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紙折螺旋槳和直升機的自動降落
力學園地
2016年01月04日紙折螺旋槳和直升機的自動降落 田愛平，姜愛民，張慧 （海軍航空工程學院 飛行器工程系，山東 煙臺 264001） 中圖分類號：TB 0311 文件標識碼：A THE AUTOROTATION OF PAPER PROPELLERS AND HELICOPTER TIAN Aiping, JIANG Aimin, ZHANG Hui （Department of Airborne Vehicle Engineering，Naval Aeronautical Engineering Institute，Yantai 264001，China）
僅僅一根小紙條就能夠制作一個很好玩的螺旋槳，如圖1所示。也許讀者自己就曾經(jīng)制作過這樣的小玩具，為童年的自己或以長者身份博身邊孩童一笑。將此小制作從較高位置釋放，其將會旋轉(zhuǎn)著慢慢下落。玩具雖小卻蘊含著深刻的力學原理，并在工程中得到應(yīng)用。
圖1 紙折螺旋槳 1 紙折螺旋槳的制作方法 現(xiàn)把此螺旋槳的制作方法簡述如下。
圖2 制作螺旋槳的紙條 首先將普通復印紙用剪刀剪成長條狀，如圖2所示（為方便區(qū)分前后紙面，紙的背面以灰色表示）。其次將剪好的紙條沿圖2中裁剪線剪開。再其次將剪開部分以圖2中翻折線為軸前后反向翻折，形成兩“翼”，兩翼間夾角小于或等于180 為宜；未剪開部分我們稱為“身”。最后在身的下端中間位置卡上一枚回形針。制作完畢，最終效果如圖1所示。我們不妨稱這種構(gòu)型的螺旋槳為構(gòu)型一?；匦吾槻⒉皇潜仨毜?，換做其他物品亦可，但不宜太重，其作用是使整個小制作的重心下移，旋轉(zhuǎn)下落時方向性會更穩(wěn)定。 若改變制作方法，還可以有新的構(gòu)型。 首先將如圖2所示紙條的實線部分剪開；其次將紙條身部沿著中心線對折，并用雙面膠粘好；再其次將剪開部分以虛線為軸前后反向翻折，形成兩翼，兩翼間夾角無限制；最后在身部末端卡上回形針。將這種構(gòu)型的螺旋槳稱為構(gòu)型二，如圖3所示。
圖3 構(gòu)型二的制作 若采用與構(gòu)型一完全相同的制作方法，但把材料由普通復印紙換成硬卡紙，兩翼間夾角等于180 ，且兩翼與身成直角。稱此構(gòu)型為構(gòu)型三。 不妨試一試構(gòu)型二及構(gòu)型三的下落效果。很遺憾，這兩種構(gòu)型下落時都不會旋轉(zhuǎn)，且落地時間較構(gòu)型一短很多。這是什么原因呢？ 2 紙折螺旋槳的動力學分析 下面來說說構(gòu)型一的螺旋槳為什么會轉(zhuǎn)起來，同時也就能說明構(gòu)型二、三為何不會旋轉(zhuǎn)。 先分析兩翼夾角為180 的情形。從高處釋放紙折螺旋槳的瞬時，兩翼會受到空氣的阻力，阻力的合力垂直于翼面豎直向上，如圖4所示。
圖4 初始狀態(tài)受力 此種狀態(tài)下兩翼上阻力合力與螺旋槳質(zhì)心軸平行，兩翼阻力及重力形成共面平行力系，且對質(zhì)心軸無力矩。若螺旋槳能一直保持此種形態(tài)，螺旋槳下落時將不會旋轉(zhuǎn)。構(gòu)型三就是這種受力情形，硬卡紙的面外彎曲剛度較大，釋放時幾乎不會彎曲，阻力對豎直質(zhì)心軸無驅(qū)動力矩，因此其不會旋轉(zhuǎn)起來。 但普通復印紙面外彎曲剛度非常小，在阻力作用下會發(fā)生彎曲，兩端上翹，作用在翼上的阻力合力的大小和方向均會發(fā)生變化。兩翼上的阻力合力會向螺旋槳的中心軸線方向偏轉(zhuǎn)聚攏。螺旋槳釋放后瞬間便在阻力的作用下轉(zhuǎn)變?yōu)閮梢淼膹澢鸂顟B(tài)。 在不改變問題本質(zhì)的前提下，我們假設(shè)兩翼形狀不發(fā)生變化，只是繞著翻折線轉(zhuǎn)過一個角度，轉(zhuǎn)變?yōu)閮梢韸A角小于180 的情形。受力如圖5所示。
圖5 開始旋轉(zhuǎn)時受力狀態(tài) 此種狀態(tài)下兩翼上阻力合力與螺旋槳質(zhì)心軸有一夾角，而且阻力合力作用線與質(zhì)心軸不共面。將阻力分別沿著豎直和水平方向分解，可看出兩翼上的阻力形成力螺旋（兩豎直分量合成主矢，兩水平分量形成主矩），會對質(zhì)心軸產(chǎn)生力矩，使螺旋槳轉(zhuǎn)動起來。顯然，若使構(gòu)型三兩翼的夾角小于180 ，其便能旋轉(zhuǎn)了。 對于構(gòu)型二，在阻力的作用下，不管兩翼彎不彎曲、彎曲程度如何，兩翼上的空氣阻力與螺旋槳整體所受重力始終共面，不會對螺旋槳質(zhì)心軸產(chǎn)生力矩，螺旋槳不會旋轉(zhuǎn)。同時，由于紙條的面外彎曲剛度太小，在兩翼不旋轉(zhuǎn)的狀態(tài)下落時，幾乎會貼在一起，就像一張豎直的紙條快速落地。 旋轉(zhuǎn)起來的兩翼與不旋轉(zhuǎn)的兩翼有很大不同。旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，翼面本質(zhì)上就是一平板機翼，其在旋轉(zhuǎn)過程中會產(chǎn)生慣性力和空氣動力。單個翼片的受力如圖6所示（僅繪出一翼受力且翼根處的約束力未畫出）。
圖6 旋轉(zhuǎn)狀態(tài)翼片受力 空氣動力會使翼面彎曲和傾斜，外端部上翹，慣性力矩和重力矩起到對抗空氣動力力矩的作用，制約了上翹趨勢。此動態(tài)過程中，可以將空氣動力力矩看作干擾力矩，而慣性力矩和重力矩則是恢復力矩的角色?？諝鈩恿α厥挂砻嫔下N的過程，同時也是慣性力矩增長的過程，但此時重力矩會有所減小，三種力矩中，重力矩的作用相對較小，空氣動力力矩和慣性力矩起主導作用。當三種力矩達到平衡時，翼面傾角就能基本保持穩(wěn)定了。 空氣動力的特征與翼面的速度分布特征有關(guān)。現(xiàn)以翼片中心線上一點為例進行速度分析，如圖7（a）所示。
圖7 旋轉(zhuǎn)時翼片速度矢量關(guān)系 以質(zhì)心軸平動坐標系為動參考系，地面為固定參考系，以翼片中心線上一點為動點，則隨質(zhì)心平動的速度為牽連速度 ，豎直向下；繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動的速度為相對速度 ，沿水平方向；相對地面的絕對速度為 。據(jù)速度合成定理可知，三者關(guān)系如圖7（b）所示，為： [1] 假設(shè)螺旋槳的旋轉(zhuǎn)對翼面下方的空氣擾動較弱，可以忽略不計。翼面的迎角由螺旋槳下落速度和繞中心軸轉(zhuǎn)動的角速度共同決定。依據(jù)相對性原理，從翼面速度矢量圖中可以看出，若假定翼面不動，可以認為氣流從翼面前下方吹來，如圖7（c）中的 所示，其與 等值反向。氣流與翼面的夾角稱為迎角，氣流吹向翼片下表面時，迎角為正；氣流吹向翼片上表面時，迎角為負[2]。此處的迎角 為正迎角，能夠產(chǎn)生向上的升力分量，此分量能對抗部分重力，使螺旋槳向下的平動加速度降低，進而延長下落時間。翼面上產(chǎn)生的空氣動力的阻力分量有阻礙翼面旋轉(zhuǎn)的趨勢，兩翼面上的阻力共同作用，形成對螺旋槳繞豎直質(zhì)心軸的阻力矩，當此力矩與前述的驅(qū)動力矩（力螺旋的力偶分量）達到平衡時，螺旋槳將停止加速，以一個比較穩(wěn)定的角速度旋轉(zhuǎn)。 另，從廣義能量守恒的角度同樣能解釋為何旋轉(zhuǎn)的螺旋槳下落時間較長。 若忽略熱能等變化的影響，此問題則可近似以機械能守恒問題對待。下落過程中，以螺旋槳及螺旋槳所能擾動的所有空氣作為研究對象。螺旋槳下落的過程就是螺旋槳本身的勢能向自身動能以及空氣動能轉(zhuǎn)化的過程。若螺旋槳不轉(zhuǎn)動，其對空氣的擾動也會較小，空氣的動能則可以忽略不計，螺旋槳的勢能幾乎全部轉(zhuǎn)化為自身下落時的平動動能。顯然，速度會更快，下落時間會更短。旋轉(zhuǎn)螺旋槳自身動能由兩部分組成，分別為隨質(zhì)心下落的平動動能和繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動的動能。轉(zhuǎn)動越快，轉(zhuǎn)動動能以及對空氣的擾動（與迎角有關(guān)）也會越強，因轉(zhuǎn)動而傳遞給空氣的能量也會越多?？偟臋C械能是守恒的，轉(zhuǎn)動動能和空氣的動能所占比例增高，平動動能所占比例必然減小，表現(xiàn)為下落時的平動速度就會較小，下落時間就會更長。 3 直升機的自動降落 直升機是人類的偉大發(fā)明之一，其靠旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的升力使自身升空并飛行。旋翼的旋轉(zhuǎn)依靠的是發(fā)動機的動力。如果在空中飛行的直升機發(fā)生發(fā)動機故障，突然停車，將會發(fā)生什么？不要想當然的認為只要發(fā)動機停車，直升機就會馬上從天上摔下來。直升機在無發(fā)動機動力的狀態(tài)下的降落稱為自動降落[3]。直升機在設(shè)計時，都會要求其具有在失去動力時，能得到有效控制并以合理的速度返回地面的能力。直升機在發(fā)動機停車時，若控制及時得當，旋翼會繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直升機慢慢下降，能避免快速墜地、機毀人亡。旋轉(zhuǎn)的紙折螺旋槳下落時間較長，落地速度較小的特性中蘊含的力學原理正是現(xiàn)代直升機自動降落安全性保證的重要理論依據(jù)。 直升機在發(fā)動機停車時的自動降落過程中升力的產(chǎn)生與紙折螺旋槳旋轉(zhuǎn)降落過程中升力的產(chǎn)生原理相同，只是前者的動力學過程比后者更復雜一些。 自動降落過程中，直升機旋翼與紙折螺旋槳兩翼相似，旋轉(zhuǎn)時同樣能提供使直升機緩降所需的升力。但是，直升機旋翼平面投影面積較小，且向上傾斜的角度很有限，再者旋翼縱向中心線與旋翼轉(zhuǎn)軸距離較小，類似于圖4中紙折螺旋槳的驅(qū)動力矩非常有限，產(chǎn)生的升力不足以使直升機安全緩降。實際上，自動降落過程中，旋翼旋轉(zhuǎn)的驅(qū)動力矩來自于作用于葉片上的空氣動力。 首先明確一些概念。通常將旋翼葉片橫截面稱為翼型。翼型前緣與后緣的連線稱為翼弦。翼弦與旋翼旋轉(zhuǎn)平面之間的夾角稱為槳距。翼弦與前方來流流線的夾角稱為迎角。旋翼上的升力和阻力與旋翼上的當?shù)赜怯嘘P(guān)。當迎角過大時，旋翼上表面大部分區(qū)域出現(xiàn)渦流，升力急劇降低，阻力急劇升高，此現(xiàn)象稱為失速[2]。 當發(fā)動機停車時，旋翼還在繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，升力向上。因失去發(fā)動機動力，旋翼轉(zhuǎn)速逐漸減小，提供的升力不足以對抗重力，直升機高度開始下降，單位時間內(nèi)下降的高度稱為下降率。此時，旋翼縱向上各點的速度矢量關(guān)系類似于紙折螺旋槳翼片上點的速度矢量關(guān)系（如圖7所示），不同點的絕對速度不同，當?shù)匦碛且矔煌?。如圖8中所示，選擇旋翼上三個不同位置繪出速度矢量關(guān)系。空氣動力用 表示，上標1、2、3代表三個不同位置；各位置牽連速度相同，不以上標區(qū)分。 直升機旋翼翼尖區(qū)域迎角較小，氣動力合力相對于豎直方向向后傾斜，其水平分量阻礙旋翼旋轉(zhuǎn)，如圖8中位置一。旋翼上氣動力有此特征的區(qū)域稱為“被驅(qū)動區(qū)域”。隨著離槳榖距離的減小，當?shù)赜侵饾u變大，氣動力合力相對于豎直方向逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橄蚯皟A斜，其水平分量能驅(qū)動旋翼旋轉(zhuǎn)，如圖8中位置二。旋翼上氣動力有此特征的區(qū)域稱為“驅(qū)動區(qū)域”。持續(xù)靠近槳榖，迎角繼續(xù)增大，當迎角過大時，旋翼將會達到失速狀態(tài)，如圖8中位置三。此區(qū)域稱為“失速區(qū)域”。三種不同區(qū)域在圖8中用虛線示意。
圖8 自動降落時旋翼的氣動力 三個區(qū)域的大小隨旋翼槳距、下降率以及轉(zhuǎn)速不同而變化。當直升機發(fā)動機突然停車時，若能及時合理控制旋翼槳距，調(diào)整三個區(qū)域的比例關(guān)系，就能實現(xiàn)旋翼的持續(xù)旋轉(zhuǎn)并提供一定升力使直升機緩降，減少可能損失。 自轉(zhuǎn)旋翼機旋翼上的空氣動力與紙折螺旋槳和直升機自動降落時的葉片上的空氣動力相似。運用螺旋槳推進，通過無動力旋翼自由旋轉(zhuǎn)提供升力的飛行器稱為自轉(zhuǎn)旋翼機，如圖9所示。自轉(zhuǎn)旋翼機前進時，旋翼以小角度向后傾斜與前方相對來流作用，產(chǎn)生的空氣動力能驅(qū)動自身旋轉(zhuǎn)，并持續(xù)提供整機所需升力，實現(xiàn)升空飛行。 
圖9 自轉(zhuǎn)旋翼機 4 結(jié)束語 力學就在身邊，紙折螺旋槳就是一個小小例證，它實現(xiàn)了認識力學原理從玩具到工程實際的遷移。在學習力學知識的過程中，大家要多留心身邊事物，試著去解釋其中的力學內(nèi)涵并發(fā)現(xiàn)力學美，體會認識自然的樂趣。這也許是學習、理解、固化力學知識的一種不錯方法。 參考文獻 1 劉延柱，朱本華，楊海興．理論力學（第3版）．北京：高等教育出版社，2009 2 匡江紅，王秉良，呂鴻雁．飛機飛行力學．北京：清華大學出版社，2012 3 Anderson DF, Eberhardt S. Understanding Flight(2nd ed.). New York: McGraw-Hill Companies, Inc., 2010
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