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中科院力學(xué)所
談?wù)剰椝苄粤W(xué)中的簡(jiǎn)化問(wèn)題
力學(xué)園地
2015年12月29日談?wù)剰椝苄粤W(xué)中的簡(jiǎn)化問(wèn)題
徐秉業(yè) 王曉純
（清華大學(xué)） （北方工業(yè)大學(xué)）
摘要：本文討論了彈塑性力學(xué)中的基本假設(shè)、本構(gòu)模型和簡(jiǎn)化分析方法。指出在這一領(lǐng)域中，簡(jiǎn)化是非常重要的和必需的。最簡(jiǎn)單的往往是最合理的，簡(jiǎn)練才是真正的豐富
力學(xué)是從工程實(shí)際中來(lái)的，而工程實(shí)際經(jīng)常是非常復(fù)雜的，要用分析的方法解決這類(lèi)問(wèn)題，是非常困難的，因此，在在研究這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化。
（一），關(guān)于材料的簡(jiǎn)化
在彈塑性力學(xué)中，經(jīng)常要作一些假設(shè)，實(shí)際上這些假設(shè)就是重要的簡(jiǎn)化。例如假設(shè)物體是連續(xù)的，因?yàn)橹挥形矬w是連續(xù)的，物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移才可能是連續(xù)的，從而才可能用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示它們。又比如假設(shè)物體是均勻的，各向同性的，而且在物體中無(wú)初始應(yīng)力，即認(rèn)為整個(gè)物體所有各部分的彈性或塑性性質(zhì)都是相同的，并不隨著坐標(biāo)位置的改變而發(fā)生變化 ，這樣，使分析和計(jì)算大為簡(jiǎn)化。在彈塑性力學(xué)中，對(duì)于材料的假設(shè)，實(shí)際上是一種重要的簡(jiǎn)化，而小變形假設(shè)，即假設(shè)物體受力以后，整個(gè)物體各點(diǎn)的變形都遠(yuǎn)小于物體的尺寸，在此情況下，可不考慮由于變形引起的物體尺寸和位置的變化;在建立幾何方程和物理方程時(shí)，可以略去應(yīng)變、轉(zhuǎn)角的二次冪或二次乘積以上的項(xiàng)，使所得到的關(guān)系式都是線(xiàn)性的，從而方便了分析和計(jì)算。（二）根據(jù)實(shí)驗(yàn)資料對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化
研究應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系時(shí)，材料的單向拉伸曲線(xiàn)是基本依據(jù)，在分析問(wèn)題時(shí)，應(yīng)抓住問(wèn)題的本質(zhì)，對(duì)材料的單向拉伸曲線(xiàn)進(jìn)行簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化的前提是該模型必須和所研究的材料符合較好，而且數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中常遇到的材料，經(jīng)常采用以下一些簡(jiǎn)化的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系模型，即：線(xiàn)彈性模型、非線(xiàn)性彈性模型、理想彈塑性模型、線(xiàn)彈性線(xiàn)性強(qiáng)化模型、剛塑性模型、冪強(qiáng)化模型和脆塑性模型。在彈性力學(xué)中，線(xiàn)彈性力學(xué)模型獲得了很好的應(yīng)用。這時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從胡克定律，而且彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的大小而變化。因?yàn)樵谠S多工程問(wèn)題中變形都比較小，符合小變形的假設(shè)，所以計(jì)算結(jié)果和實(shí)際情況符合較好。對(duì)于非線(xiàn)性彈性力學(xué)，由于涉及大變形問(wèn)題，求解具體問(wèn)題比較復(fù)雜，所以至今能求解的問(wèn)題仍很少。在塑性力學(xué)中，經(jīng)常將復(fù)雜的拉伸曲線(xiàn)簡(jiǎn)化為理想彈塑性材料模型進(jìn)行研究，這個(gè)模型雖然比較簡(jiǎn)單，但由于需要區(qū)分彈性和塑性?xún)蓚€(gè)不同的區(qū)域進(jìn)行研究，具體分析時(shí)，仍比較復(fù)雜，所以只在一些簡(jiǎn)單問(wèn)題中，獲得了解析解。由于剛塑性材料的計(jì)算模型簡(jiǎn)單，所以在結(jié)構(gòu)塑性極限分析和全屬塑性成形的問(wèn)題中獲得了廣泛的應(yīng)用，而且得到了許多有價(jià)值的理論分析成果。在研究具有強(qiáng)化性質(zhì)的材料時(shí)，采用冪強(qiáng)化材料模型是比較方便的，因?yàn)樗臄?shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單。在加載過(guò)程中不需要按彈性區(qū)和塑性區(qū)去進(jìn)行分析，因而便于應(yīng)用。
在采用各種變形體模型分析問(wèn)題過(guò)程中，將單向拉伸曲線(xiàn)推廣到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的等效應(yīng)力和等效應(yīng)變曲線(xiàn)，即采用單一曲線(xiàn)假定具有重要意義。這一簡(jiǎn)化在比例變形情況下有實(shí)驗(yàn)依據(jù)。
（三）求解彈塑性力學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化方法
（1）線(xiàn)彈性力學(xué)問(wèn)題的求解 在彈塑性力學(xué)中，為了能通過(guò)已知量求出應(yīng)力、應(yīng)變和位移等未知量，首先要從問(wèn)題的靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面出發(fā)，建立這些未知量所滿(mǎn)足的彈性力學(xué)基本方程和相應(yīng)的邊界條件。在幾何學(xué)方面要求物體在變形前和變形后都是連續(xù)的，據(jù)此建立起位移和應(yīng)變之間的關(guān)系。在靜力學(xué)方面主要是建立物體的平衡條件，反映這個(gè)規(guī)律的數(shù)學(xué)方程有平衡微分方程和載荷的邊界條件。在物理學(xué)方面則要建立應(yīng)力與應(yīng)變或應(yīng)變?cè)隽恐g的關(guān)系，在線(xiàn)彈性體中，應(yīng)力與應(yīng)變呈線(xiàn)性關(guān)系，這就是大家熟知的廣義胡克定律。
在線(xiàn)彈性力學(xué)中，平面問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，在此情況下，有3個(gè)應(yīng)力分量，3個(gè)應(yīng)變分量和2個(gè)位移分量，一共有8個(gè)未知函數(shù)。而已有的是8個(gè)條件，它們是2個(gè)平衡方程，3個(gè)幾何方程和3個(gè)物理方程，因而問(wèn)題是有解的。但是，這里所遇到的問(wèn)題是要聯(lián)立求解5個(gè)微分方程和3個(gè)代數(shù)方程，在數(shù)學(xué)上仍會(huì)遇到許多困難。因此發(fā)展了一個(gè)用應(yīng)力函數(shù)求解彈性力學(xué)平面問(wèn)題的方法。所謂應(yīng)力函數(shù)方法就是要找到一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足平衡條件又滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件以及物理?xiàng)l件，所以只要這個(gè)函數(shù)能滿(mǎn)足問(wèn)題邊界條件，則用這個(gè)函數(shù)表示的應(yīng)力，便是所要找的應(yīng)力。有了應(yīng)力便可以通過(guò)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系找出應(yīng)變，最后再通過(guò)應(yīng)變與位移的關(guān)系找出滿(mǎn)足位移邊界條件的位移。
（2）彈塑性力學(xué)問(wèn)題的求解 在彈塑性力學(xué)中本構(gòu)關(guān)系的研究卻要復(fù)雜得多。首先彈塑性體的本構(gòu)關(guān)系中，應(yīng)力和應(yīng)變之間已經(jīng)沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，應(yīng)變的大小，不僅與載荷有關(guān)，而且與變形歷史有關(guān)。在具體求解邊值問(wèn)題時(shí)往往遇到許多數(shù)學(xué)上的困難。在塑性力學(xué)求解問(wèn)題中，對(duì)屈服函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化具有重要意義。從計(jì)算角度來(lái)看，當(dāng)主應(yīng)力大小次序?yàn)橐阎獣r(shí)，應(yīng)盡量采用特雷斯卡屈服條件.因?yàn)樗且唤M線(xiàn)性代數(shù)方程式，求解問(wèn)題比較方便。若采用最大正應(yīng)力屈服條件時(shí)，有時(shí)使計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)化，而計(jì)算結(jié)果與用其他屈服條件所獲得的結(jié)果相差并不大。利用這種線(xiàn)性化了的屈服條件計(jì)算各種邊界條件的環(huán)板和軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)都獲得了很有好的結(jié)果。
為此，塑性力學(xué)發(fā)展了許多行之有效的方法，例如，靜定問(wèn)題求解法、滑移線(xiàn)法、主應(yīng)力法、能量法、參數(shù)方程法、加權(quán)殘值法和界線(xiàn)法等?，F(xiàn)選兩種比較成功且經(jīng)常使用的方法介紹如下:
（a）靜定問(wèn)題求解法 這類(lèi)問(wèn)題又稱(chēng)簡(jiǎn)單問(wèn)題。其特點(diǎn)是平衡方程、屈服條件的數(shù)目與所求未知量的數(shù)目相等，因而不用使用塑性力學(xué)中的非線(xiàn)性的本構(gòu)關(guān)系便能找出所求的未知量。塑性力學(xué)中的一維問(wèn)題大都屬于這類(lèi)問(wèn)題。例如旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)、厚壁圓筒、厚壁圓球、實(shí)心和空心受扭圓軸、各種截面梁的彈塑性彎曲等都屬于這類(lèi)問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題雖然求解簡(jiǎn)便，但在工程實(shí)際中卻經(jīng)常遇到，因此很有應(yīng)用價(jià)值。
（b）界限法 又稱(chēng)上、下限法，是一種很有應(yīng)用價(jià)值的分析方法。由于塑性力學(xué)的物理關(guān)系是非線(xiàn)性的，因而要找到能滿(mǎn)足全部塑性力學(xué)方程的解是非常困難的，因此若能找到滿(mǎn)足一部分方程的解，而又能對(duì)這些解的性質(zhì)作出估計(jì)，這項(xiàng)工作是很有意義的。在界限法中，將塑性力學(xué)的方程分為兩類(lèi):第一類(lèi)方程包括平衡方程、屈服條件和力的邊界條件，這些條件稱(chēng)為靜力條件，在這些條件中完全不包括幾何方面的要求。若某一個(gè)解能滿(mǎn)足上述的靜力條件，則稱(chēng)該解為靜力解，用靜力解求得的極限載荷一定比完全解所求得的極限載荷小，最多等于完全解的極限載荷。這里所謂的完全解就是滿(mǎn)足塑性力學(xué)全部條件的解。另一類(lèi)方程 則包括外力所作的功等于內(nèi)部所耗散功的條件以及結(jié)構(gòu)的幾何邊界條件，這里沒(méi)有考慮靜力方面的要求，用這種方法求解，稱(chēng)為機(jī)動(dòng)法，用機(jī)動(dòng)法所求得的極限載荷一般都比完全解所求得的極限載荷大，其中最小的載荷可能與完全解所求得的極限載荷相等。機(jī)動(dòng)法又稱(chēng)上限法。上限法在金屬塑性成形問(wèn)題中和板殼塑性極限分析中獲得了非常廣泛的應(yīng)用。破壞機(jī)構(gòu)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法找到。最合理的破壞模式也就是和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致的模式。
(四) 結(jié)論
由以上討論看出，在彈塑性力學(xué)中，從材料、變形規(guī)律和求解問(wèn)題方法都需要進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，因?yàn)楹?jiǎn)化得合理，才能求得結(jié)果而且所獲得的結(jié)果才會(huì)和實(shí)際問(wèn)題吻合良好。學(xué)好彈塑性力學(xué)的主要目的是把所學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用到解決工程實(shí)際問(wèn)題，而工程實(shí)際問(wèn)題往往都是非常復(fù)雜的，因此在學(xué)好彈塑性力學(xué)的基礎(chǔ)上，要繼續(xù)學(xué)會(huì)對(duì)復(fù)雜工程問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，忽略次要矛盾，抓住主要矛盾，用這一思路去分析問(wèn)題和研究問(wèn)題一般都能獲得比較理想的結(jié)果。
參 考 文 獻(xiàn)
1徐秉業(yè)編著 簡(jiǎn)明彈塑性力學(xué) 北京 高等教育出版社2011
About the Simplification in Theory of Elasticity and PlasticityXu Bingye Wang Xiaochun
(Tsinghua University) (North China University of Technology)
(abstract)
The present paper is concerned with the basic hypothesis, constitutive model of materials and some simplified methods in the theory of elasticity and plasticity. It is demonstrated that the simplification in this field is very important and necessary.