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自行車的學問
力學園地
2015年12月27日自行車的學問
武際可
摘要 概略介紹了關于自行車文獻研究的過程以及各種研究的結果。
關鍵詞 自行車 穩(wěn)定性 陀螺效應 前輪尾跡 控制
自行車現在是很普通的一種交通工具。據西方文獻記載，它最早是一種如圖1被稱為“好馬”（dandy horse）的滑行工具，前進的動力是人的腳在地上行走，還是1817年一位名叫德萊斯（Baron von Drais）的德國人發(fā)明的，取得了專利。后來經過許多改進，直到19世紀中葉才發(fā)展到現在的模樣。不過據《清朝野史大觀》記載：“黃履莊所制雙輪小車一輛，長三尺余，可坐一人，不須推挽，能自行。行時，以手挽軸旁曲拐，則復行如初，隨住隨挽日足行八十里?！庇纱丝梢姡圃斓淖孕熊?，前后各有一個輪子，騎車人手搖軸旁曲拐，車就能前進，這是史料最早記載的自行車。可見清朝人黃履莊（1656-？）很早就發(fā)明了類似于自行車的裝置，而且不是用腳蹬而是由手搖動曲柄前進。
比黃履莊大一歲的清初詞人納蘭性德（1655－1685）在他的的筆記小說《淥水亭雜識》中有一段記載：“武侯木牛流馬，古有言是小車者。西人有自行車，前輪絕小，后輪絕大，以高臨下之勢。故平地以得自行。或即木牛流馬乎。而坎曲折，大費人力也?！笨梢娫谇宄?，西方傳教士就已經把當時西方的自行車傳到中國來了。這里說由于前輪小后輪大，能夠“以高臨下”所以平地能夠自行的說法，從力學上是沒有道理的。這在當時力學學科還不成熟，力學知識也不普及的情形下的一種蒙昧的猜想，是可以理解的。至于說到高低不平的道路上，大費人力，是可以理解的。納蘭性德提到的自行車，大約形如圖2或圖3，不過用鏈條傳動的自行車，大約要到19世紀末才普遍使用。
圖1 “好馬”
圖2 前輪小而后輪大的自行車
圖3 最早有鏈條傳動的自行車
現今，對于一般人來說，騎自行車是輕而易舉的事情。早期的研究大多集中注意于如何加速的問題。事實已經證明，它是一種最省力最優(yōu)秀的非機動交通工具。不過要講清楚行進中的自行車為什么不倒的問題，即自行車的控制的問題，可不那么簡單。這就是所謂的“自行車穩(wěn)定性”的問題，即有兩個輪子支起來的自行車，在行進時為什么居然非常穩(wěn)當不會傾覆？一百多年來這項研究吸引了許多著名的力學家、物理學家乃至數學家參加，累計發(fā)表的有名的論文，包括以英、德、法、俄、意大利扥各種語言的論文，在百篇以上，其中還有博士、碩士和學士的畢業(yè)論文，特別是1897年法國科學院，還為之設立過一次懸賞（Prix Fourneyron competition）。令人驚異的是，迄今這個問題很難說已經最后解決了。人們還在繼續(xù)研究。
從1869年英國杰出的力學家、工程師和熱力學家蘭金（William John Macquorn Rankine，1820-1872)發(fā)表了一篇題為《自行車運動的動力學原理》（On the dynamical principles of the motion of velocipedes）。是討論自行車平衡和駕駛的最早的文章。那篇文章只是半定性的討論，對后人的影響不大。其后，茹斯（G. G. R. Routh）(1899年)、惠普耳（Francis Whipple）（1899年）[1]都相繼發(fā)表論文?？ǚ_（E.Carvallo）（1899-1901年提交了300頁的論文，為此獲得法國科學院的懸賞。其后，德國著名的物理學家索墨菲（Arnold Sommerfeld）（1910年）、德國著名數學家克萊因（Felix Klein）(1910年)、著名力學家鐵木辛科和楊（Timoshenko and Young）[2]、力學家鄧哈托（J. P. Den Hartog）（1948年）都在他們的著作或論文中論及自行車的穩(wěn)定性問題。在他們之后有更多的人討論，其中有若干篇學位論文。
在1969年到1970年這一百年間發(fā)表的這許多論文，對自行車行駛的穩(wěn)定性，提出了各種模型，也列出了不同類型的微分方程組。不過其中影響比較大的一種說法，就是自行車前輪的陀螺效應，以至于在許多通俗讀物中都以這種觀點來解釋自行車的穩(wěn)定性。
對于陀螺效應自行車穩(wěn)定性的解釋。我們簡要地來做說明。你拿一枚硬幣，讓它在平面上滾動。如果起始時刻讓它略微傾斜，比方說如圖4傾向左側，你就會發(fā)現，它會向傾斜的這方拐彎，當傾斜角變得愈大時，拐彎的曲率也愈大。最后到傾倒為止。
圖4 滾動的硬幣
現在我們把這個現象從力學上加以分析。傾斜的硬幣受一個由作用在中心的重力和地面支撐力所形成力偶的作用。就是在這個力偶作用下硬幣滾動才發(fā)生拐彎?，F在我們把以上滾硬幣的情況化歸為圖5。令圖中的圓盤為硬幣，它以，圓盤的法線為OH，圓盤所受的力矩以力F與支撐處與之方向相反的力，其力矩的大小以M表示?，F在用握起來的右手四指的方向表示力矩作用的旋轉方向。那么伸直的拇指的方向便是圓盤法線H旋轉的方向。也就是說圓盤繞Y軸以角速度 來旋轉，這就是圓盤拐彎所要求的角速度。就是說。旋轉圓盤，如果不受外力矩，它會按照慣性，方向不變地轉動下去，如果受一個外力矩的作用，它的轉動方向會轉動，其轉動的方向的按照上述右手法則，而且轉動的角速度 的大小是與力矩M的大小成比例的。這就是所說的陀螺效應。
熟悉了以上的結果，我們來討論陀螺效應如何能夠使自行車行駛穩(wěn)定。設在行進時自行車欲向左側傾倒，即前輪向左傾斜，這時騎車人操縱把手使前輪向左轉，這相當于給前輪一個向左旋轉的力矩，在這個力矩作用下，根據右手定則，前輪會由傾斜向直立方向運動。同樣如自行車欲向右傾倒，即前輪向右傾斜，這時騎車人通過把手使前輪向右轉，這相當于給前輪一個向右旋轉的力矩，在這個力矩作用下，根據右手定則，前輪會由傾斜向直立方向運動。由此，自行車自然會穩(wěn)定地向前行駛。
圖5？ 圓盤受力矩的運動示意圖
無論從力學原理上來說，還是從騎車人的實際經驗來看，以上自行車陀螺效應的解釋都是行得通的。所以近百年中，這種觀點流行比較普遍，以至于在許多科普書籍中，大半也是介紹這種觀點的。不過對于這種看法，也有人提出異議。著名物理學家索墨菲說：“由車輪的構造看出，陀螺效應是很小的。如果要加強陀螺效應，就應當盡可能用重的車輪的邊緣和輪胎取代輕的。即便如此，這樣弱的陀螺效應對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性才會有少許的貢獻?！?/p>除了陀螺效應的解釋外，1948年鐵木辛科和楊在他們所著的《高等動力學》一書中，還提出了另外一種解釋。這就是，當自行車往一側傾斜時，騎車人就用把手將前輪轉向同一側，由于前輪轉了一個角度，自行車的行進就沿著繞傾斜側的圓周，這時，離心力向圓周外，就會把自行車扶正。由這個解釋，可以得出結論，自行車的速度愈快，所產生的離心力便愈大。所以自行車行進的速度愈快自行車便愈容易控制。不過，這種解釋與人們的經驗有點差別。當人們在平地上把一輛自行車推行到一定速度并且撒手，自行車會無控制地穩(wěn)定地前行一段，這時，即使在中途擾動它一下，它也能夠回復穩(wěn)定。這說明，自行車本身在沒有駕駛的條件下便有能夠穩(wěn)定前行的機制。
1970年，在《今日物理》雜志上，英國人大衛(wèi) 駿斯（ David E. H. Jones）發(fā)表了一篇文章[3]。這篇文章對后來的研究影響很大。文章報道了作者自制了一輛沒有前輪陀螺效應的自行車（圖6），照樣能夠穩(wěn)定地行駛。文章用事實證實了陀螺效應對于自行車行駛的穩(wěn)定性不是主要的。
駿斯的辦法是，在普通自行車前輪邊上，再增加一個平行的輪子，這個輪子通過傳動與前輪旋轉方向相反，旋轉速度相同，這樣從整體上說就抵消了前輪的陀螺效應。盡管這樣，這輛自行車，仍然能夠行駛自如沒有任何困
圖6 駿斯的無陀螺效應的自行車
既然陀螺效應不是自行車穩(wěn)定前行的主要因素。而且即使沒有駕駛，在一定速度之下自行車前行也是穩(wěn)定的，于是就需要尋求新的使自行車穩(wěn)定的因素。
圖7 普通自行車的構造
駿斯最后的結論，是基于我們平常的經驗。當我們將自行車直立時，自行車前輪是向前而沒有偏轉角的。如果我們讓自行車傾斜一個角度，相應地，自行車的前輪也就會隨之偏轉一個角度。這說明，前輪的中心高度是由自行車的傾斜角與前輪的偏轉角的函數。在自行車傾斜時，前輪會偏轉，以使前輪的重心（即前輪的輪心）取最低的位置。之所以能夠這樣，是和自行車構造中設計有一個“前輪尾跡”的長度有關。駿斯用計算機計算了前叉點（即過前輪中心水平線與前叉直線部分的延長線的交點）與自行車的傾斜角和前輪偏轉角的關系。他稱之為“駕駛幾何”（steering geometry）。有了這個結果，就能夠解釋自行車行駛的穩(wěn)定性問題了。
原來當行駛的自行車有一個傾斜角時，自行車的前輪由于有“前輪尾跡”的緣故，會自動向傾斜的一側產生一個偏轉角，由于有這個偏轉角，自行車靠轉彎的離心力便會扶正。因之即使沒有人駕駛，在一定的速度之下，直行的自行車，運動也是穩(wěn)定的。
駿斯還研究了前輪尾跡為負的情形。這種情形下，自行車是很難于駕駛的。因為當自行車傾斜時，它的自然狀態(tài)，是前輪向穩(wěn)定行進所需要的反方向偏轉。由此他的結論是自行車的穩(wěn)定性主要取決于“前輪尾跡”的長度，而陀螺效應只起很次要的作用。所以在設計自行車時，“前輪尾跡”的尺寸，是衡量自行車控制性能的一個很重要的數據。
圖8 前輪尾跡為負的情形
至此，你也許認為關于自行車行駛的穩(wěn)定性問題，應當可以塵埃落定了。其實，事情還在發(fā)展。到2011年，五位學者在《科學》雜志上發(fā)表了一篇文章[4]。他們論證在既沒有陀螺效應也沒有前輪尾跡的條件下，自行車照樣可以行駛得很穩(wěn)定。他們通過一個自行車的模擬品進行實驗（圖9A）。還是增加一個與前輪反轉的輔助輪子，以消除前輪的陀螺效應（圖9B）。前輪尾跡是一個很小的負值。這樣的“自行車”在無人操縱的條件下，照樣行駛得很穩(wěn)定（圖9C）。他們并且對這個模型進行了理論探討，列出了方程組，并且討論了它的穩(wěn)定行駛范圍。他們的研究說明，自行車雖然構造很簡單，但在一定的質量分布情形下，實際上是一種能夠自動控制其行駛穩(wěn)定的交通工具。其原因既不是陀螺效應，也不是前輪尾跡。實在是妙不可言。
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圖9 沒有陀螺效應和前輪尾跡的自行車模型
人們探討自行車的穩(wěn)定性問題，已經經過了一個半世紀。咋一看來，似乎這樣的探討沒有什么實用意義。因為人既然已經能夠自由地駕駛自行車，自行車制造也沒有提出更多的要求。這樣的探求，似乎有一點書呆子的嫌疑。不過，對于真理的探求者來說，如南朝陶弘景所言：“一事不知，以為深恥”。對于未知的事情的尋根問底的精神，正是科學精神所在。另一方面，自行車穩(wěn)定性問題，一開始就是一個人機系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性的難題。在人類實現機械化的過程中，人與機器、人與汽車、人與火車、人與飛機等等，都有一個控制穩(wěn)定性的問題，而在所有這些問題中，也許人與自行車的控制問題更具有挑戰(zhàn)性。因為它的確看似簡單而實際上卻很復雜。也正因為如此，在百多年的研究的道路上，異軍迭起，新意屢出。迄今，也很難說已經達到盡頭。也許在繼續(xù)探求中，它會在實際應用中開出新的花朵來。
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圖 10 愉悅的自行車騎行者
參考文獻
[1]F.J.W.Whipple,The stability of the motion of bicycle, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 30,312(1899).
[2] Timoshenko and Young, Advanced dynamics, McGraw-Hill Book Company, New York,1948
[3] Jones, David E. H. "The stability of the bicycle" . Physics Today 23 (4): 34–40. (1970).
[4] D. G. Kooijman, J. P. Meijaard, J. M. Papadopoulos, A. Ruina, and A. L. Schwab , A bicycle can be self-stable without gyroscopic or caster effects. Science 332 (6027): 339–342. (April 15, 2011).
[5] Bicycle and motorcycle dynamics,http://en.wikipedia.org/wiki/Bicycle_and_motorcycle_dynamics
在最后這篇維基百科詞條后附有許多有價值的關于自行車研究的文獻，可以自由下載。
標題？ The learning about bicycle
Abstract？ In this paper a short summary of the studies and their results on stability of bicycle motion is given。
作者？ Wu Jike？ （Professor，Peking University）