穩(wěn)定性漫談

陳立群

上海大學(xué)力學(xué)系，上海 200444

摘要：本文通俗地介紹穩(wěn)定性。首先引入平衡穩(wěn)定性的概念。隨后簡(jiǎn)介了平衡穩(wěn)定性的判斷方法。接著引入了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性概念，并說(shuō)明李雅普諾夫穩(wěn)定性與龐卡萊軌道穩(wěn)定性的區(qū)別。最后簡(jiǎn)要提交與穩(wěn)定性相關(guān)的一些學(xué)科方向。
關(guān)鍵詞： 穩(wěn)定性，平衡穩(wěn)定性，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，軌道穩(wěn)定性

1 引言
穩(wěn)定一詞的字面意思為堅(jiān)持或保持。形容詞“穩(wěn)定的”的英文和法語(yǔ)stable、德文stabil均來(lái)源于拉丁文stbilis。最早見(jiàn)于羅馬共和國(guó)末期的詩(shī)人和哲學(xué)家盧克萊修(Titus Lucretius Carus，約前99年-約前55年)所寫(xiě)的哲理長(zhǎng)詩(shī)《物性論》([1] 140頁(yè))：
因?yàn)樗褪沁@樣動(dòng)的，
一受到最微小的影響就波動(dòng)，
由于它是由會(huì)滾動(dòng)的小形粒子所構(gòu)成；
但是相反地密的本性則是更穩(wěn)定，
它的液汁更富于懶性，它流動(dòng)更遲緩；
因?yàn)樗奈镔|(zhì)更牢結(jié)在一起，
因?yàn)?，?shí)在說(shuō)，構(gòu)成它的粒子，
不是這樣地光滑，不是這樣地小而圓。
在漢語(yǔ)中，“穩(wěn)定”是舶來(lái)品，本土原先很少用，因此始編于1908年主要收錄1840 年以前的漢語(yǔ)詞匯的《辭源》都沒(méi)有收入“穩(wěn)定”。罕見(jiàn)的一個(gè)古代使用例子見(jiàn)于《清史稿 列傳一百七》，其中收有1814年河?xùn)|河道總督栗毓美(1778-1840)上疏，論證用燒磚筑堤的必要性----能在水流沖擊下不動(dòng)，“上年盛漲，較二年及十二年尤猛迅，磚壩均屹立不移。儀睢、中河兩廳，河水下卸，塌灘匯壩，搶鑲埽段，旋即走失，用磚拋?zhàn)o(hù)，均能穩(wěn)定。([2]11656頁(yè))”
傳統(tǒng)漢語(yǔ)中，與穩(wěn)定意思接近的詞是“安穩(wěn)”，意思是平安穩(wěn)妥。除去天下局勢(shì)太平、人心所向的引申含義外，主要用于說(shuō)明行舟的平穩(wěn)無(wú)驚。南朝宋臨川王劉義慶(403-444)所撰《世說(shuō)新語(yǔ) 排調(diào)》記載，東晉書(shū)法家、畫(huà)家顧愷之(348-409)遇風(fēng)浪后寫(xiě)信報(bào)平安，“行人安穩(wěn)，布帆無(wú)恙。([3]438頁(yè))”這一故事也收入《晉書(shū) 列傳第六十二》([4]2404頁(yè))?！端问?志第一百四十八兵九》記載北宋抗金名臣李綱(1083-1140)的主張，“水戰(zhàn)之利，南方所宜。沿河、淮、海、江帥府、要郡，宜效古制造戰(zhàn)船，以運(yùn)轉(zhuǎn)輕捷安穩(wěn)為良。又習(xí)火攻，以焚敵舟。([5]4869頁(yè))”?！肚迨犯?列傳七十九》記載1723年江西巡撫裴幰度(?-1740)上疏設(shè)關(guān)榷稅事宜“九江舊關(guān)，上有龍開(kāi)河、官牌夾，下有老鶴塘、白水港，地勢(shì)寬平，泊舟安穩(wěn)。([6]10311頁(yè))”
除行舟外，安穩(wěn)還用于說(shuō)明人的體態(tài)步態(tài)?！肚f子 應(yīng)帝王》中說(shuō)“泰氏其臥徐徐，其覺(jué)于于”，司馬彪(?-306)注：“徐徐，安穩(wěn)貌。([7]289頁(yè))”《潛夫論 相列》說(shuō)人的相法，“手足欲深細(xì)明直，行步欲安穩(wěn)覆載。([8]310頁(yè))”也用于說(shuō)明車(chē)輛行走安定平穩(wěn)?！稌x書(shū) 志第十五》解釋天子車(chē)的五牛旗的含義，“牛之為義，蓋取其負(fù)重致遠(yuǎn)而安穩(wěn)也。([9]754頁(yè))”
穩(wěn)定性是個(gè)重要而基本的科學(xué)概念，在其發(fā)展過(guò)程中已經(jīng)有含義豐富。我們先從最基本的平衡的穩(wěn)定性談起，隨后說(shuō)明運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。

2 穩(wěn)定性的概念
物理學(xué)中有平衡的概念，物體受合力為零，就處于平衡狀態(tài)。在慣性系(滿足牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律的參考系)中，若物體原先沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，平衡就意味著靜止。一支鉛筆，末端用一根細(xì)線吊起來(lái)，就處于平衡狀態(tài)，因?yàn)榧?xì)線對(duì)鉛筆的拉力與鉛筆自身的重力大小相等、方向相反、作用在同一條直線上，因此合力為零。如果把鉛筆筆尖朝下立在水平桌面上，理論上如果鉛筆立的足夠直，仍然有桌面對(duì)鉛筆的支撐力與鉛筆的重力大小相等、方向相反、作用在同一條直線上，合力為零，故鉛筆可以保持直立狀態(tài)。但事實(shí)上，這與我們的生活經(jīng)驗(yàn)相悖，不論我們?cè)鯓优Φ貒L試，很難把鉛筆筆尖向下直立在在桌面上。
從上面鉛筆的例子中，我們知道平衡其實(shí)有兩類(lèi)。一類(lèi)平衡是物理上有可能實(shí)現(xiàn)的，這種平衡成為穩(wěn)定的。穩(wěn)定平衡的特征是，如果初始受到擾動(dòng)而偏離了平衡位置，只要初始的偏離足夠小，對(duì)平衡位置的小偏離不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變大。另一類(lèi)平衡是物理上很難實(shí)現(xiàn)的，這種平衡稱為不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定平衡的特征是，不論初始受到擾動(dòng)的而偏離平衡位置多么小，對(duì)平衡位置的偏離在一定時(shí)間后總會(huì)大于事先給定的范圍。因此，刻畫(huà)平衡的穩(wěn)定性其實(shí)包含兩個(gè)基本度量，一個(gè)是初始偏離的幅值，另一個(gè)是足夠長(zhǎng)時(shí)間后對(duì)平衡文章的偏離。對(duì)于學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)分析的讀者，可以聯(lián)想到函數(shù)極限的e-d定義或者函數(shù)連續(xù)e-d的定義，從而給出更確切的數(shù)學(xué)描述。
仍以前面提到的鉛筆為例。筆尖向下的鉛筆之所以不可能直立在桌面上，是因?yàn)橛捎诓豢杀苊獾臄_動(dòng)存在，例如鉛筆周?chē)諝獾牧鲃?dòng)、桌面的輕微振動(dòng)等，直立的位置要受到擾動(dòng)而有所偏離；一旦偏離，重力作用線就不再過(guò)支撐點(diǎn)，重力對(duì)支撐點(diǎn)的力矩將使鉛筆傾倒，這種偏離會(huì)迅速放大，導(dǎo)致平衡狀態(tài)破壞；因此這種平衡是不穩(wěn)定的。而末端用細(xì)線吊著的的鉛筆，盡管也受空氣流動(dòng)、細(xì)線抖動(dòng)等擾動(dòng)而會(huì)偏離平衡位置；在重力作用線偏離捆綁點(diǎn)后，重力對(duì)細(xì)線捆綁點(diǎn)的力矩將是鉛筆回到直立的位置；這種偏離不會(huì)擴(kuò)大，因此能保持平衡狀態(tài)；這種平衡是穩(wěn)定平衡。
平衡只是要求初始的誤差不擴(kuò)大，但沒(méi)有涉及初始的誤差是不是減小。如果擾動(dòng)導(dǎo)致的初始偏離不僅不增大，反而在時(shí)間足夠大后能回到平衡位置，這種穩(wěn)定性稱為漸近穩(wěn)定性。例如，一粒小米放在半球形的碗里，則碗的最低位置是平衡位置。被移開(kāi)最低位置的小米不會(huì)走的更遠(yuǎn)，因此平衡是穩(wěn)定的。若小米與碗沒(méi)有摩擦，小米也不會(huì)回到平衡位置，而是在平衡位置周?chē)袷帲虼似胶獠皇菨u近穩(wěn)定的。若小米與碗之間存在模型，則小米最后會(huì)重新停在平衡位置上，這就是不僅是穩(wěn)定而且也是漸近穩(wěn)定了。
根據(jù)所涉及問(wèn)題的需要，平衡的穩(wěn)定性還可以進(jìn)行更細(xì)致的刻畫(huà)。如果平衡的穩(wěn)定只是對(duì)很小的初始偏離成立，這種穩(wěn)定性成為局部穩(wěn)定性；如果對(duì)任意大的初始偏離都成立的穩(wěn)定性成為全局穩(wěn)定性。平衡意味著，對(duì)于任意時(shí)間的運(yùn)動(dòng)偏差范圍，都存在一個(gè)初始偏差范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)，運(yùn)動(dòng)偏差幅值小于給定的值。一般而論，運(yùn)動(dòng)偏差幅值與初始偏差范圍的對(duì)應(yīng)數(shù)量關(guān)系，與初始時(shí)刻有關(guān)；如果這種對(duì)應(yīng)關(guān)系與初始時(shí)刻的選擇無(wú)關(guān)，相應(yīng)的穩(wěn)定性稱為一致穩(wěn)定性。穩(wěn)定的各種性質(zhì)可以累加，例如有全局一致漸近穩(wěn)定。
回到開(kāi)始鉛筆能否以筆尖立住的問(wèn)題。雖然在固定的桌面上鉛筆不能直立，但如果把筆尖放在手指頭上，手適當(dāng)運(yùn)動(dòng)，還是有可能保證鉛筆直立。當(dāng)然，這需要練習(xí)以掌握技巧。這種通過(guò)主動(dòng)輸入使得原來(lái)不穩(wěn)定的平衡變成穩(wěn)定的過(guò)程，稱為鎮(zhèn)定。鎮(zhèn)定是很典型的一類(lèi)控制問(wèn)題。

3 平衡穩(wěn)定性的判斷
無(wú)論在理論研究還是工程應(yīng)用中，穩(wěn)定性的判斷都是一個(gè)重要的問(wèn)題。建立穩(wěn)定性的判據(jù)有兩種途徑。一種是發(fā)展一般的判別方法，并應(yīng)用于具體系統(tǒng)。這方面的代表性工作是俄羅斯數(shù)學(xué)家和力學(xué)家李雅普諾夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, 1857-1918)1892年在其博士論文中提出的直接方法又稱第二方法。他的博士論文是劃時(shí)代的工作，其中給出了穩(wěn)定性的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，提出了利用線性化系統(tǒng)本征值判斷穩(wěn)定性的第一方法和構(gòu)造后來(lái)一個(gè)專門(mén)函數(shù)判斷穩(wěn)定性的第二方法?！秶?guó)際控制雜志》在該文發(fā)表100年后，重新發(fā)表該文英文譯文([10])。另一種途徑就是針對(duì)具體的物理系統(tǒng)，發(fā)展相應(yīng)的判別方法。以下介紹后一類(lèi)型工作的例子，所研究的具體系統(tǒng)是保守系統(tǒng)。
最早的穩(wěn)定性判據(jù)是意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家托里拆利 (Evangelista Torricelli, 1608-1647)在1644年提出的。托里拆利是意大利物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和哲學(xué)家伽利略(Galileo Galilei, 1564–1642)的學(xué)生和生命最后2年里的助手，并且在1642年伽利略逝世后繼任的宮廷數(shù)學(xué)家和比薩學(xué)院數(shù)學(xué)教授職位。托里拆利提出，物體系統(tǒng)的重心處于最低位置是，該系統(tǒng)能保持靜止。用現(xiàn)在的術(shù)語(yǔ)，就是處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。這與人們的物理直覺(jué)一致。如果重心不在最低文章，重力的作用就可能是重心下降，從而破壞系統(tǒng)的平衡。如前面所說(shuō)鉛筆的例子，用細(xì)線懸掛的鉛筆重心在最低位置，任何擾動(dòng)破壞平衡都使重心升高，因此這個(gè)平衡是穩(wěn)定的。而直立在桌面上的鉛筆，重心是在最高位置，任意小的擾動(dòng)都能破壞平衡。中國(guó)古籍中也有類(lèi)似說(shuō)法。漢淮南王劉安 (前179－前122) 等所著《淮南子 說(shuō)山訓(xùn)》用“下輕上重，其覆必易。([11] 1109頁(yè))”說(shuō)明末不可以強(qiáng)于本的哲理。玩具“不倒翁”就是利用低重心導(dǎo)致的穩(wěn)定性?！安坏刮獭钡南掳氩糠质莻€(gè)半球形，整個(gè)“不倒翁”的重心在半球形的球心下方，這樣重心就處于最低位置，類(lèi)似與懸掛的鉛筆，不論怎樣偏離直立的平衡位置，都不會(huì)擴(kuò)大偏離而倒下。
中國(guó)的欹器，就是充分利用重心變化而改變穩(wěn)定性的一種酒器。按古代文獻(xiàn)記載，當(dāng)欹器空的時(shí)候傾斜，液體裝到一半時(shí)就會(huì)直立起來(lái)，而在裝得基本滿時(shí)又會(huì)傾斜。相傳春秋五霸齊桓公(前716－前643年)總會(huì)在座位右側(cè)放置欹器來(lái)警惕自己不要驕傲自滿。在齊桓公逝世后，許多人爭(zhēng)相效仿，但因欹器制作不易，后人多用金屬器物上刻上銘文放于右側(cè)代替。這也是座右銘來(lái)源的一種說(shuō)法?！盾髯?宥坐》記載，思想家和教育家孔子(前551-前479)曾借欹器說(shuō)明滿則覆的道理，孔子觀于魯桓公之廟，有欹器焉，孔子問(wèn)于守廟者曰：‘此為何器？’守廟者曰：‘此蓋為宥坐之器，”孔子曰：‘吾聞宥坐之器者，虛則欹，中則正，滿則覆?！鬃宇欀^弟子曰：‘注水焉?！茏愚谒⒅Ｖ卸?，滿而覆，虛而欹，孔子喟然而嘆曰：‘吁！惡有滿而不覆者哉！’([12]520頁(yè))”類(lèi)似記載也見(jiàn)于《孔子家語(yǔ) 三恕》([13] 76頁(yè))。欹器又稱侑卮。據(jù)《文子 九守》，“三皇五帝有戒之器，命有侑卮，其沖即正，其盈即覆。([14]158頁(yè))” 可惜現(xiàn)在尚未出土欹器實(shí)物。
北宋科學(xué)家、政治家沈括(1031-1095)將重心低穩(wěn)定性好的原理應(yīng)用于車(chē)輛設(shè)計(jì)。他在《忘懷錄》中寫(xiě)道，“安車(chē)車(chē)輪不欲高，高則搖?！薄锻鼞唁洝吩瓡?shū)已經(jīng)佚失，引文見(jiàn)于清代類(lèi)書(shū)《古今圖書(shū)集成 明倫匯編 人事典 游部》([15]62頁(yè))。
如果系統(tǒng)不僅受重力作用，還有其它有勢(shì)力如彈簧力，被稱為保守系統(tǒng)。對(duì)于保守系統(tǒng)，1788年，法國(guó)數(shù)學(xué)家和力學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)在其經(jīng)典著作《分析力學(xué)》(有英譯本[16])中證明，勢(shì)能取極小值，平衡穩(wěn)定；勢(shì)能取極大值，平衡不穩(wěn)定。其中涉及的平衡位置應(yīng)該是孤立的，如前述鉛筆線懸或直立的情形，都是孤立平衡位置。后來(lái)這個(gè)結(jié)果有一系列完善和發(fā)展。

4 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性
平衡的穩(wěn)定性強(qiáng)調(diào)受擾動(dòng)而產(chǎn)生初始誤差是否隨時(shí)間放大。從同樣的觀點(diǎn)，還可以考慮初始誤差對(duì)隨后運(yùn)動(dòng)的影響，即運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。一個(gè)系統(tǒng)，在給定的初始條件下做未受擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)；在初始時(shí)刻受到擾動(dòng)，對(duì)應(yīng)改變了的初始條件有受擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)?；\統(tǒng)說(shuō)，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性是要求初始擾動(dòng)充分小時(shí)未受擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)和受擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)足夠接近。運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性顯然是非常有實(shí)際意義的研究課題。例如，所有運(yùn)載工具，外太空中的宇宙飛船，地球附件天空中的噴氣式飛機(jī)，地球表面陸地道路上的車(chē)輛，地球表面海洋湖泊上航行的船只，運(yùn)行都必須平穩(wěn)，不能受到微小的外部影響就顯著改變?cè)瓉?lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
為對(duì)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性有感性認(rèn)識(shí)，可以動(dòng)手做個(gè)小實(shí)驗(yàn)。拿本稍微厚一些的精裝書(shū)，例如字典。把書(shū)放在兩手之間，書(shū)脊對(duì)著自己，讓書(shū)繞其封面和封底的中心點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)。中心點(diǎn)不準(zhǔn)確也問(wèn)題不大。這樣你可以輕而易舉地讓書(shū)旋轉(zhuǎn)幾圈?，F(xiàn)在把書(shū)脊對(duì)著你直立的書(shū)放倒，使書(shū)脊水平并仍對(duì)著自己，拿著書(shū)的頂邊和底邊，繞頂邊和底邊中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)，書(shū)還是能轉(zhuǎn)上幾圈。最后把前面那種水平放置的書(shū)在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)個(gè)直角，兩手拿著書(shū)脊及其對(duì)邊，繞書(shū)脊和對(duì)邊中點(diǎn)的連線旋轉(zhuǎn)，將會(huì)發(fā)現(xiàn)在與前面兩種情形相同的角速度下，書(shū)很容易翻跌和扭歪，很難保持轉(zhuǎn)動(dòng)。前面兩種情形的轉(zhuǎn)動(dòng)具有運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，而后面一種轉(zhuǎn)動(dòng)不穩(wěn)定。這些現(xiàn)象可以用穩(wěn)定性理論嚴(yán)格證明。
運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性與平衡穩(wěn)定性關(guān)系密切。一方面，平衡是運(yùn)動(dòng)的一種特殊情形，因此平衡穩(wěn)定性可以視為運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一種特殊情形。另一方面，如果選取以未受擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方式運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)參考系，在平動(dòng)參考系中研究受擾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)，原來(lái)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性也可以視為在動(dòng)參考系中的平衡穩(wěn)定性。
前面討論平衡穩(wěn)定性和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性都是強(qiáng)調(diào)初始條件對(duì)所有時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的影響。這種穩(wěn)定性稱為李雅普諾夫意義上的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性問(wèn)題的提法，與所研究的對(duì)象有關(guān)。例如，在天體力學(xué)中，人們往往不特別關(guān)注星體具體時(shí)刻的位置，而是考慮初始擾動(dòng)對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，這樣就有了軌道穩(wěn)定性概念。法國(guó)數(shù)學(xué)家和力學(xué)家龐卡萊(Jules Henri Poincar 1854-1912)在1892-1899年間出版的3卷本經(jīng)典著作《天體力學(xué)新方法》(有英譯本[17])中，對(duì)軌道穩(wěn)定性做了系統(tǒng)研究。軌道穩(wěn)定性要求在初始擾動(dòng)充分小時(shí)受擾動(dòng)軌道與未受擾動(dòng)軌道足夠接近。兩種穩(wěn)定性含義不同，李雅普諾夫穩(wěn)定性要求受擾動(dòng)和未受擾動(dòng)軌道上同一時(shí)間兩點(diǎn)間距離足夠小，而龐卡萊的軌道穩(wěn)定性要求軌道之間的法向距離足夠小。天體力學(xué)中還有其它的穩(wěn)定性定義。例如，拉格朗日穩(wěn)定性，只要求受擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)保持有界。在1984年，在阿波羅登月計(jì)劃中起關(guān)鍵作用的美國(guó)德克薩斯大學(xué)奧斯丁分校的工程講席教授西貝赫利(Vector G. Szebehely 1921-1997)就總結(jié)過(guò)，與天體力學(xué)相關(guān)的穩(wěn)定性概念就已經(jīng)超過(guò)數(shù)十種之多( [18])。

5 結(jié)束語(yǔ)
除前面提到的平衡穩(wěn)定性和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性外，還有其它類(lèi)型的穩(wěn)定性理論。例如，對(duì)擾動(dòng)可以有更廣泛的理解，除初始擾動(dòng)外，數(shù)學(xué)建模過(guò)程中忽略的因素，也可以看作一種擾動(dòng)；考察這種建模誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響，就有了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性概念，又稱為魯棒性。穩(wěn)定性理論也在學(xué)科交叉中發(fā)展；穩(wěn)定性思想與計(jì)算方法結(jié)合，發(fā)展成了算法穩(wěn)定性理論；穩(wěn)定性思想與力學(xué)結(jié)合，發(fā)展成了彈性穩(wěn)定性、流動(dòng)穩(wěn)定性等新理論；穩(wěn)定性思想與控制理論結(jié)合，形成了輸入-輸出穩(wěn)定性理論。

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Informal Explanation of Stability

Chen Liqun