三矢矢量積在理論力學(xué)中應(yīng)用的兩例

陳立群

(上海大學(xué)力學(xué)系，上海 200444)

摘要：本文給出三矢矢量積在理論力學(xué)中應(yīng)用的兩個例子。推導(dǎo)了力系簡化中力螺旋中心軸的參數(shù)方程。分析了定軸轉(zhuǎn)動剛體上點的法向加速度。
關(guān)鍵詞：三矢矢量積；力螺旋中心軸；法向加速度；理論力學(xué)

1 引言
三矢矢量積(triple vector product)公式

(1)

可以把三個矢量的矢量積運算轉(zhuǎn)化為兩個矢量的線性組合，組合系數(shù)是相關(guān)矢量的數(shù)量積。該公式出現(xiàn)在一些理論力學(xué)教材中，例如國內(nèi)的教材[1-3]、美國教材[4,5]和德國教材[6]。多數(shù)力學(xué)教材都沒有給出證明，只有[6]中說明可以用分量計算證明但沒有具體推導(dǎo)。式(1)的證明可見于數(shù)學(xué)教材，例如[7]用矢量內(nèi)稟的方式證明，[8]用分量計算證明。
 運用三矢矢量積可直接以矢量的方式討論某些問題，而不用分別研究矢量的大小和方向，或者采用坐標(biāo)表示。該公式在理論力學(xué)中的應(yīng)用比較少。筆者見到的例子有，[1-3]用于計算定點運動剛體動量矩，[3]用于確定平行力系中心，[4]用于求解已知力矩求力或作用點的力矩反問題。本文給出式(1)在理論力學(xué)中應(yīng)用的另外兩個例子。
2 力螺旋中心軸的參數(shù)方程
 力系簡化為力螺旋時，確定力矢作用線上一點P，使得該點與簡化中心O連線與力矢垂直。事實上，若設(shè)力系向點簡化得到的主矩M_O可以分解為與主矢垂直的分量M_O^和平行的分量M_O||，則

(2)

用力系主矢F_R從左叉乘上式兩端，并利用式(1)，得到

(3)

注意到，以及和，由式(3)有

(4)

因此，對任意參數(shù)s，中心軸的上任意點矢量r可以表示為

(5)

式(5)即為力螺旋中心軸的參數(shù)方程。利用式(1)，可以驗證式(5)給出的矢量r滿足通常形式的中心軸方程^[9]

(6)

3 定軸轉(zhuǎn)動剛體上點的法向加速度
 以角速度w定軸轉(zhuǎn)動剛體上矢徑為r的點的法向加速度aⁿ為

(7)

其中坐標(biāo)原點即矢徑r的起點在定軸上。利用式(1)，式(7)可寫作

(8)

由式(8)可知，若，即矢徑r的起點為該點向定軸作垂線的垂足，則aⁿ=-w²r。
 同理，用基點法分析平面運動剛體上點的加速度時，動點M相對于基點A的法向加速度為，其中r_MA表示從A指向M的矢量。

參考文獻(xiàn)

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