋體的尺寸比較大時，裂紋附近處與遠離裂紋處相比受力非常不均勻，這樣就產(chǎn)生了應力的“奇異性”。但是在尺寸特別小的物體中，整個空間就都在裂紋的附近，這樣受力不均勻的現(xiàn)象就被減弱甚至消除了。對于前一種情況，相當于個子非常高的人和個子非常矮的人一起搬東西，個子矮的人就使不上力氣；而對于后一種情況，相當于全部是矮個子的人在搬東西，大家可以均勻一致地用力氣?？傊⑿〕叨鹊奈矬w中，由于應力趨向于均勻分布，從而提高結(jié)構(gòu)整體的斷裂強度。這樣，科學家不僅解釋了骨頭、牙齒等生物材料的超高斷裂強度，也可以解釋壁虎、樹蛙等生物的驚人粘附能力(細節(jié)可參閱文獻3,4)。在壁虎、樹蛙等生物的粘附過程中，其腳掌上的微結(jié)構(gòu)與粘附基底形成界面裂紋，缺陷不敏感現(xiàn)象使得界面裂紋不發(fā)生擴展，從而提高腳掌微結(jié)構(gòu)的整體粘附能力。
高華健教授與陳少華研究員等人在2005年研究了一個含預制裂紋的彈性微尺度條帶受遠場拉伸的斷裂問題(細節(jié)可參閱文獻2)，這里借助于圖2和圖3來簡介之。用通俗的語言來說，就是在寬度為2H的條形材料里(H即為我們需要計算得出的缺陷不敏感現(xiàn)象發(fā)生的特征條帶尺寸)，事先人為地“制造”出長度為2a小裂紋，然后他們從理論上分析在不同的條帶寬度與裂紋尺寸下，條帶何時發(fā)生破壞？破壞形式如何(具體說，是裂紋擴展破壞還是整體斷裂破壞)？按照研究目的，這些裂紋可以在邊緣處(如圖2)，也可以放在中心處(如圖3)，它們分別叫作“邊裂紋”(Edge Crack)和“中心裂紋”(Central Crack)。
對于力學家來說，一般不會滿足于僅僅完成某個具體的材料強度性能的研究，他們往往會進一步從理論上開展分析研究，以期給出若干普適性的結(jié)果。高華健和陳少華兩位就是如此，他們分別基于Griffith模型與Dugdale模型，從理論上推導出了彈性條帶出現(xiàn)缺陷不敏感現(xiàn)象的條件，預測了臨界缺陷不敏感特征尺寸H。不僅如此，他們還給出有限元模擬的結(jié)果(FEM Center Crack and FEM Edge Crack)，并與以上近似理論結(jié)果(Approximate Solution)比較，如圖4所示。圖中橫坐標代表無量綱的裂紋尺寸(裂紋尺寸與條帶寬度之比)，縱坐標代表無量綱的條帶半寬度(其中分母是一個材料的內(nèi)秉尺寸，分子H*表示寬度為H的條帶剛好發(fā)生裂紋擴展破壞時的臨界寬度值)。圖中曲線的物理意義為裂紋發(fā)生擴展破壞的臨界線，它把整個平面分成兩個區(qū)域：曲線上面的區(qū)域代表裂紋體發(fā)生“裂紋擴展破壞”的區(qū)域；曲線下面的區(qū)域代表裂紋體發(fā)生“整體破壞”的區(qū)域。而曲線最低點對應的條帶寬度(圖中用虛線FT標出)就叫做“缺陷不敏感寬度”，它表示：當條帶半寬度H小于此尺寸時，不管裂紋半長度a的大小如何，即使載荷水平到了材料的理想強度，裂紋也不會擴展，而將是發(fā)生整體破壞。
以上的工作，從理論上，預測了缺陷不敏感現(xiàn)象的存在。而在實驗上，Kumar等人用納米級薄片進行了拉伸試驗，驗證了缺陷不敏感的存在(細節(jié)可參閱文獻5，6)。他們搭建了如圖5所示的微機電系統(tǒng)，對含有預制裂紋的納米薄片試樣進行單軸拉伸斷裂實驗，并用透射電子顯微鏡在原位觀察這個受拉試樣的變形演化過程。實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)：試樣在遠離預制裂紋的地方發(fā)生破壞，而且預制裂紋周圍沒有觀察到明顯的應力集中現(xiàn)象。這就用實驗結(jié)果表明：在微納尺度條件下，缺陷不敏感確實存在。由此可以得到如下的結(jié)論：在宏觀尺度下，傳統(tǒng)斷裂力學預測在裂紋附近會發(fā)生應力集中，裂紋將在應力集中處擴展并發(fā)生局部破壞；在微納尺度下，材料中的應力則是趨向于均布而最終發(fā)生整體破壞。與此同時，他們還進行了分子動力學模擬計算，也得出了類似的結(jié)論。
當然，對于像骨頭這樣富含蛋白質(zhì)的生物材料，和金屬等非生物材料不同，其材料性質(zhì)通常是與時間相關的粘彈性(細節(jié)可參閱文獻7，8)。所謂“粘彈性”就是指力與變形之間的時間效應，舉個簡單例子：用力在胳膊上咬一口，會留下深深的牙印，過一段時間，牙印才會消失，這就是典型的粘彈性現(xiàn)象。粘彈性現(xiàn)象不僅僅體現(xiàn)在變形的滯后，還會體現(xiàn)在不同的加載速率下，材料體現(xiàn)出的“彈性模量”不同。一般而言，在無限小與無限大的加載速率下，粘彈性材料的力學行為與彈性材料相同，這兩種情況下粘彈性材料體現(xiàn)出的“彈性模量”分別稱作“無窮模量”與“瞬時模量”。陳少華研究團隊的陳磊等人分別基于Griffith模型與Dugdale模型討論了一個含中心裂紋的粘彈性受拉伸條帶的微觀斷裂機制與缺陷不敏感特性(如圖6所示)，其中假設條帶的粘彈性本構(gòu)模型為標準線性固體(如圖7)。
圖8給出的是在不同加載速率下，可以發(fā)生裂紋擴展的臨界條帶寬度與裂紋尺寸之間的關系，其中a與b分別表示Griffith模型與Dugdale模型的結(jié)果。與圖4類似，圖中橫坐標代表無量綱的裂紋尺寸(裂紋尺寸與條帶寬度之比)，縱坐標代表無量綱的條帶半寬度，圖中曲線的物理意義為裂紋發(fā)生擴展破壞的臨界線。類似地，這些曲線把整個平面分成兩個區(qū)域：曲線上面的區(qū)域代表裂紋體發(fā)生裂紋擴展破壞的區(qū)域；曲線下面的區(qū)域代表裂紋體發(fā)生整體破壞的區(qū)域。而缺陷不敏感尺寸對應的是使所有長度的裂紋均不發(fā)生擴展的最大條帶寬度，即圖8中曲線的最低點所對應的條帶寬度Wft，不同顏色的曲線代表不同加載速率的結(jié)果。兩種模型的結(jié)果都說明：加載速率越高，缺陷不敏感尺寸越大。這意味著在沖擊載荷下，生物材料的粘彈性提供了一種抵抗動態(tài)斷裂的保護機制。這就是生物在大自然“適者生存”原則下不斷進化的結(jié)果!
圖8a Griffith模型的缺陷不敏感分析
圖8b Dugdale模型的缺陷不敏感分析
圖9示出了不同加載速率與缺陷不敏感寬度之間的關系：橫軸表示無量綱的加載速率的對數(shù)(之所以用對數(shù)坐標，是因為最小速率與最大速率相差8個數(shù)量級，如果放在線性坐標下，大速率的結(jié)果將會淹沒小速率的結(jié)果)，縱軸表示缺陷不敏感發(fā)生時的臨界條帶寬度，參量表示無量綱的裂紋尺寸(即裂紋長度與條帶寬度之比)。在這里， 取值0.33是因為在圖8b中 =0.33時裂紋更容易發(fā)生缺陷不敏感，所以該值使得結(jié)果更具代表性。從圖中可以看出：對于非常高或者非常低的加載速率，缺陷不敏感寬度都收斂于彈性解，(圖中左右兩端的點分別對應無窮小與無窮大加載速率下的彈性解，分別對應上文中提到過的粘彈性材料的無窮模量與瞬時模量)，這與粘彈性圓柱與剛性基底的缺陷不敏感粘附的數(shù)值分析結(jié)果相一致(細節(jié)可參閱文獻9)。
我們該如何解釋粘彈性材料中的缺陷不敏感現(xiàn)象呢？從能量角度出發(fā)(即Griffith模型)，粘彈性條帶的缺陷不敏感可以解釋為：在動態(tài)載荷達到材料的極限強度時，對于粘彈性條帶中任意長度的裂紋，其裂尖奇性場(“裂尖奇性場”是指裂紋尖端周圍因應力高度集中而產(chǎn)生的高能量應變場)所儲存的應變能始終小于形成新裂紋面所需的能量，因此不會發(fā)生擴展破壞。從位移角度出發(fā)(即Dugdale模型)，若要材料發(fā)生缺陷不敏感，則在動態(tài)載荷達到材料的極限強度時，對任意長度的初始裂紋，粘彈性裂紋張開位移始終小于分子的有效作用距離。所以，材料微結(jié)構(gòu)的尺寸是一個很關鍵的因素!
缺陷不敏感現(xiàn)象已經(jīng)引起了科技工作者的高度重視，這可為新型功能材料提供原創(chuàng)性的仿生設計思想，也為制作超強粘附表面提供了新的思路。而針對材料粘彈性性質(zhì)的討論，解釋了為什么骨頭在不同的加載速率下都能保持超高的斷裂韌性，并且巧妙利用粘彈性性質(zhì)就可以實現(xiàn)缺陷敏感與缺陷不敏感兩種狀態(tài)的轉(zhuǎn)變。這點在斷裂控制與可逆粘附等方面都有著潛在的應用價值。
參考文獻 1 Gao, H., Ji, B., J？ger, I. L., Arzt, E., and Fratzl, P., 2003. Materials Become Insensitive to Flaws at Nanoscale: Lessons from Nature. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 100, 5597-5600. 2 Gao, H., Chen, S., 2005. Flaw Tolerance in a Thin Strip Under Tension. J. Appl. Mech. 72, 732–737. 3 Gao, H., Wang, X., Yao, H., Gorb, S., Arzt, E., 2005. Mechanics of Hierarchical Adhesion Structures of Geckos. Mech. Mater. 37, 275-285. 4 Yao, H., Gao, H., 2006. Mechanics of Robust and Releasable Adhesion in Biology: Bottom-up Designed Hierarchical Structures of Gecko. J. Mech. Phys. Solids 54, 1120-1146. 5 Kumar, S., Haque, M.A., Gao, H., 2009. Notch Insensitive Fracture in Nanoscale Thin Films. Applied Physics Letters 94, 253103-253104. 6 Kumar, S., Li, X. Y., Haque, A., Gao, H. J., 2011. Is Stress Concentration Relevant for Nanocrystalline Metals? Nano Lett. 11, 2510-2516. 7 Abou Neel, E. A., Salih, V., Revell, P. A., Young, A. M., 2012. Viscoelastic and Biological Berformance of Low-modulus, Reactive Calcium Phosphate-Filled, Degradable, Polymetric Bone Adhesive. Acta Biomater. 8, 313-320. 8 Deymier-Black A. C., Yuan, F., Singhal, A., Almer, J. D. Brinson, L. C., Dunand, D. C., 2012. Evolution of Load Transfer Between Hydroxyapatite and Collagen During Creep Deformation of Bone. Acta Biomater., 8, 253-261. 9 Chen, S., Xu., G., Soh, A., 2010., Size-Dependent Adhesion Strength of a Single Viscoelastic Fiber. Tribol Lett 37, 375–379.
圖1 骨頭的多分級結(jié)構(gòu)
高華健教授與陳少華研究員等人在2005年研究了一個含預制裂紋的彈性微尺度條帶受遠場拉伸的斷裂問題(細節(jié)可參閱文獻2)，這里借助于圖2和圖3來簡介之。用通俗的語言來說，就是在寬度為2H的條形材料里(H即為我們需要計算得出的缺陷不敏感現(xiàn)象發(fā)生的特征條帶尺寸)，事先人為地“制造”出長度為2a小裂紋，然后他們從理論上分析在不同的條帶寬度與裂紋尺寸下，條帶何時發(fā)生破壞？破壞形式如何(具體說，是裂紋擴展破壞還是整體斷裂破壞)？按照研究目的，這些裂紋可以在邊緣處(如圖2)，也可以放在中心處(如圖3)，它們分別叫作“邊裂紋”(Edge Crack)和“中心裂紋”(Central Crack)。
圖4 彈性條帶的臨界缺陷不敏感寬度
圖5 納米薄片拉伸實驗
圖8a Griffith模型的缺陷不敏感分析
圖8b Dugdale模型的缺陷不敏感分析
圖9 缺陷不敏感尺寸與加載速率的關系
缺陷不敏感現(xiàn)象已經(jīng)引起了科技工作者的高度重視，這可為新型功能材料提供原創(chuàng)性的仿生設計思想，也為制作超強粘附表面提供了新的思路。而針對材料粘彈性性質(zhì)的討論，解釋了為什么骨頭在不同的加載速率下都能保持超高的斷裂韌性，并且巧妙利用粘彈性性質(zhì)就可以實現(xiàn)缺陷敏感與缺陷不敏感兩種狀態(tài)的轉(zhuǎn)變。這點在斷裂控制與可逆粘附等方面都有著潛在的應用價值。
參考文獻 1 Gao, H., Ji, B., J？ger, I. L., Arzt, E., and Fratzl, P., 2003. Materials Become Insensitive to Flaws at Nanoscale: Lessons from Nature. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 100, 5597-5600. 2 Gao, H., Chen, S., 2005. Flaw Tolerance in a Thin Strip Under Tension. J. Appl. Mech. 72, 732–737. 3 Gao, H., Wang, X., Yao, H., Gorb, S., Arzt, E., 2005. Mechanics of Hierarchical Adhesion Structures of Geckos. Mech. Mater. 37, 275-285. 4 Yao, H., Gao, H., 2006. Mechanics of Robust and Releasable Adhesion in Biology: Bottom-up Designed Hierarchical Structures of Gecko. J. Mech. Phys. Solids 54, 1120-1146. 5 Kumar, S., Haque, M.A., Gao, H., 2009. Notch Insensitive Fracture in Nanoscale Thin Films. Applied Physics Letters 94, 253103-253104. 6 Kumar, S., Li, X. Y., Haque, A., Gao, H. J., 2011. Is Stress Concentration Relevant for Nanocrystalline Metals? Nano Lett. 11, 2510-2516. 7 Abou Neel, E. A., Salih, V., Revell, P. A., Young, A. M., 2012. Viscoelastic and Biological Berformance of Low-modulus, Reactive Calcium Phosphate-Filled, Degradable, Polymetric Bone Adhesive. Acta Biomater. 8, 313-320. 8 Deymier-Black A. C., Yuan, F., Singhal, A., Almer, J. D. Brinson, L. C., Dunand, D. C., 2012. Evolution of Load Transfer Between Hydroxyapatite and Collagen During Creep Deformation of Bone. Acta Biomater., 8, 253-261. 9 Chen, S., Xu., G., Soh, A., 2010., Size-Dependent Adhesion Strength of a Single Viscoelastic Fiber. Tribol Lett 37, 375–379.